Teorema Poincaré-Hopf

În matematică , teorema Poincaré - Hopf (cunoscută și sub numele de formula indexului Poincaré - Hopf ) este o teoremă importantă utilizată în topologia diferențială . Numele său provine de la Henri Poincaré și Heinz Hopf .

Un caz special al formulei este teorema bilei păroase , care afirmă pur și simplu că nu există câmp vectorial non-zero continuu tangent la o sferă.

Afirmație

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o varietate diferențiată de mărime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ un câmp vector pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Asuma ca $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un punct izolat de lipire a $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ și fixați coordonatele locale în apropiere $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Fie D o bilă închisă centrată la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , astfel încât $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este singurul zero din $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ în $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . Indicele $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $\operatorname {index} _{x}(v)$ ${\ displaystyle \ operatorname {index} _ {x} (v)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {index} _ {x} (v)}$ , cum ar fi gradul topologic al hărții $u:\partial D\rightarrow S^{n-1}$ ${\ displaystyle u: \ partial D \ rightarrow S ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle u: \ partial D \ rightarrow S ^ {n-1}}$ de la hotarul din $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ sferei ( n -1) și dată de $u(z)=v(z)/|v(z)|$ ${\ displaystyle u (z) = v (z) / | v (z) |}$ ${\ displaystyle u (z) = v (z) / | v (z) |}$ .

Teorema. Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ un soi compact diferențiat . Este $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ un câmp vector pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ cu zerouri izolate. De sine $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ are granița, $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ trebuie să fie direcționată normal și de ieșire în raport cu granița. Apoi se aplică următoarea formulă

\sum _{i}\operatorname {index} _{x_{i}}(v)=\chi (M)\,

{\ displaystyle \ sum _ {i} \ operatorname {index} _ {x_ {i}} (v) = \ chi (M) \,}

{\ displaystyle \ sum _ {i} \ operatorname {index} _ {x_ {i}} (v) = \ chi (M) \,}

unde suma indicilor este peste toate zerourile izolate ale $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ Și $\chi (M)$ ${\ displaystyle \ chi (M)}$ ${\ displaystyle \ chi (M)}$ este caracteristica lui Euler $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Un corolar deosebit de util este acela că un câmp vector care nu dispare niciodată implică faptul că caracteristica Euler este 0.

Această teoremă a fost demonstrată în două dimensiuni de Henri Poincaré și ulterior generalizată de Heinz Hopf .

Semnificație și importanță

Caracteristica Euler a unei suprafețe închise este un concept pur topologic , în timp ce indicele unui câmp vector este pur analitic . Astfel, această teoremă stabilește o conexiune profundă între două domenii aparent fără legătură ale matematicii. Este deosebit de interesant faptul că demonstrația teoremei se bazează puternic pe integral și, în special, pe teorema lui Stokes , care afirmă că integralul derivatei externe a unei forme diferențiale este egal cu integralul la limita acelei forme. În cazul special al unui colector fără frontieră, este echivalent cu afirmarea faptului că integralul este 0. Dar examinând câmpurile vectoriale într-un cartier suficient de mic al unei „surse” sau „puțuri”, observăm că acestea contribuie la totalul cu cantități întregi (indicii), iar suma lor totală trebuie să fie zero. Acest rezultat poate fi considerat unul dintre primele dintr-o lungă serie de teoreme care stabilesc o legătură profundă între conceptele geometrice și analitice sau fizice , jucând un rol important în studiul modern al ambelor domenii.

Schema demonstrativă

1. Se scufundă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ într-un spațiu euclidian de dimensiuni suficiente (folosind teorema de imersie a lui Whitney.)

2. Este nevoie de un pic de $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ în spațiul euclidian, $N_{\epsilon }$ ${\ displaystyle N _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle N _ {\ epsilon}}$ . Câmpul vector este extins în jurul său, astfel încât să aibă aceleași zerouri și indici. În plus, se asigură că câmpul vector de la marginea $N_{\epsilon }$ ${\ displaystyle N _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle N _ {\ epsilon}}$ este îndreptată spre exterior.

3. Suma indicilor câmpului vector vechi (și nou) este egală cu gradul hărții Gauss de la limita $N_{\epsilon }$ ${\ displaystyle N _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle N _ {\ epsilon}}$ la sfera ( n -1). Prin urmare, suma indicilor este independentă de câmpul vectorial real și depinde doar de varietate $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Tehnică: tăiați toate punctele critice ale câmpului împreună cu împrejurimile mici. Deci, folosim faptul că gradul unei hărți de la frontiera unui soi $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional la o ( n -1) -sferă, care poate fi extinsă la întregul colector $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional, este zero.

4. În sfârșit, se recunoaște că suma indicilor este caracteristica Euler. Pentru a face acest lucru, construim un câmp vector specific pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ folosind o triangulare a $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ datorită cărora este clar că suma indicilor zerourilor este egală cu caracteristica Euler a varietății.

Generalizări

Este posibil să se definească indicele unui câmp vector și pentru zerouri neizolate. O construcție a acestui indice și o generalizare a teoremei Poincaré - Hopf sunt prezentate în secțiunea 1.1.2 din (Brasselet, Seade & Suwa 2009).

Bibliografie

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], „Poincaré - Teorema Hopf” , Enciclopedia Matematicii , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Jean-Paul Brasselet, José Seade și Tatsuo Suwa, Câmpuri vectoriale pe soiuri singulare , Heidelberg, Springer, 2009, ISBN 978-3-642-05205-7 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică