Derivat extern

În geometria diferențială , derivata externă extinde conceptul de diferențial al unei funcții la formele diferențiale de ordin superior. Forma utilizată în prezent a derivatului extern se datorează lui Élie Cartan .

Definiție

Derivata externă a unei forme diferențiale de grad $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este o formă diferențială de grad $k+1$ ${\ displaystyle k + 1}$ $k + 1$ .

Derivată externă a unei funcții

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție lină (adică o formă 0). Derivatul extern al $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este diferențialul $d f$ ${\ displaystyle df}$ $df$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , adică singura formă astfel încât pentru fiecare câmp vector $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ aveți $df(X)=Xf$ ${\ displaystyle df (X) = Xf}$ ${\ displaystyle df (X) = Xf}$ , unde este $X f$ ${\ displaystyle Xf}$ ${\ displaystyle Xf}$ este derivata direcțională a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ către $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . ^[1]

Derivată externă a unei forme k

Derivata externă este definită ca singura transformare liniară cu valoare reală care mapează formele k în forme (k + 1) astfel încât să satisfacă următoarele proprietăți:

$d f$ ${\ displaystyle df}$ $df$ este diferențialul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ funcționalitate lină .
$d(df)=0$ ${\ displaystyle d (df) = 0}$ ${\ displaystyle d (df) = 0}$ pentru fiecare funcție lină $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .
$d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{p}\alpha \wedge d\beta$ ${\ displaystyle d (\ alpha \ wedge \ beta) = d \ alpha \ wedge \ beta + (- 1) ^ {p} \ alpha \ wedge d \ beta}$ ${\ displaystyle d (\ alpha \ wedge \ beta) = d \ alpha \ wedge \ beta + (- 1) ^ {p} \ alpha \ wedge d \ beta}$ , cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ o formă de p.

A doua proprietate este valabilă într-un context mai general, deoarece $d(d\alpha )=0$ ${\ displaystyle d (d \ alpha) = 0}$ ${\ displaystyle d (d \ alpha) = 0}$ pentru fiecare formă k $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , în timp ce al treilea implică, ca caz particular, că dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție și $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ o formă k atunci $d(f\alpha )=df\wedge \alpha +f\wedge d\alpha$ ${\ displaystyle d (f \ alpha) = df \ wedge \ alpha + f \ wedge d \ alpha}$ ${\ displaystyle d (f \ alpha) = df \ wedge \ alpha + f \ wedge d \ alpha}$ întrucât funcțiile sunt forme de grad zero.

Derivată externă în coordonate locale

Într-un sistem de coordonate local $(x^{1},\dots ,x^{n})$ ${\ displaystyle (x ^ {1}, \ dots, x ^ {n})}$ ${\ displaystyle (x ^ {1}, \ dots, x ^ {n})}$ ia în considerare diferențialele $(dx^{1},\dots ,dx^{n})$ ${\ displaystyle (dx ^ {1}, \ dots, dx ^ {n})}$ ${\ displaystyle (dx ^ {1}, \ dots, dx ^ {n})}$ , care constituie un set de forme unice. Având în vedere un set de indici $I=(i_{1},\dots ,i_{k})$ ${\ displaystyle I = (i_ {1}, \ dots, i_ {k})}$ ${\ displaystyle I = (i_ {1}, \ dots, i_ {k})}$ , cu $1\leq i_{p}\leq n$ ${\ displaystyle 1 \ leq i_ {p} \ leq n}$ ${\ displaystyle 1 \ leq i_ {p} \ leq n}$ Și $1\leq p\leq k$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq k}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq k}$ , derivatul extern al unei forme k:

\omega =f_{I}{\text{d}}x^{I}=f_{i_{1},i_{2}\cdots i_{k}}{\text{d}}x^{i_{1}}\wedge {\text{d}}x^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}

{\ displaystyle \ omega = f_ {I} {\ text {d}} x ^ {I} = f_ {i_ {1}, i_ {2} \ cdots i_ {k}} {\ text {d}} x ^ {i_ {1}} \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {k}}}

{\ displaystyle \ omega = f_ {I} {\ text {d}} x ^ {I} = f_ {i_ {1}, i_ {2} \ cdots i_ {k}} {\ text {d}} x ^ {i_ {1}} \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {k}}}

pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este definit după cum urmează: ^[1]

{\text{d}}{\omega }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}{\text{d}}x^{i}\wedge {\text{d}}x^{I}

{\ displaystyle {\ text {d}} {\ omega} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f_ {I}} {\ partial x ^ {i}}} {\ text {d}} x ^ {i} \ wedge {\ text {d}} x ^ {I}}

{\ displaystyle {\ text {d}} {\ omega} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f_ {I}} {\ partial x ^ {i}}} {\ text {d}} x ^ {i} \ wedge {\ text {d}} x ^ {I}}

Pentru o formă k generică:

\omega =\sum _{I}f_{I}dx_{I}

{\ displaystyle \ omega = \ sum _ {I} f_ {I} dx_ {I}}

{\ displaystyle \ omega = \ sum _ {I} f_ {I} dx_ {I}}

cu $I=(i_{1},\dots ,i_{n})$ ${\ displaystyle I = (i_ {1}, \ dots, i_ {n})}$ ${\ displaystyle I = (i_ {1}, \ dots, i_ {n})}$ , definiția este extinsă prin linearitate.

Definiția prezentată în coordonate locale rezultă din definiția anterioară. De fapt, ambele:

\omega =f_{I}{\text{d}}x_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x_{i_{k}}

{\ displaystyle \ omega = f_ {I} {\ text {d}} x_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x_ {i_ {k}}}

{\ displaystyle \ omega = f_ {I} {\ text {d}} x_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x_ {i_ {k}}}

atunci noi avem:

{\text{d}}{\omega }={\text{d}}(f_{I}{\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}})

{\ displaystyle {\ text {d}} {\ omega} = {\ text {d}} (f_ {I} {\ text {d}} x ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {k}})}

{\ displaystyle {\ text {d}} {\ omega} = {\ text {d}} (f_ {I} {\ text {d}} x ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {k}})}

={\text{d}}f_{I}\wedge ({\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}})+f_{I}{\text{d}}({\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}})

{\ displaystyle = {\ text {d}} f_ {I} \ wedge ({\ text {d}} x ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {k}}) + f_ {I} {\ text {d}} ({\ text {d}} x ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {k}})}

{\ displaystyle = {\ text {d}} f_ {I} \ wedge ({\ text {d}} x ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {k}}) + f_ {I} {\ text {d}} ({\ text {d}} x ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {k}})}

={\text{d}}f_{I}\wedge {\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}+\sum _{p=1}^{k}(-1)^{(p-1)}f_{I}{\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{p-1}}\wedge {\text{d}}^{2}x^{i_{p}}\wedge {\text{d}}x^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}

{\ displaystyle = {\ text {d}} f_ {I} \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ { k}} + \ sum _ {p = 1} ^ {k} (- 1) ^ {(p-1)} f_ {I} {\ text {d}} x ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {p-1}} \ wedge {\ text {d}} ^ {2} x ^ {i_ {p}} \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {p + 1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {k}}}

{\ displaystyle = {\ text {d}} f_ {I} \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ { k}} + \ sum _ {p = 1} ^ {k} (- 1) ^ {(p-1)} f_ {I} {\ text {d}} x ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {p-1}} \ wedge {\ text {d}} ^ {2} x ^ {i_ {p}} \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {p + 1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {k}}}

={\text{d}}f_{I}\wedge {\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}

{\ displaystyle = {\ text {d}} f_ {I} \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ { k}}}

{\ displaystyle = {\ text {d}} f_ {I} \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ { k}}}

=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}{\text{d}}x^{i}\wedge {\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}

{\ displaystyle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f_ {I}} {\ partial x ^ {i}}} {\ text {d}} x ^ {i} \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {k}}}

{\ displaystyle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f_ {I}} {\ partial x ^ {i}}} {\ text {d}} x ^ {i} \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ text {d}} x ^ {i_ {k}}}

unde este $f_{I}$ ${\ displaystyle f_ {I}}$ ${\ displaystyle f_ {I}}$ este interpretat ca o formă zero, căreia i se aplică proprietățile derivatei externe.

Formula invariantă

O formulă explicită poate fi găsită pentru derivatul extern al unei forme k $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ atunci când se iau în considerare k + 1 câmpuri vectoriale netede $V_{0},...,V_{k}$ ${\ displaystyle V_ {0}, ..., V_ {k}}$ ${\ displaystyle V_ {0}, ..., V_ {k}}$ :

{\text{d}}\omega (V_{0},...,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}\left(\omega (V_{0},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})\right)

{\ displaystyle {\ text {d}} \ omega (V_ {0}, ..., V_ {k}) = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} V_ {i} \ left (\ omega (V_ {0}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {i}, \ ldots, V_ {k}) \ right)}

{\ displaystyle {\ text {d}} \ omega (V_ {0}, ..., V_ {k}) = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} V_ {i} \ left (\ omega (V_ {0}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {i}, \ ldots, V_ {k}) \ right)}

+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,{\hat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})

{\ displaystyle + \ sum _ {i <j} (- 1) ^ {i + j} \ omega ([V_ {i}, V_ {j}], V_ {0}, \ ldots, {\ hat {V }} _ {i}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {j}, \ ldots, V_ {k})}

{\ displaystyle + \ sum _ {i <j} (- 1) ^ {i + j} \ omega ([V_ {i}, V_ {j}], V_ {0}, \ ldots, {\ hat {V }} _ {i}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {j}, \ ldots, V_ {k})}

unde este $[V_{i},V_{j}]$ ${\ displaystyle [V_ {i}, V_ {j}]}$ ${\ displaystyle [V_ {i}, V_ {j}]}$ sunt parantezele Lie , iar pălăria denotă omiterea unui element dat:

\omega (V_{1},\ldots ,{\hat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{1},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k})

{\ displaystyle \ omega (V_ {1}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {i}, \ ldots, V_ {k}) = \ omega (V_ {1}, \ ldots, V_ {i- 1}, V_ {i + 1}, \ ldots, V_ {k})}

{\ displaystyle \ omega (V_ {1}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {i}, \ ldots, V_ {k}) = \ omega (V_ {1}, \ ldots, V_ {i- 1}, V_ {i + 1}, \ ldots, V_ {k})}

În special, pentru 1-forme avem:

d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])

{\ displaystyle d \ omega (X, Y) = X \ omega (Y) -Y \ omega (X) - \ omega ([X, Y])}

{\ displaystyle d \ omega (X, Y) = X \ omega (Y) -Y \ omega (X) - \ omega ([X, Y])}

unde este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt câmpuri vectoriale.

Derivata externă în calculul vectorial

Diferenți operatori utilizați în calculul vectorial sunt cazuri speciale ale noțiunii de diferențiere externă sau au o relație strânsă cu aceasta.

Gradient

Același subiect în detaliu: Gradient .

O funcție lină $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ este o formă 0. Derivatul său extern este forma 1:

\mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\mathrm {d} x^{i}=\langle \nabla f,\cdot \rangle

{\ displaystyle \ mathrm {d} f = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} \, \ mathrm {d} x ^ { i} = \ langle \ nabla f, \ cdot \ rangle}

{\ displaystyle \ mathrm {d} f = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} \, \ mathrm {d} x ^ { i} = \ langle \ nabla f, \ cdot \ rangle}

Cu alte cuvinte, forma $d f$ ${\ displaystyle df}$ $df$ acționează asupra fiecărui câmp vector $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ returnând în fiecare punct produsul scalar al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ cu gradientul $\nabla f$ ${\ displaystyle \ nabla f}$ $\ nabla f$ . Forma 1 $d f$ ${\ displaystyle df}$ $df$ este o secțiune a fasciculului cotangent care produce o aproximare liniară locală a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în spațiul cotangent din fiecare punct.

Divergenţă

Același subiect în detaliu: Divergența .

Un câmp vector $V=(v_{1},...,v_{n})$ ${\ displaystyle V = (v_ {1}, ..., v_ {n})}$ ${\ displaystyle V = (v_ {1}, ..., v_ {n})}$ pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ posedă o formă corespunzătoare (n-1):

\omega _{V}=v_{1}\;(\mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})-v_{2}\;(\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{3}\cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\;(\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n-1})

{\ displaystyle \ omega _ {V} = v_ {1} \; (\ mathrm {d} x ^ {2} \ wedge \ mathrm {d} x ^ {3} \ wedge \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {n}) - v_ {2} \; (\ mathrm {d} x ^ {1} \ wedge \ mathrm {d} x ^ {3} \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {n} ) + \ cdots + (- 1) ^ {n-1} v_ {n} \; (\ mathrm {d} x ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {n-1} )}}

{\ displaystyle \ omega _ {V} = v_ {1} \; (\ mathrm {d} x ^ {2} \ wedge \ mathrm {d} x ^ {3} \ wedge \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {n}) - v_ {2} \; (\ mathrm {d} x ^ {1} \ wedge \ mathrm {d} x ^ {3} \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {n} ) + \ cdots + (- 1) ^ {n-1} v_ {n} \; (\ mathrm {d} x ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {n-1} )}}

=\sum _{p=1}^{n}{(-1)^{(p-1)}v_{p}(\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{p-1}\wedge {\widehat {\mathrm {d} x^{p}}}\wedge \mathrm {d} x^{p+1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})}

{\ displaystyle = \ sum _ {p = 1} ^ {n} {(- 1) ^ {(p-1)} v_ {p} (\ mathrm {d} x ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {p-1} \ wedge {\ widehat {\ mathrm {d} x ^ {p}}} \ wedge \ mathrm {d} x ^ {p + 1} \ wedge \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {n})}}

{\ displaystyle = \ sum _ {p = 1} ^ {n} {(- 1) ^ {(p-1)} v_ {p} (\ mathrm {d} x ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {p-1} \ wedge {\ widehat {\ mathrm {d} x ^ {p}}} \ wedge \ mathrm {d} x ^ {p + 1} \ wedge \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {n})}}

unde este ${\widehat {\mathrm {d} x^{p}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathrm {d} x ^ {p}}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathrm {d} x ^ {p}}}}$ denotă omiterea acestui element. Integrala din $\omega _{V}$ ${\ displaystyle \ omega _ {V}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {V}}$ pe o suprafață este fluxul de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ prin această suprafață.

Derivata externă a acestei forme (n-1) este forma n:

\mathrm {d} \omega _{V}=\operatorname {div} (V)\;(\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega _ {V} = \ operatorname {div} (V) \; (\ mathrm {d} x ^ {1} \ wedge \ mathrm {d} x ^ {2} \ wedge \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {n})}

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega _ {V} = \ operatorname {div} (V) \; (\ mathrm {d} x ^ {1} \ wedge \ mathrm {d} x ^ {2} \ wedge \ cdots \ wedge \ mathrm {d} x ^ {n})}

Rotor

Același subiect în detaliu: Rotor (matematică) .

Un câmp vector $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ are o formă 1 corespunzătoare:

\eta _{V}=v_{1}\;\mathrm {d} x^{1}+v_{2}\;\mathrm {d} x^{2}+\cdots +v_{n}\;\mathrm {d} x^{n}

{\ displaystyle \ eta _ {V} = v_ {1} \; \ mathrm {d} x ^ {1} + v_ {2} \; \ mathrm {d} x ^ {2} + \ cdots + v_ {n } \; \ mathrm {d} x ^ {n}}

{\ displaystyle \ eta _ {V} = v_ {1} \; \ mathrm {d} x ^ {1} + v_ {2} \; \ mathrm {d} x ^ {2} + \ cdots + v_ {n } \; \ mathrm {d} x ^ {n}}

Local, $\eta _{V}$ ${\ displaystyle \ eta _ {V}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {V}}$ este produsul interior cu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , și integralul lui $\eta _{V}$ ${\ displaystyle \ eta _ {V}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {V}}$ de-a lungul unei căi este lucrarea mecanică făcută „împotriva” $-V$ ${\ displaystyle -V}$ ${\ displaystyle -V}$ pe parcurs. Dacă n = 3, derivatul extern al lui $\eta _{V}$ ${\ displaystyle \ eta _ {V}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {V}}$ este forma 2:

\mathrm {d} \eta _{V}=\omega _{\operatorname {rot} (V)}

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ eta _ {V} = \ omega _ {\ operatorname {rot} (V)}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ eta _ {V} = \ omega _ {\ operatorname {rot} (V)}}

Notă

^ ^a ^b Todd Rowland,MathWorld - Derivat exterior , mathworld.wolfram.com , 2012.

Bibliografie

Flanders, Harley, Forme diferențiale cu aplicații la științele fizice , New York, Dover Publications, 1989, p. 20, ISBN 0-486-66169-5 .
Ramanan, S., Calcul global , Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 2005, p. 54, ISBN 0-8218-3702-8 .
Conlon, Lawrence, Multiple diferențiabile , Basel, Elveția, Birkhäuser, 2001, p. 239, ISBN 0-8176-4134-3 .
Darling, RWR, Forme și conexiuni diferențiale , Cambridge, Marea Britanie, Cambridge University Press, 1994, p. 35, ISBN 0-521-46800-0 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[mathworld-1] Todd Rowland,MathWorld - Derivat exterior , mathworld.wolfram.com , 2012.

[1]