Forma diferențială

În geometria diferențială și calculul diferențial multivariat , o formă diferențială este un obiect particular care extinde noțiunea de funcție multivariată.

Pe o $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ - varietate diferențiată , de exemplu una deschisă a spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ , o formă diferențială $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ are o dimensiune $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ mai mic sau egal cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Din acest motiv, este, de asemenea, denumit pe scurt $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -form . In caz $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ $k = 0$ , forma $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este o funcție obișnuită. În general, proprietatea care caracterizează $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este posibilitatea realizării integralei din $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ pe orice obiect geometric $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ , de dimensiuni similare $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , de una generică $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ - varietate diferențiată . Rezultatul acestei integrări este indicat cu

\int _{\Gamma }\omega

{\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} \ omega}

{\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} \ omega}

Prin urmare, o formă 1 este integrabilă pe o curbă , o formă 2 pe o suprafață și așa mai departe.

Formele 1 au o importanță fundamentală în multe domenii ale analizei matematice și, în special, în analiza complexă .

Definiție

Noțiunea de formă diferențială poate fi introdusă în moduri diferite.

În multe contexte, pentru a utiliza forme diferențiale este suficient să ne bazăm pe o definiție similară cu cea a unui polinom : o formă diferențială este pur și simplu o scriere formală de un anumit tip. Prin urmare, definim operații cum ar fi suma, produsul și integralul pe un set adecvat.

Cu toate acestea, formele diferențiale pot fi definite mai intrinsec folosind algebra liniară și conceptele de pachet tensor și tangent . În acest fel, formularele sunt definite în contexte mai largi: de exemplu, domeniul lor nu este neapărat un deschis al $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , dar orice varietate diferențiată .

Definiția ca scris formal

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o deschidere de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ un număr întreg cu

0\leqslant k\leqslant n.

{\ displaystyle 0 \ leqslant k \ leqslant n.}

0 \ leqslant k \ leqslant n.

A $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ - forma diferențială este un script ca: ^[1]

\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}

{\ displaystyle \ omega = \ sum _ {1 \ leqslant i_ {1} <\ ldots <i_ {k} \ leqslant n} a_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}} (x) dx_ {i_ {1}} \ wedge \ ldots \ wedge dx_ {i_ {k}}}

\ omega = \ sum _ {{1 \ leqslant i_ {1} <\ ldots <i_ {k} \ leqslant n}} a _ {{i_ {1}, \ ldots, i_ {k}}} (x) dx_ {{i_ {1}}} \ wedge \ ldots \ wedge dx _ {{i_ {k}}}

unde este

a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}:A\to \mathbb {R}

{\ displaystyle a_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}}: A \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle a_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}}: A \ to \ mathbb {R}}

este o funcție diferențiată și:

\wedge

{\ displaystyle \ wedge}

\ wedge

se numește produs cu pană sau produs extern , care nu trebuie confundat cu produsul vector $\times$ ${\ displaystyle \ times}$ $\ ori$ , care este uneori indicat cu același simbol ca produsul cu pană și numit și produs extern, dar care nu se bucură de aceleași proprietăți. În special, produsul cu pană este asociativ, produsul vector nu. Uneori, din motive de scurtă durată, simbolurile $\wedge$ ${\ displaystyle \ wedge}$ $\ wedge$ sunt omise.

Exemple

Un formular 0 este pur și simplu o funcție diferențiată definită pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .
Un formular 1 în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este scris ca

\omega =a_{1}(x_{1},...,x_{n})dx_{1}+\ldots +a_{n}(x_{1},...,x_{n})dx_{n},\,\!

{\ displaystyle \ omega = a_ {1} (x_ {1}, ..., x_ {n}) dx_ {1} + \ ldots + a_ {n} (x_ {1}, ..., x_ {n }) dx_ {n}, \, \!}

\ omega = a_ {1} (x_ {1}, ..., x_ {n}) dx_ {1} + \ ldots + a_ {n} (x_ {1}, ..., x_ {n}) dx_ {n}, \, \!

unde $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ sunt funcții diferențiate adecvate. De exemplu, următoarele scripturi sunt 1-forme definite mai sus $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ .

\omega _{1}=2dx-3dy,\quad \omega _{2}=e^{x}dx,\quad \omega _{3}=xydx-y^{2}dy.

{\ displaystyle \ omega _ {1} = 2dx-3dy, \ quad \ omega _ {2} = e ^ {x} dx, \ quad \ omega _ {3} = xydx-y ^ {2} dy.}

\ omega _ {1} = 2dx-3dy, \ quad \ omega _ {2} = e ^ {x} dx, \ quad \ omega _ {3} = xydx-y ^ {2} dy.

unde în primul exemplu, coeficienții sunt funcții constante.
O formă 2 în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ este scris ca

\omega =a(x,y,z)dx\wedge dy+b(x,y,z)dy\wedge dz+c(x,y,z)dx\wedge dz.

{\ displaystyle \ omega = a (x, y, z) dx \ wedge dy + b (x, y, z) dy \ wedge dz + c (x, y, z) dx \ wedge dz.}

\ omega = a (x, y, z) dx \ wedge dy + b (x, y, z) dy \ wedge dz + c (x, y, z) dx \ wedge dz.

De exemplu, următorul script este un format în 2 $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ :

\omega =2dx\wedge dy-xzdy\wedge dz.

{\ displaystyle \ omega = 2dx \ wedge dy-xzdy \ wedge dz.}

\ omega = 2dx \ wedge dy-xzdy \ wedge dz.

În general unul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -grupati-va $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este întotdeauna scris folosind un singur addendum

\omega =a(x_{1},...,x_{n})dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}

{\ displaystyle \ omega = a (x_ {1}, ..., x_ {n}) dx_ {1} \ wedge \ ldots \ wedge dx_ {n}}

\ omega = a (x_ {1}, ..., x_ {n}) dx_ {1} \ wedge \ ldots \ wedge dx_ {n}

unde este $a(x_{1},...,x_{n})$ ${\ displaystyle a (x_ {1}, ..., x_ {n})}$ $a (x_ {1}, ..., x_ {n})$ este o funcție diferențiată.

Definiția ca tensor

A $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ - forma este o secțiune netedă a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -algebra externă a pachetului cotangent al unui soi diferențiat $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ :

\omega :M\rightarrow \Lambda ^{k}(T^{*}(M)).

{\ displaystyle \ omega: M \ rightarrow \ Lambda ^ {k} (T ^ {*} (M)).}

\ omega: M \ rightarrow \ Lambda ^ {k} (T ^ {*} (M)).

Cu alte cuvinte, pentru fiecare punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ se dă o funcție multiliniară antisimetrică

\omega (x)\colon \underbrace {T_{x}M\times \cdots \times T_{x}M} _{k}\to \mathbb {R}

{\ displaystyle \ omega (x) \ colon \ underbrace {T_ {x} M \ times \ cdots \ times T_ {x} M} _ {k} \ to \ mathbb {R}}

\ omega (x) \ colon \ underbrace {T_ {x} M \ times \ cdots \ times T_ {x} M} _ {k} \ to {\ mathbb {R}}

unde este $T_{x}M$ ${\ displaystyle T_ {x} M}$ $T_ {x} M$ este spațiul tangent la $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Functia $\omega (x)$ ${\ displaystyle \ omega (x)}$ $\ omega (x)$ variază ușor (adică poate fi diferențiat de un număr infinit de ori) ca $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Echivalent, $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este un câmp tensor care se asociază fiecărui punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ un tensor antisimetric de tip $(0,k)$ ${\ displaystyle (0, k)}$ $(0, k)$ .

De exemplu, o formă 1 este un câmp tensor de tip $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ , adică o secțiune a mănunchiului cotangent .

Deschis spațiului euclidian

De sine $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este un set deschis de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , în fiecare punct spațiul tangent $T_{x}(M)$ ${\ displaystyle T_ {x} (M)}$ $T_ {x} (M)$ este identificat cu $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Baza canonică pentru $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ induce astfel o bază pentru spațiul vectorial $\Lambda ^{k}((\mathbb {R} ^{n})^{*})$ ${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} ((\ mathbb {R} ^ {n}) ^ {*})}$ $\ Lambda ^ {k} ((\ mathbb {R} ^ {n}) ^ {*})$ de tipul

{\mathcal {B}}={\big \{}dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\ |\ 1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n{\big \}}

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} = {\ big \ {} dx_ {i_ {1}} \ wedge \ ldots \ wedge dx_ {i_ {k}} \ | \ 1 \ leqslant i_ {1} <\ ldots <i_ {k} \ leqslant n {\ big \}}}

{\ mathcal B} = {\ big \ {} dx _ {{i_ {1}}} \ wedge \ ldots \ wedge dx _ {{i_ {k}}} \ | \ 1 \ leqslant i_ {1} <\ ldots <i_ {k} \ leqslant n {\ big \}}

unde elementul $dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$ ${\ displaystyle dx_ {i_ {1}} \ wedge \ ldots \ wedge dx_ {i_ {k}}}$ $dx _ {{i_ {1}}} \ wedge \ ldots \ wedge dx _ {{i_ {k}}}$ reprezintă o anumită funcție antisimetrică multiliniară. De aici și elementul $\omega (x)$ ${\ displaystyle \ omega (x)}$ $\ omega (x)$ este descris în mod unic ca o combinație liniară de elemente ale acestei baze

\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}

{\ displaystyle \ omega = \ sum _ {1 \ leqslant i_ {1} <\ ldots <i_ {k} \ leqslant n} a_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}} (x) dx_ {i_ {1}} \ wedge \ ldots \ wedge dx_ {i_ {k}}}

\ omega = \ sum _ {{1 \ leqslant i_ {1} <\ ldots <i_ {k} \ leqslant n}} a _ {{i_ {1}, \ ldots, i_ {k}}} (x) dx_ {{i_ {1}}} \ wedge \ ldots \ wedge dx _ {{i_ {k}}}

prin intermediul coeficienților

a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)

{\ displaystyle a_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}} (x)}

a _ {{i_ {1}, \ ldots, i_ {k}}} (x)

care variază ușor în ceea ce privește $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Prin urmare, definiția introdusă aici coincide cu cea formală descrisă mai sus.

De exemplu, dacă $k=1$ ${\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ asa de

\Lambda ^{1}((\mathbb {R} ^{n})^{*})=(\mathbb {R} ^{n})^{*}

{\ displaystyle \ Lambda ^ {1} ((\ mathbb {R} ^ {n}) ^ {*}) = (\ mathbb {R} ^ {n}) ^ {*}}

\ Lambda ^ {1} ((\ mathbb {R} ^ {n}) ^ {*}) = (\ mathbb {R} ^ {n}) ^ {*}

este spațiul dual al funcționalităților liniare pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ Și ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ este baza duală $dx_{1},\ldots ,dx_{n}$ ${\ displaystyle dx_ {1}, \ ldots, dx_ {n}}$ $dx_ {1}, \ ldots, dx_ {n}$ a bazei canonice . O formă 1 se asociază cu fiecare punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ o funcționalitate liniară .

Carduri

De sine $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este orice varietate, fixată pe o carte în jurul unui punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , fiecare $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -formă $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este reprezentat ca mai sus. Reprezentarea depinde evident de cartea aleasă.

Operații algebrice

Suma și produsul la scară

Două $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -se pot adăuga forme, dând naștere unuia nou $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -formă. A $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -forma poate fi, de asemenea, înmulțită cu un scalar. Cu aceste operații setul de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ - Forme pe o deschidere $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ formează un spațiu vectorial .

Produs extern

Produsul extern

\omega \wedge \eta

{\ displaystyle \ omega \ wedge \ eta}

\ omega \ wedge \ eta

de o $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -formă $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ și unul $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ -formă $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ e o $(k+h)$ ${\ displaystyle (k + h)}$ $(k + h)$ -formă. Operațiunea produsului este definită prin efectuarea produsului utilizând relațiile obișnuite dintre sumă și produs prezent într-un inel , cum ar fi proprietatea distributivă a produsului cu suma și proprietatea asociativă a produsului extern. Prin definiție, însă, produsul extern nu este comutativ, ci anticommutativ ; adică se menține următoarea relație:

dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}\,\forall i,\,j

{\ displaystyle dx_ {i} \ wedge dx_ {j} = - dx_ {j} \ wedge dx_ {i} \, \ forall i, \, j}

dx_ {i} \ wedge dx_ {j} = - dx_ {j} \ wedge dx_ {i} \, \ forall i, \, j

Proprietatea anticomutativă implică faptul că

dx_{i}\wedge dx_{i}=0.

{\ displaystyle dx_ {i} \ wedge dx_ {i} = 0.}

dx_ {i} \ wedge dx_ {i} = 0.

Coeficienții $dx_{i}$ ${\ displaystyle dx_ {i}}$ $dx_ {i}$ cu toate acestea comută între ele și cu i $dx_{i}$ ${\ displaystyle dx_ {i}}$ $dx_ {i}$ . De exemplu, dacă

\omega =xdy-ydx,\quad \eta =xdx\wedge dz

{\ displaystyle \ omega = xdy-ydx, \ quad \ eta = xdx \ wedge dz}

\ omega = xdy-ydx, \ quad \ eta = xdx \ wedge dz

sunt o formă 1 și o formă 2 în sus $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ , produsul lor extern este

\omega \wedge \eta =(xdy-ydx)\wedge (xdx\wedge dz)=x^{2}dy\wedge dx\wedge dz-xydx\wedge dx\wedge dz=-x^{2}dx\wedge dy\wedge dz.

{\ displaystyle \ omega \ wedge \ eta = (xdy-ydx) \ wedge (xdx \ wedge dz) = x ^ {2} dy \ wedge dx \ wedge dz-xydx \ wedge dx \ wedge dz = -x ^ {2 } dx \ wedge dy \ wedge dz.}

\ omega \ wedge \ eta = (xdy-ydx) \ wedge (xdx \ wedge dz) = x ^ {2} dy \ wedge dx \ wedge dz-xydx \ wedge dx \ wedge dz = -x ^ {2} dx \ wedge dy \ wedge dz.

Există o versiune externă a produsului pentru orice eventualitate $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ Și $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ sunt definite ca tensori. Această definiție exploatează produsul tensor $\otimes$ ${\ displaystyle \ otimes}$ $\ otimes$ , dar nu este echivalent cu acesta. De exemplu, pentru orice eventualitate $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ Și $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ sunt două forme 1, este definit în felul următor

\omega \wedge \eta ={\frac {1}{2}}(\omega \otimes \eta -\eta \otimes \omega ).

{\ displaystyle \ omega \ wedge \ eta = {\ frac {1} {2}} (\ omega \ otimes \ eta - \ eta \ otimes \ omega).}

\ omega \ wedge \ eta = {\ frac 12} (\ omega \ otimes \ eta - \ eta \ otimes \ omega).

În general, definiția este puțin mai complicată:

\omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{k}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}(\operatorname {sgn} \sigma )\omega _{\sigma 1}\otimes \dots \otimes \omega _{\sigma k}.

{\ displaystyle \ omega _ {1} \ wedge \ dots \ wedge \ omega _ {k} = {\ frac {1} {k!}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {k}} (\ operatorname { sgn} \ sigma) \ omega _ {\ sigma 1} \ otimes \ dots \ otimes \ omega _ {\ sigma k}.}

\ omega _ {1} \ wedge \ dots \ wedge \ omega _ {k} = {\ frac {1} {k!}} \ sum _ {{\ sigma \ in S_ {k}}} (\ operatorname {sgn } \ sigma) \ omega _ {{\ sigma 1}} \ otimes \ dots \ otimes \ omega _ {{\ sigma k}}.

Proprietate

Produsul cu pană este asociativ : din acest motiv parantezele pot fi omise în scris.

Produsul este distributiv în raport cu suma (atât dreapta, cât și stânga):

h\wedge (f+g)=h\wedge f+h\wedge g.

{\ displaystyle h \ wedge (f + g) = h \ wedge f + h \ wedge g.}

h \ wedge (f + g) = h \ wedge f + h \ wedge g.

Anticomutativitatea utilizată în definiție se extinde la produsul oricărei două forme de tip $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ Și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , cu un semn care depinde totuși de produs $k h$ ${\ displaystyle kh}$ $kh$ :

f\wedge g=(-1)^{kh}g\wedge f.

{\ displaystyle f \ wedge g = (- 1) ^ {kh} g \ wedge f.}

f \ wedge g = (- 1) ^ {{kh}} g \ wedge f.

Derivată a unei forme diferențiale

Același subiect în detaliu: Derivat extern .

Derivatul lui a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -form este una $(k+1)$ ${\ displaystyle (k + 1)}$ $(k + 1)$ -formă. Aceasta se numește uneori derivată diferențială sau externă . Derivatul extern $d\omega$ ${\ displaystyle d \ omega}$ $d \ omega$ de o $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ - forma diferențială

\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}

{\ displaystyle \ omega = \ sum _ {1 \ leqslant i_ {1} <\ ldots <i_ {k} \ leqslant n} a_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}} (x) dx_ {i_ {1}} \ wedge \ ldots \ wedge dx_ {i_ {k}}}

\ omega = \ sum _ {{1 \ leqslant i_ {1} <\ ldots <i_ {k} \ leqslant n}} a _ {{i_ {1}, \ ldots, i_ {k}}} (x) dx_ {{i_ {1}}} \ wedge \ ldots \ wedge dx _ {{i_ {k}}}

si $(k+1)$ ${\ displaystyle (k + 1)}$ $(k + 1)$ -formă ^[2]

d\omega =\sum _{i=1}^{n}\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\partial a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{i}}}(x)dx_{i}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}.

{\ displaystyle d \ omega = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {1 \ leqslant i_ {1} <\ ldots <i_ {k} \ leqslant n} {\ frac {\ partial a_ { i_ {1}, \ ldots, i_ {k}}} {\ partial x_ {i}}} (x) dx_ {i} \ wedge dx_ {i_ {1}} \ wedge \ ldots \ wedge dx_ {i_ {k }}.}

d \ omega = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ sum _ {{1 \ leqslant i_ {1} <\ ldots <i_ {k} \ leqslant n}} {\ frac {\ partial a_ {{i_ {1}, \ ldots, i_ {k}}}} {\ partial x_ {i}}} (x) dx_ {i} \ wedge dx _ {{i_ {1}}} \ wedge \ ldots \ wedge dx _ {{i_ {k}}}.

Proprietate

Derivata externă a unei forme 0, adică a unei funcții diferențiabile , coincide cu diferențialul funcției.

Derivarea externă este o operație liniară. Cu alte cuvinte,

d(a\omega +b\mu )=a\cdot d\omega +b\cdot d\mu

{\ displaystyle d (a \ omega + b \ mu) = a \ cdot d \ omega + b \ cdot d \ mu}

d (a \ omega + b \ mu) = a \ cdot d \ omega + b \ cdot d \ mu

unde totuși $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ sunt scalari și nu funcții. În comparație cu produsul extern, acesta se comportă după cum urmează:

d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{{\rm {deg\,}}\omega }(\omega \wedge d\eta ).

{\ displaystyle d (\ omega \ wedge \ eta) = d \ omega \ wedge \ eta + (- 1) ^ {{\ rm {deg \,}} \ omega} (\ omega \ wedge d \ eta).}

d (\ omega \ wedge \ eta) = d \ omega \ wedge \ eta + (- 1) ^ {{{{rm {deg \,}}} \ omega}} (\ omega \ wedge d \ eta).

În cele din urmă, poate cea mai importantă proprietate a derivării este următoarea

d^{2}=0

{\ displaystyle d ^ {2} = 0}

d ^ {2} = 0

care rezultă din teorema lui Schwarz .

Formulare închise și exacte

O formă diferențială $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este închis dacă derivatul său extern este nul:

d\omega =0

{\ displaystyle d \ omega = 0}

d \ omega = 0

De exemplu, orice formă având coeficienți constanți este închisă.

A $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -formă $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este exact dacă există unul $(k-1)$ ${\ displaystyle (k-1)}$ $(k-1)$ -formă $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ astfel încât

d\eta =\omega .

{\ displaystyle d \ eta = \ omega.}

d \ eta = \ omega.

Formă $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ se numește primitivă a $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ .

Formele diferențiale închise și formele diferențiale exacte se află respectiv în nucleu și în imaginea derivatei externe.

Atâta timp cât $d^{2}\eta =0$ ${\ displaystyle d ^ {2} \ age = 0}$ $d ^ {2} \ eta = 0$ , fiecare formă exactă este închisă. Pe de altă parte, există forme închise care nu sunt exacte: existența acestor forme depinde puternic de topologia deschisului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ de definitie. În acest sens, lema lui Poincaré stabilește că dacă $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $X \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ este un subset deschis și contractabil, apoi fiecare formă p diferențială închisă și netedă definită pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o formă diferențială exactă pentru orice număr întreg $p>0$ ${\ displaystyle p> 0}$ $p> 0$ .

Forme liniare

O formă diferențială 1

\omega =a_{1}dx_{1}+\ldots +a_{n}dx_{n},

{\ displaystyle \ omega = a_ {1} dx_ {1} + \ ldots + a_ {n} dx_ {n},}

\ omega = a_ {1} dx_ {1} + \ ldots + a_ {n} dx_ {n},

este închis dacă și numai dacă se menține egalitatea

{\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial a_ {j}} {\ partial x_ {i}}} = {\ frac {\ partial a_ {i}} {\ partial x_ {j}}}}

{\ frac {\ partial a_ {j}} {\ partial x_ {i}}} = {\ frac {\ partial a_ {i}} {\ partial x_ {j}}}

pentru fiecare $the, j$ ${\ displaystyle i, j}$ $i, j$ .

Forme liniare și domenii conectate pur și simplu

Condiția de închidere este de tip local (unele egalități trebuie verificate punctual), în timp ce condiția de exactitate este de tip global (existența unei primitive definite pe toate deschise $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ). Diferența dintre cele două condiții depinde de diferențele dintre proprietățile locale și globale ale deschisului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , adică prin topologia sa.

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este pur și simplu conectat , apoi fiecare formă închisă 1 este exactă. Acest lucru se întâmplă de exemplu dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este partea interioară a unui disc sau a unui ansamblu convex sau înstelat mai general din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . În acest caz, proprietățile topologice globale nu sunt foarte diferite de cele locale.

Pe de altă parte, următoarea formă

\omega ={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx-{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dx - {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dy}

\ omega = {\ frac y {x ^ {2} + y ^ {2}}} dx - {\ frac x {x ^ {2} + y ^ {2}}} dy

definite în planul deschis

A=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}

{\ displaystyle A = \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \}}

A = \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \}

este închis, dar nu exact. Deschiderea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu este pur și simplu conectat: are o „gaură”, iar grupul său fundamental este $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb Z$ . Această formă este cunoscută sub numele de „vortex”, datorită formei particulare asumate de vectorii câmpului vectorial asociat.

Forme liniare și analize complexe

Formele 1 din plan $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ sunt un instrument fundamental de analiză complexă . După identificare $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ cu planul complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb C$ , este posibil să se definească o formă 1 complexă

f(z)dz=f(x+iy)dx+if(x+iy)dy

{\ displaystyle f (z) dz = f (x + iy) dx + if (x + iy) dy}

f (z) dz = f (x + iy) dx + if (x + iy) dy

plecând de la orice funcție

f:A\to \mathbb {C} .

{\ displaystyle f: A \ to \ mathbb {C}.}

f: A \ to {\ mathbb C}.

definit pe un deschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ a planului complex. Cu toate acestea, este o formă 1 obișnuită, având funcții complexe, mai degrabă decât reale, ca coeficienți. Acest instrument este util pentru următorul fapt: dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție holomorfă pe un deschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ a avionului, apoi forma $f(z)dz$ ${\ displaystyle f (z) dz}$ $f (z) dz$ se dovedește a fi închis. În plus $f(z)dz$ ${\ displaystyle f (z) dz}$ $f (z) dz$ este exact cu primitiv $g(z)$ ${\ displaystyle g (z)}$ $g (z)$ dacă și numai dacă $g(z)$ ${\ displaystyle g (z)}$ $g (z)$ este de asemenea holomorf cu derivat complex $g'(z)=f(z)$ ${\ displaystyle g '(z) = f (z)}$ $g '(z) = f (z)$ egal cu $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ .

În acest context este mai ușor să construim o formă închisă, dar nu exactă. Formă

f(z)={\frac {1}{z}}dz

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {z}} dz}

f (z) = {\ frac 1z} dz

definite în aer liber

A=\mathbb {C} \setminus \{0\}

{\ displaystyle A = \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}

A = {\ mathbb {C}} \ setminus \ {0 \}

este închis (pentru că $1/z$ ${\ displaystyle 1 / z}$ $1 / z$ este holomorf) dar nu exact: funcția $1/z$ ${\ displaystyle 1 / z}$ $1 / z$ de fapt, nu admite o primitivă asupra tuturor $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , dar numai în oricare dintre subseturile sale conectate simplu. Cu alte cuvinte, candidatul complex , natural al logaritmului ca primitiv al lui $1/z$ ${\ displaystyle 1 / z}$ $1 / z$ , poate fi definit doar local (sau global ca o funcție polidrom ): aceasta la rândul său poate fi urmărită înapoi la faptul că funcția exponențială complexă nu este injectivă.

Următoarele egalități sunt valabile

f(z)dz={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {y+ix}{x^{2}+y^{2}}}dy=

{\ displaystyle f (z) dz = {\ frac {x-iy} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dx + {\ frac {y + ix} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dy =}

f (z) dz = {\ frac {x-iy} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dx + {\ frac {y + ix} {x ^ {2} + y ^ {2} }} dy =

=\left[{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dy\right]+i\left[-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\right]

{\ displaystyle = \ left [{\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dx + {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dy \ right] + i \ left [- {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dx + {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}} } dy \ right]}

= \ left [{\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dx + {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dy \ right] + i \ left [- {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dx + {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} dy \ dreapta]

care arată că exemplul dat mai sus de formă închisă dar nu exactă este (dacă nu este un semn) partea imaginară a $f(z)dz$ ${\ displaystyle f (z) dz}$ $f (z) dz$ .

Integrarea unei forme diferențiale

Cea mai importantă proprietate care caracterizează o $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -form este faptul că poate fi integrat pe orice subfold diferențiat $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ in marime $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ a deschisului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pe care este definit. Integrala din $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este indicat cu simbolul

\int _{S}\omega

{\ displaystyle \ int _ {S} \ omega}

\ int _ {S} \ omega

iar rezultatul acestei operații este un număr real.

De sine $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ $k = 0$ , forma este o funcție, $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este o uniune de puncte și integrala lui $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ pe $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este pur și simplu suma valorilor $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ presupus asupra punctelor.

În general, forma este de tipul

\omega =\sum a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}

{\ displaystyle \ omega = \ sum a_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}} (x) \, dx_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx_ {i_ {k}}}

\ omega = \ sum a _ {{i_ {1}, \ dots, i_ {k}}} (x) \, dx _ {{i_ {1}}} \ wedge \ cdots \ wedge dx _ {{i_ { k}}}

De sine $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ are o parametrizare de tip

S(u)=(x_{1}(u),\dots ,x_{k}(u))

{\ displaystyle S (u) = (x_ {1} (u), \ dots, x_ {k} (u))}

{\ displaystyle S (u) = (x_ {1} (u), \ dots, x_ {k} (u))}

cu $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ variabilă într-un domeniu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ din $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ $\ mathbb {R} ^ {k}$ , integralul este definit ca ^[1]

\int _{S}\omega =\int _{D}\sum a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(S(u)){\frac {\partial (x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{k})}}\,du_{1}\ldots du_{k}

{\ displaystyle \ int _ {S} \ omega = \ int _ {D} \ sum a_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}} (S (u)) {\ frac {\ partial (x_ { i_ {1}}, \ dots, x_ {i_ {k}})} {\ partial (u_ {1}, \ dots, u_ {k})}} \, du_ {1} \ ldots du_ {k}}

\ int _ {S} \ omega = \ int _ {D} \ sum a _ {{i_ {1}, \ dots, i_ {k}}} (S (u)) {\ frac {\ partial (x _ {{i_ {1}}}, \ dots, x _ {{i_ {k}}})} {\ partial (u _ {{1}}, \ dots, u _ {{k}})}} \ , du_ {1} \ ldots du_ {k}

unde este

{\frac {\partial (x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{k})}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial (x_ {i_ {1}}, \ dots, x_ {i_ {k}})} {\ partial (u_ {1}, \ dots, u_ {k})}}}

{\ frac {\ partial (x _ {{i_ {1}}}, \ dots, x _ {{i_ {k}}})} {\ partial (u _ {{1}}, \ dots, u _ {{k}})}}

este determinantul Jacobianului . Cu această definiție, rezultatul integralei nu depinde de parametrizarea aleasă, cu excepția semnului. Pentru a obține un semn unic, trebuie fixată o orientare $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și ia în considerare doar parametrizările care păstrează orientarea.

Dacă sub-soiul $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este orientabil, dar nu are parametrizări globale (de exemplu, un tor în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ ), integralul pe $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este definit ca suma integralelor peste parametrii locali disjuncti (reținând orientarea) pe care le acoperă $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ cu excepția cazului în care un set de măsuri zero.

Proprietăți de bază

Se aplică următoarele proprietăți. La fel ca toate integralele, integralul pe două obiecte disjuncte este suma integralelor pe fiecare:

$\int _{S_{1}\sqcup S_{2}}\omega =\int _{S_{1}}\omega +\int _{S_{2}}\omega .\,\!$ ${\ displaystyle \ int _ {S_ {1} \ sqcup S_ {2}} \ omega = \ int _ {S_ {1}} \ omega + \ int _ {S_ {2}} \ omega. \, \!}$ $\ int _ {{S_ {1} \ sqcup S_ {2}}} \ omega = \ int _ {{S_ {1}}} \ omega + \ int _ {{S_ {2}}} \ omega. \, \!$

Integrala este, de asemenea, liniară (coeficienții $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ sunt constante):

$\int _{S}(a\omega +b\eta )=a\int _{S}\omega +b\int _{S}\eta .$ ${\ displaystyle \ int _ {S} (a \ omega + b \ eta) = a \ int _ {S} \ omega + b \ int _ {S} \ eta.}$ $\ int _ {S} (a \ omega + b \ eta) = a \ int _ {S} \ omega + b \ int _ {S} \ eta.$

Semnalul se modifică integral dacă orientarea colectorului este modificată: ^[3]

$\int _{-S}=-\int _{S}.\,\!$ ${\ displaystyle \ int _ {- S} = - \ int _ {S}. \, \!}$ $\ int _ {{- S}} = - \ int _ {S}. \, \!$

Teorema lui Stokes

Teorema lui Stokes exprimă o relație fundamentală între derivarea externă și integrare. De sine $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ e o $(n-1)$ ${\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ forma cu suport compact pe o varietate cu margine compactă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , raportul merită

\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .

{\ displaystyle \ int _ {M} d \ omega = \ int _ {\ partial M} \ omega.}

\ int _ {M} d \ omega = \ int _ {{\ partial M}} \ omega.

Teorema lui Stokes implică următorul fapt: integrala a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ - forma exactă pe un colector închis este nulă. În acest caz, de fapt, marginea nu există și, prin urmare, al doilea termen este zero.

Integrală de linie

Același subiect în detaliu: Integrală de linie .

O formă 1 $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ poate fi integrat pe orice submanifold orientat de dimensiunea 1, adică o curbă $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ . Integrala din $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ lung $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ poate fi calculat cu următoarea formulă:

\int _{\gamma }\omega =\int _{c}^{d}\left\langle \omega (\gamma (t)),{\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle dt

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} \ omega = \ int _ {c} ^ {d} \ left \ langle \ omega (\ gamma (t)), {\ frac {d \ gamma} {dt}} ( t) \ right \ rangle dt}

\ int _ {{\ gamma}} \ omega = \ int _ {{c}} ^ {{d}} \ left \ langle \ omega (\ gamma (t)), {\ frac {d \ gamma} {dt }} (t) \ right \ rangle dt

și nu depinde de parametrizarea particulară a curbei (schimbă semnul dacă parametrizarea schimbă orientarea). În cazul în care este deschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este cuprins în plan $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ , forma este de tipul

\omega =a(x,y)dx+b(x,y)dy

{\ displaystyle \ omega = a (x, y) dx + b (x, y) dy}

\ omega = a (x, y) dx + b (x, y) dy

iar integralul se calculează după cum urmează:

\int _{\gamma }\omega =\int _{c}^{d}[a(x,y)\cdot x^{\prime }(t)+b(x,y)\cdot y^{\prime }(t)]\cdot dt

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} \ omega = \ int _ {c} ^ {d} [a (x, y) \ cdot x ^ {\ prime} (t) + b (x, y) \ cdot y ^ {\ prime} (t)] \ cdot dt}

\ int _ {{\ gamma}} \ omega = \ int _ {{c}} ^ {{d}} [a (x, y) \ cdot x ^ {\ prime} (t) + b (x, y ) \ cdot y ^ {\ prime} (t)] \ cdot dt

Integrala de linie este un instrument strâns legat de noțiunile de formă închisă și exactă. De fapt, se aplică următoarele fapte.

De sine $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este exactă, integralul lui $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ pe orice curbă închisă este nulă. Aceasta rezultă din teorema lui Stokes .
În consecință, dacă $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este exactă, integralul pe o curbă neînchisă depinde doar de extremele sale.

De exemplu, funcția $1/z$ ${\ displaystyle 1 / z}$ $1 / z$ pe $\mathbb {C} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$ ${\ mathbb C} ^ {*}$ nu este exact, deoarece

\int _{\gamma }{\frac {1}{z}}=2\pi i

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} {\ frac {1} {z}} = 2 \ pi i}

\ int _ {\ gamma} {\ frac 1z} = 2 \ pi i

pentru fiecare curbă $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ având indice de înfășurare 1 cu originea.

Notă

^ ^a ^b W. Rudin , Pagina 258 .
^ W. Rudin , pagina 265 .
^ W. Rudin , pagina 260 .

Bibliografie

Walter Rudin, Principiile analizei matematice , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « formular »

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 34083 · LCCN ( EN ) sh85037916 · BNF ( FR ) cb122737106 (data) · NDL ( EN , JA ) 00560655

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[def-1] W. Rudin , Pagina 258 .

[2] W. Rudin , pagina 265 .

[3] W. Rudin , pagina 260 .

[1]

[2]

[3]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo , di linea ( 1ª specie · 2ª specie ) e di superficie ( di volume )
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy