Identitatea lui Lagrange

În algebră , identitatea Lagrange este identitatea pătratică care implică produsul vector : ^[1] ^[2]

{\begin{aligned}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}{\biggr )}-{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr )}^{2}&=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\\&{\biggl (}={1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}{\biggr )},\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {2} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} ^ {2} {\ biggr)} - {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} {\ biggr)} ^ {2} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} \ sum _ {j = i + 1} ^ {n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ { i}) ^ {2} \\ & {\ biggl (} = {1 \ over 2} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (a_ {i } b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} {\ biggr)}, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {2} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} ^ {2} {\ biggr)} - {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} {\ biggr)} ^ {2} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} \ sum _ {j = i + 1} ^ {n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ { i}) ^ {2} \\ & {\ biggl (} = {1 \ over 2} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (a_ {i } b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} {\ biggr)}, \ end {align}}}

care se aplică oricărei perechi de seturi { a ₁ , a ₂ ,. . ., a _n } și { b ₁ , b ₂ ,. . ., b _n } a numerelor reale sau complexe (sau, mai general, a elementelor unui inel comutativ ). Această identitate este o formă specială a identității Binet - Cauchy .

Pentru numerele reale, identitatea poate fi scrisă într-o notație mai compactă folosind produsul punct, ^[3]

\|{\bar {a}}\|^{2}\ \|{\bar {b}}\|^{2}-\|({\bar {a}}\cdot {\bar {b}})\|^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\ ,

{\ displaystyle \ | {\ bar {a}} \ | ^ {2} \ \ | {\ bar {b}} \ | ^ {2} - \ | ({\ bar {a}} \ cdot {\ bar {b}}) \ | ^ {2} = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ right) ^ {2} \,}

{\ displaystyle \ | {\ bar {a}} \ | ^ {2} \ \ | {\ bar {b}} \ | ^ {2} - \ | ({\ bar {a}} \ cdot {\ bar {b}}) \ | ^ {2} = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} \ left (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ right) ^ {2} \,}

unde a și b sunt n- vectori dimensionali ale căror componente sunt numere reale. Această identitate poate fi extinsă la cazul complex, cum ar fi ^[4] ^[5]

{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{2}{\biggr )}-{\biggl |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr |}^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}|a_{i}{\overline {b}}_{j}-a_{j}{\overline {b}}_{i}|^{2}.

{\ displaystyle {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | a_ {k} | ^ {2} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ { n} | b_ {k} | ^ {2} {\ biggr)} - {\ biggl |} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} {\ biggr |} ^ { 2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} \ sum _ {j = i + 1} ^ {n} | a_ {i} {\ overline {b}} _ {j} -a_ { j} {\ overline {b}} _ {i} | ^ {2}.}

{\ displaystyle {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | a_ {k} | ^ {2} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ { n} | b_ {k} | ^ {2} {\ biggr)} - {\ biggl |} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} {\ biggr |} ^ { 2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} \ sum _ {j = i + 1} ^ {n} | a_ {i} {\ overline {b}} _ {j} -a_ { j} {\ overline {b}} _ {i} | ^ {2}.}

Deoarece partea dreaptă a identității este în mod clar non-negativă, aceasta implică inegalitatea Cauchy-Schwarz în spațiul euclidian cu dimensiuni finite ℝ ⁿ și omologul său complex ℂ ⁿ .

Identitatea Lagrange și algebra externă

Utilizând produsul extern , identitatea Lagrange poate fi scrisă după cum urmează:

(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b).

{\ displaystyle (a \ cdot a) (b \ cdot b) - (a \ cdot b) ^ {2} = (a \ wedge b) \ cdot (a \ wedge b).}

{\ displaystyle (a \ cdot a) (b \ cdot b) - (a \ cdot b) ^ {2} = (a \ wedge b) \ cdot (a \ wedge b).}

Prin urmare, poate fi văzut ca o formulă care dă lungimea produsului exterior al a doi vectori, care este aria paralelogramului pe care îl delimitează, în ceea ce privește produsul scalar al celor doi vectori, ca

\|a\wedge b\|={\sqrt {(\|a\|\ \|b\|)^{2}-\|a\cdot b\|^{2}}}.

{\ displaystyle \ | a \ wedge b \ | = {\ sqrt {(\ | a \ | \ \ | b \ |) ^ {2} - \ | a \ cdot b \ | ^ {2}}}.}

{\ displaystyle \ | a \ wedge b \ | = {\ sqrt {(\ | a \ | \ \ | b \ |) ^ {2} - \ | a \ cdot b \ | ^ {2}}}.}

Identitatea Lagrange și calculul vectorial

În trei dimensiuni, identitatea Lagrange afirmă că pătratul ariei unui paralelogram în spațiu este egal cu suma pătratelor proiecțiilor sale în cadrul sistemului de coordonare cartezian. Algebric, dacă a și b sunt vectori în lungimea ℝ ³ | la | și | b |, atunci identitatea Lagrange poate fi scrisă în termeni de produs vector și produs scalar : ^[6] ^[7]

\|{\bar {a}}\|^{2}\ \|{\bar {b}}\|^{2}-\|({\bar {a}}\cdot {\bar {b}})\|^{2}=|{\bar {a}}\times {\bar {b}}|^{2}.

{\ displaystyle \ | {\ bar {a}} \ | ^ {2} \ \ | {\ bar {b}} \ | ^ {2} - \ | ({\ bar {a}} \ cdot {\ bar {b}}) \ | ^ {2} = | {\ bar {a}} \ times {\ bar {b}} | ^ {2}.}

{\ displaystyle \ | {\ bar {a}} \ | ^ {2} \ \ | {\ bar {b}} \ | ^ {2} - \ | ({\ bar {a}} \ cdot {\ bar {b}}) \ | ^ {2} = | {\ bar {a}} \ times {\ bar {b}} | ^ {2}.}

Folosind definiția unghiului de produs punct, partea stângă este

|{\bar {a}}|^{2}|{\bar {b}}|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )=|{\bar {a}}|^{2}|{\bar {b}}|^{2}\sin ^{2}\theta

{\ displaystyle | {\ bar {a}} | ^ {2} | {\ bar {b}} | ^ {2} (1- \ cos ^ {2} \ theta) = | {\ bar {a}} | ^ {2} | {\ bar {b}} | ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}

{\ displaystyle | {\ bar {a}} | ^ {2} | {\ bar {b}} | ^ {2} (1- \ cos ^ {2} \ theta) = | {\ bar {a}} | ^ {2} | {\ bar {b}} | ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}

unde θ este unghiul format de vectori a și b . Aria paralelogramului laturilor | la | și | b | și unghiul θ este cunoscut a fi, conform geometriei elementare,

|{\bar {a}}|\,|{\bar {b}}|\,|\sin \theta |,

{\ displaystyle | {\ bar {a}} | \, | {\ bar {b}} | \, | \ sin \ theta |,}

{\ displaystyle | {\ bar {a}} | \, | {\ bar {b}} | \, | \ sin \ theta |,}

atunci partea stângă a identității Lagrange este pătratul zonei paralelogramului. Produsul vector care apare în dreapta este definit de

{\bar {a}}\times {\bar {b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\bar {i}}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\bar {j}}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\bar {k}}

{\ displaystyle {\ bar {a}} \ times {\ bar {b}} = (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) {\ bar {i}} + (a_ { 3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}) {\ bar {j}} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) {\ bar {k}} }

{\ displaystyle {\ bar {a}} \ times {\ bar {b}} = (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) {\ bar {i}} + (a_ { 3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}) {\ bar {j}} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) {\ bar {k}} }

care este un vector ale cărui componente sunt egale în mărime cu zonele proiecțiilor paralelogramului din planurile yz , zx și respectiv xy .

Notă

^ Eric W. Weisstein, enciclopedia concisă a matematicii CRC, 2, CRC Press, 2003, ISBN 1-58488-347-2 .
^ Robert E Greene și Steven G Krantz, Exercițiul 16 , în Teoria funcției unei variabile complexe , 3rd, American Mathematical Society, 2006, p. 22, ISBN 0-8218-3962-4 .
^ Vladimir A. Boichenko, Gennadiĭ Alekseevich Leonov, Volker Reitmann,Teoria dimensiunii pentru ecuații diferențiale ordinare , Vieweg + Teubner Verlag, 2005, p. 26, ISBN 3-519-00437-2 .
^ J. Michael Steele,Exercițiul 4.4: Identitatea lui Lagrange pentru numerele complexe , în clasa magistrală Cauchy-Schwarz: o introducere în arta inegalităților matematice , Cambridge University Press, 2004, pp. 68–69, ISBN 0-521-54677-X .
^ Robert E. Greene și Steven G. Krantz, Theory Theory of One Complex Variable , Providence, RI, American Mathematical Society , 2002, pp. 22, Exercițiul 16, ISBN 978-0-8218-2905-9 . ;
Bruce P. Palka, An Introduction to Complex Function Theory , Berlin, New York, Springer-Verlag , 1991, pp. 27, Exercițiul 4.22, ISBN 978-0-387-97427-9 . .
^ Howard Anton, Chris Rorres, Relationships between dot and cross products , în Elementary Linear Algebra: Applications Version , 10th, John Wiley and Sons, 2010, p. 162, ISBN 0-470-43205-5 .
^ Pertti Lounesto, Clifford algebras and spinors , 2nd, Cambridge University Press, 2001, p. 94, ISBN 0-521-00551-5 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Identitatea Lagrange , în PlanetMath .
(EN) Eric W. Weisstein, Identity of Lagrange , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica

[Weisstein-1] Eric W. Weisstein, enciclopedia concisă a matematicii CRC, 2, CRC Press, 2003, ISBN 1-58488-347-2 .

[Greene-2] Robert E Greene și Steven G Krantz, Exercițiul 16 , în Teoria funcției unei variabile complexe , 3rd, American Mathematical Society, 2006, p. 22, ISBN 0-8218-3962-4 .

[Boichenko-3] Vladimir A. Boichenko, Gennadiĭ Alekseevich Leonov, Volker Reitmann,Teoria dimensiunii pentru ecuații diferențiale ordinare , Vieweg + Teubner Verlag, 2005, p. 26, ISBN 3-519-00437-2 .

[Steele-4] J. Michael Steele,Exercițiul 4.4: Identitatea lui Lagrange pentru numerele complexe , în clasa magistrală Cauchy-Schwarz: o introducere în arta inegalităților matematice , Cambridge University Press, 2004, pp. 68–69, ISBN 0-521-54677-X .

[5] Robert E. Greene și Steven G. Krantz, Theory Theory of One Complex Variable , Providence, RI, American Mathematical Society , 2002, pp. 22, Exercițiul 16, ISBN 978-0-8218-2905-9 . ;
Bruce P. Palka, An Introduction to Complex Function Theory , Berlin, New York, Springer-Verlag , 1991, pp. 27, Exercițiul 4.22, ISBN 978-0-387-97427-9 . .

[Anton-6] Howard Anton, Chris Rorres, Relationships between dot and cross products , în Elementary Linear Algebra: Applications Version , 10th, John Wiley and Sons, 2010, p. 162, ISBN 0-470-43205-5 .

[Lounesto1-7] Pertti Lounesto, Clifford algebras and spinors , 2nd, Cambridge University Press, 2001, p. 94, ISBN 0-521-00551-5 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]