Identitatea lui Jacobi

În matematică și fizică , identitatea lui Jacobi , al cărei nume se datorează lui Carl Gustav Jakob Jacobi , este o proprietate a biliniarității care depinde de ordinea de evaluare a operației date. Spre deosebire de operațiile asociative , ordinea de evaluare a cantităților care trebuie să satisfacă identitatea lui Jacobi este importantă.

Definiție

Identitatea Jacobi este relația următoarei forme:

[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0

{\ displaystyle [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0}

{\ displaystyle [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0}

unde este $[\cdot ,\cdot ]$ ${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]}$ $[\ cdot, \ cdot]$ este comutatorul .

O operație binară $\times$ ${\ displaystyle \ times}$ $\ ori$ definit pe un set $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ cu o operație binară $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ cu identitate aditivă (element neutru în raport cu $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ ) satisface identitatea lui Jacobi dacă:

a\times (b\times c)+c\times (a\times b)+b\times (c\times a)=0\qquad \forall {a,b,c}\in S

{\ displaystyle a \ times (b \ times c) + c \ times (a \ times b) + b \ times (c \ times a) = 0 \ qquad \ forall {a, b, c} \ în S}

{\ displaystyle a \ times (b \ times c) + c \ times (a \ times b) + b \ times (c \ times a) = 0 \ qquad \ forall {a, b, c} \ în S}

Adică, dacă suma tuturor permutărilor egale ale $(a,(b,c))$ ${\ displaystyle (a, (b, c))}$ ${\ displaystyle (a, (b, c))}$ nu trebuie să fie nimic.

Această identitate poate fi luată în considerare pentru orice inel care înseamnă $\,[X,Y]:=X\cdot Y-Y\cdot X$ ${\ displaystyle \, [X, Y]: = X \ cdot YY \ cdot X}$ ${\ displaystyle \, [X, Y]: = X \ cdot Y-Y \ cdot X}$ , adică parantezele pătrate caracterizează comutatorul elementelor inelului. În special, identitatea poate fi luată în considerare atunci când $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ Și $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ ele sunt elemente ale unei algebre și, mai ales, când $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ Și $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ denotați matrici pătrate pe un câmp. O astfel de algebră nu este în general anti-comutativă.

Identitatea lui Jacobi intervine și în definirea algebrei Lie ca axiomă pentru legea compoziției dată de scriere $[X,Y]$ ${\ displaystyle [X, Y]}$ ${\ displaystyle [X, Y]}$ . Într-o expunere generală, această compoziție este tratată axiomatic, într-o aplicație este definită în mod constructiv. Aplicațiile relevante se găsesc în mecanica analitică și mecanica cuantică .

Bibliografie

(EN) James E. Humphreys Introducere în algebrele minciunii și teoria reprezentării, a doua tipărire, revizuită. Texte postuniversitare în matematică, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
( EN ) Nathan Jacobson (1962): Lie algebras , Republication Dover Publications, New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
( EN ) Victor G. Kac, et. la. Note de curs pentru MIT 18.745: Introducere în algebrele minciunii , [1]
(EN) Robert N. Cahn (1984) Algebre semi-simple de minciună și reprezentările lor , Benjamin-Cummings
Hans Samelson Note despre algebra minciunii

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Jacobi Identities in MathWorld Wolfram Research.
(EN) Robert N. Cahn (1984) Algebre semi-simple de minciună și reprezentările lor , Benjamin-Cummings
( EN ) Hans Samelson Note despre Lie Algebra

Controlul autorității	LCCN (EN) sh93005729 · GND (DE) 4348111-5 · BNF (FR) cb166168973 (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică