Asociativitate

În matematică , asociativitatea (sau proprietatea asociativă ) este o proprietate care poate avea o operație binară . Înseamnă că ordinea evaluării este irelevantă dacă operația apare de mai multe ori într-o expresie. Altfel spus, nu sunt necesare paranteze pentru o operație asociativă. De exemplu, ia în considerare egalitatea

(5 + 2) +1 = 5+ (2 + 1)

Adăugarea 5 și 2 dă 7, iar adăugarea 1 dă rezultatul 8 pentru partea stângă. Pentru a evalua membrul potrivit, începem să adăugăm 2 și 1 pentru a obține 3, apoi adăugăm 3 și 5 pentru a obține din nou 8. Deci, egalitatea este verificată. De fapt, este adevărat pentru toate numerele reale , nu doar pentru 5, 2 și 1. Spunem că „adunarea în mulțimea numerelor reale este o operație asociativă”.

Operațiile asociative sunt frecvente în matematică și, într-adevăr, multe structuri algebrice necesită în mod explicit ca operațiile lor binare să fie asociative. Cu toate acestea, multe operațiuni importante nu sunt asociative; un exemplu comun este produsul vector .

Definiție

În mod formal, o operație binară $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ pe o mulțime S se numește asociativ dacă îndeplinește legea asociativă :

(x*y)*z=x*(y*z)\qquad {\mbox{per ogni }}x,y,z\in S.

{\ displaystyle (x * y) * z = x * (y * z) \ qquad {\ mbox {pentru fiecare}} x, y, z \ în S.}

{\ displaystyle (x * y) * z = x * (y * z) \ qquad {\ mbox {pentru fiecare}} x, y, z \ în S.}

Ordinea evaluării nu afectează valoarea acelei expresii și se arată că același lucru este valabil și pentru expresiile care conțin un număr arbitrar de operații $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ . Deci când $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ este asociativ, ordinea de evaluare poate fi lăsată nespecificată fără a provoca ambiguitate, omiterea parantezelor și simpla scriere:

x*y*z.

{\ displaystyle x * y * z.}

{\ displaystyle x * y * z.}

Exemple

Iată câteva exemple de operații asociative.

În aritmetică , adunarea și multiplicarea numerelor reale sunt asociative, adică

\left.{\begin{matrix}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{per ogni }}x,y,z\in \mathbb {R} .

{\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z \ quad \\ (x \, y) z = x (y \, z) = x \, y \, z \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \ \ \, \ end {matrix}} \ right \} {\ mbox {pentru fiecare}} x, y, z \ in \ mathbb { R}.}

{\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z \ quad \\ (x \, y) z = x (y \, z) = x \, y \, z \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \ \ \, \ end {matrix}} \ right \} {\ mbox {pentru fiecare}} x, y, z \ in \ mathbb { R}.}

Adunarea și multiplicarea numerelor complexe și a cuaternionilor sunt asociative. Suma octetilor este încă asociativă, dar multiplicarea octetilor nu este asociativă.

Funcțiile cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun acționează asociativ:

$\left.{\begin{matrix}\operatorname {M.C.D.} (\operatorname {M.C.D.} (x,y),z)=\operatorname {M.C.D.} (x,\operatorname {M.C.D.} (y,z))=\operatorname {M.C.D.} (x,y,z)\ \quad \\\operatorname {m.c.m.} (\operatorname {m.c.m.} (x,y),z)=\operatorname {m.c.m.} (x,\operatorname {m.c.m.} (y,z))=\operatorname {m.c.m.} (x,y,z)\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{ per ogni }}x,y,z\in \mathbb {Z} .$ ${\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} \ operatorname {MCD} (\ operatorname {MCD} (x, y), z) = \ operatorname {MCD} (x, \ operatorname {MCD} (y, z) ) = \ operatorname {MCD} (x, y, z) \ \ quad \\\ operatorname {mcm} (\ operatorname {mcm} (x, y), z) = \ operatorname {mcm} (x, \ operatorname { mcm} (y, z)) = \ operatorname {mcm} (x, y, z) \ quad \ end {matrix}} \ right \} {\ mbox {for each}} x, y, z \ in \ mathbb {Z}.}$ ${\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} \ operatorname {MCD} (\ operatorname {MCD} (x, y), z) = \ operatorname {MCD} (x, \ operatorname {MCD} (y, z) ) = \ operatorname {MCD} (x, y, z) \ \ quad \\\ operatorname {mcm} (\ operatorname {mcm} (x, y), z) = \ operatorname {mcm} (x, \ operatorname { mcm} (y, z)) = \ operatorname {mcm} (x, y, z) \ quad \ end {matrix}} \ right \} {\ mbox {for each}} x, y, z \ in \ mathbb {Z}.}$

Intersecția și uniunea mulțimilor :

\left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{per tutti gli insiemi }}A,B,C.

{\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} (A \ cap B) \ cap C = A \ cap (B \ cap C) = A \ cap B \ cap C \ quad \\ (A \ cup B) \ cup C = A \ cup (B \ cup C) = A \ cup B \ cup C \ quad \ end {matrix}} \ right \} {\ mbox {pentru toate seturile}} A, B, C.}

{\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} (A \ cap B) \ cap C = A \ cap (B \ cap C) = A \ cap B \ cap C \ quad \\ (A \ cup B) \ cup C = A \ cup (B \ cup C) = A \ cup B \ cup C \ quad \ end {matrix}} \ right \} {\ mbox {pentru toate seturile}} A, B, C.}

Dacă M este un set dat și S reprezintă ansamblul tuturor funcțiilor de la M la M , atunci operația de compunere a funcțiilor pe S este asociativă:

(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad {\mbox{per ogni }}f,g,h\in S.

{\ displaystyle (f \ circ g) \ circ h = f \ circ (g \ circ h) = f \ circ g \ circ h \ qquad {\ mbox {pentru fiecare}} f, g, h \ în S.}

{\ displaystyle (f \ circ g) \ circ h = f \ circ (g \ circ h) = f \ circ g \ circ h \ qquad {\ mbox {pentru fiecare}} f, g, h \ în S.}

Puțin mai general, având în vedere patru seturi M , N , P și Q , cu f: M la N , g : N la P și h : P la Q , apoi

(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h

{\ displaystyle (f \ circ g) \ circ h = f \ circ (g \ circ h) = f \ circ g \ circ h}

{\ displaystyle (f \ circ g) \ circ h = f \ circ (g \ circ h) = f \ circ g \ circ h}

Ca inainte. Pe scurt, compoziția hărții este întotdeauna asociativă.

O matrice reprezintă o transformare liniară între spații vectoriale față de baze fixe, iar produsul matricelor corespunde compoziției transformărilor liniare corespunzătoare. Prin urmare, din asociativitatea compoziției funcțiilor rezultă asociativitatea produsului matricilor.

Nesociativitate

O operație binară $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ pe un set S care nu satisface legea asociativă se numește neasociativ . În simboluri,

(x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad {\mbox{per qualche }}x,y,z\in S.

{\ displaystyle (x * y) * z \ neq x * (y * z) \ qquad {\ mbox {pentru unele}} x, y, z \ în S.}

{\ displaystyle (x * y) * z \ neq x * (y * z) \ qquad {\ mbox {pentru unele}} x, y, z \ în S.}

Pentru această operațiune, ordinea evaluării este importantă. Scăderea , divizarea și exponențierea sunt exemple binecunoscute de operații neasociative:

{\begin{matrix}(5-3)-2\neq 5-(3-2)\quad \\(4/2)/2\neq 4/(2/2)\qquad \qquad \\2^{(1^{2})}\neq (2^{1})^{2}.\quad \qquad \qquad \end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} (5-3) -2 \ neq 5- (3-2) \ quad \\ (4/2) / 2 \ neq 4 / (2/2) \ qquad \ qquad \ \ 2 ^ {(1 ^ {2})} \ neq (2 ^ {1}) ^ {2}. \ Quad \ qquad \ qquad \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} (5-3) -2 \ neq 5- (3-2) \ quad \\ (4/2) / 2 \ neq 4 / (2/2) \ qquad \ qquad \ \ 2 ^ {(1 ^ {2})} \ neq (2 ^ {1}) ^ {2}. \ Quad \ qquad \ qquad \ end {matrix}}}

În general, parantezele ar trebui utilizate pentru a indica ordinea evaluării, dacă o operație neasociativă apare de mai multe ori într-o expresie. Cu toate acestea, matematicienii sunt de acord cu o anumită ordine de evaluare pentru multe operații comune neasociative. Aceasta este o convenție, nu un adevăr matematic.

O operație asociativă stângă este o operație neasociativă care este evaluată convențional de la stânga la dreapta, adică

\left.{\begin{matrix}x*y*z=(x*y)*z\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=((w*x)*y)*z\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{per ogni }}w,x,y,z\in S

{\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} x * y * z = (x * y) * z \ qquad \ qquad \ quad \, \\ w * x * y * z = ((w * x) * y) * z \ quad \\ {\ mbox {etc.}} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ \ \, \ end {matrix}} \ right \} {\ mbox {pentru fiecare}} w, x, y, z \ în S}

{\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} x * y * z = (x * y) * z \ qquad \ qquad \ quad \, \\ w * x * y * z = ((w * x) * y) * z \ quad \\ {\ mbox {etc.}} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ \ \, \ end {matrix}} \ right \} {\ mbox {pentru fiecare}} w, x, y, z \ în S}

în timp ce o operațiune asociativă din dreapta este evaluată convențional de la dreapta la stânga:

\left.{\begin{matrix}x*y*z=x*(y*z)\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{per ogni }}w,x,y,z\in S

{\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} x * y * z = x * (y * z) \ qquad \ qquad \ quad \, \\ w * x * y * z = w * (x * (y * z)) \ quad \\ {\ mbox {etc.}} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ \ \, \ end {matrix}} \ right \} {\ mbox {pentru fiecare}} w, x, y, z \ în S}

{\ displaystyle \ left. {\ begin {matrix} x * y * z = x * (y * z) \ qquad \ qquad \ quad \, \\ w * x * y * z = w * (x * (y * z)) \ quad \\ {\ mbox {etc.}} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ \ \, \ end {matrix}} \ right \} {\ mbox {pentru fiecare}} w, x, y, z \ în S}

Există atât operațiuni asociative în stânga, cât și operațiuni asociative în dreapta; câteva exemple sunt date mai jos.

Alte exemple

Operațiunile asociative din stânga includ:

Scăderea și împărțirea numerelor reale:

x-y-z=(x-y)-z\qquad {\mbox{per ogni }}x,y,z\in \mathbb {R} ;

{\ displaystyle xyz = (xy) -z \ qquad {\ mbox {pentru fiecare}} x, y, z \ in \ mathbb {R};}

{\ displaystyle x-y-z = (x-y) -z \ qquad {\ mbox {pentru fiecare}} x, y, z \ in \ mathbb {R};}

x/y/z=(x/y)/z\qquad \qquad \quad {\mbox{per ogni }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ con }}y\neq 0,z\neq 0.

{\ displaystyle x / y / z = (x / y) / z \ qquad \ qquad \ quad {\ mbox {pentru fiecare}} x, y, z \ in \ mathbb {R} {\ mbox {cu}} y \ neq 0, z \ neq 0.}

{\ displaystyle x / y / z = (x / y) / z \ qquad \ qquad \ quad {\ mbox {pentru fiecare}} x, y, z \ in \ mathbb {R} {\ mbox {cu}} y \ neq 0, z \ neq 0.}

Operațiunile asociative din dreapta includ următoarele:

Exponențierea numerelor reale:

x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}.

{\ displaystyle x ^ {y ^ {z}} = x ^ {(y ^ {z})}.}

{\ displaystyle x ^ {y ^ {z}} = x ^ {(y ^ {z})}.}

Motivul pentru care exponențierea este asociativă corectă este că exponențierea asociativă stângă repetată ar fi mai puțin practic: de exemplu, funcția