Produs Vectorial

În matematică , în special în calculul vectorial , produsul vector este o operație binară internă între doi vectori într-un spațiu euclidian tridimensional care returnează un alt vector normal planului format de vectorii de pornire.

Produsul vector este indicat cu simbolul $\times$ ${\ displaystyle \ times}$ $\ ori$ sau cu simbolul $\wedge$ ${\ displaystyle \ wedge}$ $\ wedge$ . Al doilea simbol, totuși, este folosit și pentru a indica produsul extern (sau produsul de pană ) în algebra lui Grassmann și Clifford și în forme diferențiale . Din punct de vedere istoric, produsul extern a fost definit de Grassmann cu aproximativ treizeci de ani înainte ca Gibbs și Heaviside să definească produsul vector ^[1] .

Definiție

Produs vectorial într-un sistem dreptaci

Produsul vectorial între doi vectori $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ este definit ca vectorul perpendicular pe acestea:

\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\hat {\mathbf {n} }}|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = {\ hat {\ mathbf {n}}} | \ mathbf {a} || \ mathbf {b} | \ sin \ theta}

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = {\ hat {\ mathbf {n}}} | \ mathbf {a} || \ mathbf {b} | \ sin \ theta}

unde este $0<\theta <\pi$ ${\ displaystyle 0 <\ theta <\ pi}$ $0 <\ theta <\ pi$ este unghiul dintre $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ Și ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ $\ hat {\ mathbf n}$ este un vector normal la planul format de $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ , care dă direcția produsului vector. Observați că formularul $|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta$ ${\ displaystyle | \ mathbf {a} || \ mathbf {b} | \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {a} || \ mathbf {b} | \ sin \ theta}$ a produsului vector este aria paralelogramului identificată de cei doi vectori $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ .

Explicit, ziceri $\mathbf {i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$ $\ mathbf i$ , $\mathbf {j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$ $\ mathbf j$ Și $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf k$ versorii unei baze ortonormale a $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ , produsul $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$ $\ mathbf a = (a_1, a_2, a_3)$ Și $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} = (b_ {1}, b_ {2}, b_ {3})}$ $\ mathbf b = (b_1, b_2, b_3)$ poate fi scris în această bază ca determinant al unei matrice (cu abuz de notație ):

{\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}\\{a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}\\{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\\\end{bmatrix}}=\\&=\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)\mathbf {i} +\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)\mathbf {j} +\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} & = \ det {\ begin {bmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \\ a_ {1} & a_ {2} & a_ {3} \\ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}} \\ {a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}} \\ {a_ {1} b_ {2} -a_ {2 } b_ {1}} \\\ end {bmatrix}} = \\ & = \ left (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} \ right) \ mathbf {i} + \ left (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3} \ right) \ mathbf {j} + \ left (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1} \ right) \ mathbf {k} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} & = \ det {\ begin {bmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \\ a_ {1} & a_ {2} & a_ {3} \\ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}} \\ {a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}} \\ {a_ {1} b_ {2} -a_ {2 } b_ {1}} \\\ end {bmatrix}} = \\ & = \ left (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} \ right) \ mathbf {i} + \ left (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3} \ right) \ mathbf {j} + \ left (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1} \ right) \ mathbf {k} \ end {align}}}

Deoarece produsul vectorial dintre doi vectori sub transformări de paritate nu se comportă ca un vector adevărat, este denumit pseudovector . De exemplu, impulsul unghiular , viteza unghiulară , câmpul magnetic sunt pseudovectori (numiți și vectori axiali).

Versul produsului vector

Deoarece există doi versori ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ $\ hat {\ mathbf n}$ Și $-{\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ displaystyle - {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ $- \ hat {\ mathbf n}$ perpendicular pe ambele ad $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ că a $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ , în mod convențional, alegeți ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ hat {\ mathbf {n}}}$ în așa fel încât vectorii $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ , $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ și $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}}$ $\ mathbf a \ times \ mathbf b$ sunt orientate după un sistem dreptaci dacă sistemul axelor de coordonate $(\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k})}$ $(\ mathbf i, \ mathbf j, \ mathbf k)$ este la dreapta sau la stânga dacă sistemul de axe este la stânga. Orientarea vectorului unitar ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ hat {\ mathbf {n}}}$ deci depinde de orientarea vectorilor în spațiu, adică de chiralitatea sistemului de coordonate ortonormale.

O modalitate simplă de a determina direcția produsului vector este „ regula din partea dreaptă ”. Într-un sistem dreptaci, degetul mare este îndreptat în direcția primului vector, degetul arătător în cel al celui de-al doilea, degetul mijlociu dă direcția produsului vector. Într-un sistem de referință pentru stângaci, este suficient să se inverseze direcția produsului vector, adică să se utilizeze mâna stângă.

O altă metodă simplă este cea a „șurubului mâinii drepte”. Într-un sistem dreptaci, se simulează mișcarea de strângere sau deșurubare a unui șurub dreptaci; privit de sus, dacă prin rotirea primului vector spre al doilea rotația este în sensul acelor de ceasornic, șurubul va fi înșurubat și, prin urmare, direcția vectorului va fi orientată în jos; invers, dacă se efectuează o rotație în sens invers acelor de ceasornic, șurubul va fi deșurubat și direcția vectorului va fi orientată în sus.

Notare cu indici

Produsul vector $\mathbf {a\times b} =\mathbf {c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a \ times b} = \ mathbf {c}}$ $\ mathbf {a \ times b} = \ mathbf {c}$ poate fi definit în termenii tensorului Levi-Civita $\varepsilon _{ijk}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ $\ varepsilon_ {ijk}$ ca:

c_{k}=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}

{\ displaystyle c_ {k} = \ varepsilon _ {ijk} a ^ {i} b ^ {j}}

c_k = \ varepsilon_ {ijk} a ^ i b ^ j

unde indicii $the, j, k$ ${\ displaystyle i, j, k}$ $i, j, k$ sunt componentele ortogonale ale vectorului, folosind notația lui Einstein .

Proprietate

Produsul vector este biliniar , adică având trei vectori $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ , $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ Și $\mathbf {c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ $\ mathbf c$ având dimensiuni egale și un scalar $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ :

(k\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =k(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \times (k\mathbf {b} )

{\ displaystyle (k \ mathbf {a}) \ times \ mathbf {b} = k (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {a} \ times (k \ mathbf {b}) }

(k \ mathbf {a}) \ times \ mathbf {b} = k (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {a} \ times (k \ mathbf {b})

(\mathbf {a} +\mathbf {c} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {b}

{\ displaystyle (\ mathbf {a} + \ mathbf {c}) \ times \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {c} \ times \ mathbf {b}}

(\ mathbf {a} + \ mathbf {c}) \ times \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {c} \ times \ mathbf {b}

(distributiv în ceea ce privește adăugarea)

\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c}

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} + \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}}

\ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} + \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}

Se întâmplă $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = \ mathbf {0}}$ $\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = \ mathbf {0}$ dacă și numai dacă $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ sunt liniar dependente . În special, $\mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {a} = \ mathbf {0}}$ $\ mathbf {a} \ times \ mathbf {a} = \ mathbf {0}$
Produsul vector este anticomutativ (și, prin urmare, nu se bucură de proprietatea comutativă), adică:

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a}

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = - \ mathbf {b} \ times \ mathbf {a}}

\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = - \ mathbf {b} \ times \ mathbf {a}

Nu este un produs real, deoarece nu este asociativ .
Produsul vector satisface identitatea Jacobi :

\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) + \ mathbf {b} \ times (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) + \ mathbf { c} \ times (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {0}}

\ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) + \ mathbf {b} \ times (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) + \ mathbf {c} \ times (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {0}

Proprietatea antisimetrică, biliniaritatea și identitatea Jacobi înseamnă asta $(\mathbb {R} ^{3},+,\times )$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {3}, +, \ times)}$ $(\ mathbb {R} ^ 3, +, \ times)$ este o algebră Lie .
Versorii (sau vectori unimodulari ai bazei canonice ) $\mathbf {i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$ $\ mathbf i$ , $\mathbf {j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j}}$ $\ mathbf j$ , Și $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf k$ relativ la un sistem cartezian de coordonate ortogonale în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ îndepliniți următoarele ecuații:

\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \qquad \mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i} \qquad \mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j}

{\ displaystyle \ mathbf {i} \ times \ mathbf {j} = \ mathbf {k} \ qquad \ mathbf {j} \ times \ mathbf {k} = \ mathbf {i} \ qquad \ mathbf {k} \ times \ mathbf {i} = \ mathbf {j}}

\ mathbf i \ times \ mathbf j = \ mathbf k \ qquad \ mathbf j \ times \ mathbf k = \ mathbf i \ qquad \ mathbf k \ times \ mathbf i = \ mathbf j

Produs triplu

Produsul triplu din trei vectori este definit ca:

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c})}

\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c})

Acesta este volumul cu semnul paralelipipedului cu laturile $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ Și $\mathbf {c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ $\ mathbf {c}$ , iar acești transportatori pot fi schimbați:

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) = \ mathbf { c} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b})}

\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) = \ mathbf {c} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b})

Un alt produs cu trei vectori, numit produs cu vector dublu , este legat de produsul scalar prin formula:

\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - \ mathbf {c} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})}

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) - \ mathbf {c} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b})}

Ca un caz special avem:

\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f}

{\ displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {f}) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {f}) - (\ nabla \ cdot \ nabla) \ mathbf {f} = \ nabla ( \ nabla \ cdot \ mathbf {f}) - \ nabla ^ {2} \ mathbf {f}}

\ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {f}) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {f}) - (\ nabla \ cdot \ nabla) \ mathbf {f} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {f}) - \ nabla ^ 2 \ mathbf {f}

Aceasta este o relație deosebit de utilă în calculul diferențial , deoarece privește echivalența dintre rotorul dublu și diferența dintre gradientul divergenței $\nabla (\nabla \cdot )$ ${\ displaystyle \ nabla (\ nabla \ cdot)}$ $\ nabla (\ nabla \ cdot)$ iar la lapacianul $\nabla ^{2}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ 2$ .

O altă relație care leagă produsul vector de produsul triplu este:

(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a}

{\ displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ times (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c})) \ mathbf {a}}

(\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ times (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf { c})) \ mathbf {a}

În timp ce pentru:

{\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} )\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) & = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a}) \ end {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) & = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a}) \ end {aliniat}}}

și mai general:

{\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {d}) & = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {d}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {d}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c}) \ end {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {d}) & = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {d}) - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {d}) (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c}) \ end {aliniat}}}

Identitatea lui Lagrange

O identitate utilă este:

|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{bmatrix}}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}

{\ displaystyle | \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} | ^ {2} = \ det {\ begin {bmatrix} \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} & \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} \\\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} & \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b} \\\ end {bmatrix}} = | \ mathbf {a} | ^ { 2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) ^ {2}}

| \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} | ^ 2 = \ det \ begin {bmatrix} \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} & \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} \ \ \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} & \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {b} \\ \ end {bmatrix} = | \ mathbf {a} | ^ 2 | \ mathbf {b} | ^ 2 - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) ^ 2

care poate fi comparat cu identitatea Lagrange exprimată ca:

\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}(\sum _{j=i+1}^{n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2})=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}

{\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ right) ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} (\ sum _ {j = i + 1} ^ {n} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ right) ^ {2 }) = | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - (\ mathbf {a \ cdot b}) ^ {2}}

{\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ right) ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} (\ sum _ {j = i + 1} ^ {n} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ right) ^ {2 }) = | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - (\ mathbf {a \ cdot b}) ^ {2}}

in care $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf a$ Și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ sunt vectori n- dimensionali. Aceasta arată că forma volumului Riemannian pentru suprafețe este exact elementul de suprafață al calculului vectorial. În cazul tridimensional, combinând cele două relații anterioare, obținem modulul produsului vector scris prin componente:

|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq 3}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}=(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}

{\ displaystyle | \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} | ^ {2} = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq 3} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ { j} b_ {i} \ right) ^ {2} = (a_ {1} b_ {2} -b_ {1} a_ {2}) ^ {2} + (a_ {2} b_ {3} -a_ { 3} b_ {2}) ^ {2} + (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}) ^ {2}}

| \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} | ^ 2 = \ sum_ {1 \ le i <j \ le 3} \ left (a_ib_j-a_jb_i \ right) ^ 2 = (a_1b_2 - b_1a_2) ^ 2 + (a_2b_3 - a_3b_2) ^ 2 + (a_3b_1-a_1b_3) ^ 2

Acesta este un caz special de multiplicare $|\mathbf {v} \mathbf {w} |=|\mathbf {v} ||\mathbf {w} |$ ${\ displaystyle | \ mathbf {v} \ mathbf {w} | = | \ mathbf {v} || \ mathbf {w} |}$ $| \ mathbf v \ mathbf w | = | \ mathbf v | | \ mathbf w |$ a normei în algebra cuaternionilor .

Diferenţiere

Regula lui Leibniz se aplică și produsului vector:

{\frac {d}{dx}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dx}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dx}}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = {\ frac {d \ mathbf {a}} {dx}} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ times {\ frac {d \ mathbf {b}} {dx}}}

\ frac {d} {dx} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ frac {d \ mathbf {a}} {dx} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ times \ frac {d \ mathbf {b}} {dx}

după cum se poate demonstra folosind reprezentareaînmulțirii matricei .

Aplicații

Produsul vector este, de asemenea, utilizat pe scară largă în fizică și inginerie, precum și în geometrie și algebră. Mai jos este o listă neexhaustivă a unor aplicații.

Moment unghiular și moment mecanic

Reprezentarea momentului mecanic τ și a momentului unghiular L pentru un corp constrâns să se rotească într-un plan . Forța F și impulsul p sunt „aplicate” vectorului de poziție r ,

Momentul unghiular $\scriptstyle \mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {L}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {L}}$ a unui corp este definit ca:

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} \,}

{\ mathbf {L}} = {\ mathbf {r}} \ times {\ mathbf {p}} \,

unde este $\scriptstyle \mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {p}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {p}}$ este vectorul de impuls, în timp ce $\scriptstyle \mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {r}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {r}}$ este poziția vectorială a corpului față de polul de referință.

În mod similar, impulsul unei forțe ^[2] este definit ca:

\mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} \,}

{\ mathbf {M}} = {\ mathbf {r}} \ times {\ mathbf {F}} \,

unde este $\scriptstyle \mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {F}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {F}}$ este forța aplicată punctului identificat de raza vectorială $\scriptstyle \mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {r}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {r}}$ .

De la locație $\scriptstyle \mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {r}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {r}}$ , impuls $\scriptstyle \mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {p}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {p}}$ și forță $\scriptstyle \mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {F}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {F}}$ toți sunt vectori polari , ambii moment unghiular $\scriptstyle \mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {L}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {L}}$ este momentul mecanic $\scriptstyle \mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {M}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {M}}$ sunt pseudo-vectori sau vectori axiali ^[3] .

Corp rigid

Produsul vector apare și în descrierea mișcărilor de rotație. De exemplu, pentru două puncte P și Q pe un corp rigid se aplică următoarea lege a transportului vitezei:

\mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}=\mathbf {\omega } \times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {P} - \ mathbf {v} _ {Q} = \ mathbf {\ omega} \ times \ left (\ mathbf {r} _ {P} - \ mathbf {r} _ {Q} \ dreapta) \,}

{\ mathbf {v}} _ {P} - {\ mathbf {v}} _ {Q} = {\ mathbf {\ omega}} \ times \ left ({\ mathbf {r}} _ {P} - { \ mathbf {r}} _ {Q} \ right) \,

unde este $\scriptstyle \mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {r}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {r}}$ este poziția unui punct, $\scriptstyle \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {v}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {v}}$ viteza sa și $\scriptstyle \mathbf {\omega }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {\ omega}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {\ omega}}$ viteza unghiulară a corpului rigid.

De la locație $\scriptstyle \mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {r}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {r}}$ și viteză $\scriptstyle \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {v}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {v}}$ sunt vectori polari , viteza unghiulară $\scriptstyle \mathbf {\omega }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {\ omega}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {\ omega}}$ este un pseudo-vector . ^[3]

Forța Lorentz

Același subiect în detaliu: forța Lorentz .

Având în vedere o particulă punctuală, forța electromagnetică exercitată asupra acesteia este egală cu:

\mathbf {F} =q_{e}\,\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)

{\ displaystyle \ mathbf {F} = q_ {e} \, \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right)}

{\ mathbf {F}} = q_ {e} \, \ left ({\ mathbf {E}} + {\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}} \ right)

unde este:

$\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ ${\ mathbf {F}}$ este forța electromagnetică totală, numită și forța Lorentz
$q_{e}$ ${\ displaystyle q_ {e}}$ $q_ {e}$ este sarcina electrică a particulei
$\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ ${\ mathbf {E}}$ este câmpul electric
$\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ mathbf {v}}$ este viteza particulei
$\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ ${\ mathbf {B}}$ este câmpul magnetic

Rețineți că componenta magnetică a forței este proporțională cu produsul vector dintre $\scriptstyle \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {v}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {v}}$ Și $\scriptstyle \mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {B}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {B}}$ , prin urmare este întotdeauna perpendiculară pe viteză $\scriptstyle \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {v}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {v}}$ și nu lucrează.

Din moment ce viteza $\scriptstyle \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {v}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {v}}$ , forta $\scriptstyle \mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {F}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {F}}$ și câmpul electric $\scriptstyle \mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {E}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {E}}$ toți sunt vectori polari , câmpul magnetic $\scriptstyle \mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {B}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {B}}$ este un pseudo-vector . ^[3]

Produs extern

Același subiect în detaliu: Algebră externă .

Relația dintre produsul vector și produsul extern: produsul vector este obținut luând în considerare dualul Hodge al bivectorului

a\wedge b

{\ displaystyle a \ wedge b}

a \ wedge b

.

Produsul exterior (produs de pană) a doi vectori este un bivector, adică un element plan orientat (în mod similar cu un vector care poate fi văzut ca un element liniar orientat). Având în vedere doi vectori $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , bivectorul $a\wedge b$ ${\ displaystyle a \ wedge b}$ $a \ wedge b$ este paralelogramul orientat format din cei doi vectori $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Produsul vector este obținut luând în considerare dualul Hodge al bivectorului $a\wedge b$ ${\ displaystyle a \ wedge b}$ $a \ wedge b$ :

a\times b=*(a\wedge b)

{\ displaystyle a \ times b = * (a \ wedge b)}

a \ times b = * (a \ wedge b)

care mapează bivectori în vectori. Se poate gândi la un astfel de produs ca la un element multidimensional, care în trei dimensiuni este un vector, care este „perpendicular” pe bivector.

Generalizări

Nu există un analog al produsului vectorial în spații cu dimensiuni mai mari care returnează un vector. Cu toate acestea, produsul extern se bucură de proprietăți foarte similare, chiar dacă produce un bivector și nu un vector. Dualul Hodge al produsului pană produce un vector de $n-2$ ${\ displaystyle n-2}$ $n-2$ componente care este o generalizare naturală a produsului vector într-o dimensiune arbitrară.

Algebre de minciună

Același subiect în detaliu: Algebra minciunii .

Produsul vector poate fi văzut ca unul dintre cele mai simple produse Lie și, prin urmare, este generalizat de algebre Lie, care sunt axiomatizate ca produse binare care satisfac axiomele multiliniarității, antisimetriei și identității Jacobi . De exemplu, algebra Heisenberg oferă o altă structură algebră Lie pe $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ . În bază $\{x,y,z\}$ ${\ displaystyle \ {x, y, z \}}$ $\ {x, y, z \}$ produsul este:

[x,y]=z\qquad [x,z]=[y,z]=0

{\ displaystyle [x, y] = z \ qquad [x, z] = [y, z] = 0}

[x, y] = z \ qquad [x, z] = [y, z] = 0

Extensii multidimensionale

Un produs extern pentru vectori în 7 dimensiuni poate fi obținut în mod similar prin utilizarea octonionilor în loc de cuaternioni. Pe de altă parte, nu pot exista alte extensii ale produsului vector care returnează un vector ^[4] , iar acest lucru este legat de faptul că singurele algebre de diviziune normată sunt cele cu dimensiunile 1,2,4 și 8.

Totuși, dacă considerăm rezultatul operației nu mai mult ca un vector sau pseudovector ci ca o matrice , atunci este posibil să extindem ideea unui produs vector în orice număr de dimensiuni ^[5] ^[6] .

În mecanică, de exemplu, viteza unghiulară poate fi interpretată atât ca un pseudo-vector $\scriptstyle \omega$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ omega}$ $\ scriptstyle \ omega$ atât ca matrice antisimetrică $\scriptstyle \Omega$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ Omega}$ $\ scriptstyle \ Omega$ . În acest din urmă caz, legea transportului de viteză pentru un corp rigid va fi:

\mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\Omega }\cdot \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {P} - \ mathbf {v} _ {Q} = {\ Omega} \ cdot \ left (\ mathbf {r} _ {P} - \ mathbf {r} _ {Q } \ dreapta) \,}

{\ mathbf {v}} _ {P} - {\ mathbf {v}} _ {Q} = {\ Omega} \ cdot \ left ({\ mathbf {r}} _ {P} - {\ mathbf {r }} _ {Q} \ right) \,

unde este $\scriptstyle \Omega$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ Omega}$ $\ scriptstyle \ Omega$ este definit formal pornind de la matricea de rotație $\scriptstyle R^{N\times N}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle R ^ {N \ times N}}$ $\ scriptstyle R ^ {{N \ times N}}$ corpului rigid:

\Omega \triangleq {\frac {dR}{dt}}R^{T}

{\ displaystyle \ Omega \ triangleq {\ frac {dR} {dt}} R ^ {T}}

\ Omega \ triangleq {\ frac {dR} {dt}} R ^ {T}

În câmpul cuantic și impulsul unghiular $\scriptstyle L$ ${\ displaystyle \ scriptstyle L}$ $\ scriptstyle L$ este adesea reprezentată cu o matrice antisimetrică ^[7] , rezultatul unui produs de poziție $\scriptstyle \mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {x}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {x}}$ și impulsul $\scriptstyle \mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {p}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {p}}$ :

L_{ij}=x_{i}p_{j}-p_{i}x_{j}

{\ displaystyle L_ {ij} = x_ {i} p_ {j} -p_ {i} x_ {j}}

L _ {{ij}} = x_ {i} p_ {j} -p_ {i} x_ {j}

De cand $\scriptstyle \mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {x}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {x}}$ Și $\scriptstyle \mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {p}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {p}}$ pot avea un număr arbitrar $\scriptstyle N$ ${\ displaystyle \ scriptstyle N}$ $\ scriptstyle N$ de componente, această formă de produs „vector” (care, de asemenea, nu produce un vector) poate fi generalizată la orice dimensiune, păstrând în același timp interpretarea „fizică” a operației în sine.

Algebra multiliniară

În contextul algebrei multiliniare , produsul vector poate fi văzut ca un tensor (mixt) de ordin (1,2), în mod specific o hartă biliniară , obținută dintr-o formă de volum tridimensională prin ridicarea indicilor.

Simboluri

Produsul vector × este reprezentat ca:

× în HTML
\times în LaTeX
U + 00D7 în Unicode
alt sx + 0215 (de la tastatura numerică) pe Windows

Notă

^ Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis , discuție la Universitatea din Louisville, 2002
^ Numit și cuplu sau moment mecanic în contextul italian. În engleză se numește cuplu sau moment al unei forțe și, prin urmare, este indicat cu $\scriptstyle \mathbf {\tau }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {\ tau}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {\ tau}}$ sau cu $\scriptstyle \mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {M}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {M}}$
^ ^a ^b ^c Pe scurt, un vector polar poate fi asociat cu o translație, în timp ce un pseudovector este asociat cu o rotație. Un pseudovector reflectat într-o oglindă va schimba apoi „direcția”, (de exemplu: de la sensul invers acelor de ceasornic la sensul acelor de ceasornic)
^ WS Massey, Produse încrucișate de vectori în spații euclidiene cu dimensiuni superioare , The American Mathematical Monthly, 1983
^ AW McDavid și CD McMullen,Generalizarea produselor încrucișate și ecuațiile lui Maxwell la dimensiuni suplimentare universale , octombrie 2006
^ Produs CA Gonano și RE Zich Cross în dimensiuni N - produsul doublewedge , august 2014
^ Mai precis, printr-un tensor antisimetric de ordinul 2.

Bibliografie

(EN) Jeffreys, H și Jeffreys, BS, Metode de fizică matematică , Cambridge University Press, 1999.
( EN ) Dennis G. Zill, Michael R. Cullen, Definiție 7.4: Produs încrucișat a doi vectori , în Matematică inginerie avansată , 3rd, Jones & Bartlett Learning, 2006, p. 324, ISBN 0-7637-4591-X .
( EN ) Dennis G. Zill, Michael R. Cullen, Ecuația 7: a × b ca sumă de determinanți , în lucrare citată , Jones & Bartlett Learning, 2006, p. 321, ISBN 0-7637-4591-X .
( EN ) MR Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Vector Analysis , Schaum's outlines, McGraw Hill, 2009, p. 29, ISBN 978-0-07-161545-7 .
( EN ) Vladimir A. Boichenko, Gennadiĭ Alekseevich Leonov, Volker Reitmann,Teoria dimensiunilor pentru ecuații diferențiale obișnuite , Vieweg + Teubner Verlag, 2005, p. 26, ISBN 3-519-00437-2 .
( EN ) Pertti Lounesto, Clifford algebras and spinors , 2nd, Cambridge University Press, 2001, p. 94, ISBN 0-521-00551-5 .
( EN ) Edwin Bidwell Wilson, Vector Analysis: Un manual pentru utilizarea studenților la matematică și fizică, fondat pe prelegerile lui J. Willard Gibbs , Yale University Press, 1901.
( EN ) Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis ( PDF ), Dover, 1994, ISBN 0-486-67910-1 .

Tullio Levi-Civita și Ugo Amaldi, Lecții de mecanică rațională , vol. 1, Bologna, editor Zanichelli, 1949.
Adriano P. Morando și Sonia Leva, Note despre teoria câmpurilor vectoriale , Bologna, Esculapio, 1998.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține lema dicționarului „ produs vector ”
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe produs vector

linkuri externe

( EN ) AA Bovdi, Cross product , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Cross Product , în MathWorld Wolfram Research.
Umberto Scotti, Produsul vector , dispensare rapidă (4 pagini), Universitatea din Napoli Federico II.
Fernando Scarlassara, Calcul vectorial , note de prelegere de bază (15 diapozitive ilustrate), Universitatea din Padova.
Carlo Andrea Gonano, extinderea ND a produsului vector și rotor și a aplicațiilor acestora , Politecnico di Milano, decembrie 2011.

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis , discuție la Universitatea din Louisville, 2002

[nomi_coppia-2] Numit și cuplu sau moment mecanic în contextul italian. În engleză se numește cuplu sau moment al unei forțe și, prin urmare, este indicat cu $\scriptstyle \mathbf {\tau }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {\ tau}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {\ tau}}$ sau cu $\scriptstyle \mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {M}}$ $\ scriptstyle {\ mathbf {M}}$

[pseudovettori-3] Pe scurt, un vector polar poate fi asociat cu o translație, în timp ce un pseudovector este asociat cu o rotație. Un pseudovector reflectat într-o oglindă va schimba apoi „direcția”, (de exemplu: de la sensul invers acelor de ceasornic la sensul acelor de ceasornic)

[Massey2-4] WS Massey, Produse încrucișate de vectori în spații euclidiene cu dimensiuni superioare , The American Mathematical Monthly, 1983

[cross_prod_Maxwell_ND-5] AW McDavid și CD McMullen,Generalizarea produselor încrucișate și ecuațiile lui Maxwell la dimensiuni suplimentare universale , octombrie 2006

[prod_vett_ND-6] Produs CA Gonano și RE Zich Cross în dimensiuni N - produsul doublewedge , august 2014

[momento_angolare_quantistico-7] Mai precis, printr-un tensor antisimetric de ordinul 2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

V · D · M Algebra lineare
Spazio vettoriale	Vettore · Sottospazio vettoriale ( Sottospazio generato ) · Applicazione lineare ( Nucleo · Immagine ) · Base · Dimensione · Teorema della dimensione · Formula di Grassmann · Sistema lineare · Algoritmo di Gauss · Teorema di Rouché-Capelli · Regola di Cramer · Spazio duale · Spazio proiettivo · Spazio affine · Teorema della dimensione per spazi vettoriali
Matrici	Identità · Nulla · Quadrata · Invertibile · Simmetrica · Antisimmetrica · Trasposta · Diagonale · Triangolare · Di cambiamento di base · Ortogonale · Normale · Simplettica · Moltiplicazione di matrici · Rango · Teorema di Kronecker · Minore · Matrice dei cofattori · Determinante · Teorema di Binet · Teorema di Laplace · Radice quadrata di una matrice
Diagonalizzabilità	Autovettore e autovalore · Spettro · Polinomio caratteristico · Polinomio minimo · Teorema di Hamilton-Cayley · Matrice a blocchi · Forma canonica di Jordan · Teorema di diagonalizzabilità
Prodotto scalare	Forma bilineare · Sottospazio ortogonale · Spazio euclideo · Base ortonormale · Algoritmo di Lagrange · Segnatura · Teorema di Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Forma hermitiana · Teorema spettrale