Paranteza lui Jacobi

În matematică , o paranteză Jacobi (de la Carl Gustav Jakob Jacobi ) a două funcții $f(x,y,q)$ ${\ displaystyle f (x, y, q)}$ ${\ displaystyle f (x, y, q)}$ Și $g(x,y,q)$ ${\ displaystyle g (x, y, q)}$ ${\ displaystyle g (x, y, q)}$ din $2n+1$ ${\ displaystyle 2n + 1}$ ${\ displaystyle 2n + 1}$ variabile independente $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $q=(q_{1},\dots ,q_{n})$ ${\ displaystyle q = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})}$ ${\ displaystyle q = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})}$ , este expresia diferențială:

[f,g]=\sum _{k=1}^{n}\left[{\frac {\partial f}{\partial q_{k}}}\left({\frac {\partial g}{\partial x_{k}}}+q_{k}{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)-{\frac {\partial g}{\partial q_{k}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}+q_{k}{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\right]

{\ displaystyle [f, g] = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left [{\ frac {\ partial f} {\ partial q_ {k}}} \ left ({\ frac {\ partial g} {\ partial x_ {k}}} + q_ {k} {\ frac {\ partial g} {\ partial y}} \ right) - {\ frac {\ partial g} {\ partial q_ {k}} } \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {k}}} + q_ {k} {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ right) \ right]}

{\ displaystyle [f, g] = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left [{\ frac {\ partial f} {\ partial q_ {k}}} \ left ({\ frac {\ partial g} {\ partial x_ {k}}} + q_ {k} {\ frac {\ partial g} {\ partial y}} \ right) - {\ frac {\ partial g} {\ partial q_ {k}} } \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {k}}} + q_ {k} {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ right) \ right]}

Acesta satisface proprietățile:

[f,g]=-[g,f]

{\ displaystyle [f, g] = - [g, f]}

{\ displaystyle [f, g] = - [g, f]}

[f,gh]=g[f,h]+h[f,g]

{\ displaystyle [f, gh] = g [f, h] + h [f, g]}

{\ displaystyle [f, gh] = g [f, h] + h [f, g]}

și identitatea lui Jacobi .

Un caz particular al acestei relații, cel în care $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ nu depinde de $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , este parantezul Poisson :

[f,g]=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial g}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial g}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}\right)

{\ displaystyle [f, g] = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial q_ {k}}} {\ frac {\ partial g} { \ partial x_ {k}}} - {\ frac {\ partial g} {\ partial q_ {k}}} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {k}}} \ right)}

{\ displaystyle [f, g] = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial q_ {k}}} {\ frac {\ partial g} { \ partial x_ {k}}} - {\ frac {\ partial g} {\ partial q_ {k}}} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {k}}} \ right)}

Bibliografie

( EN ) VI Arnol'd, Metode matematice ale mecanicii clasice , Springer (1978)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AP Soldatov, paranteze Jacobi , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică

Portal mecanic