Identitate Brahmagupta

În matematică , identitatea Brahmagupta , numită și identitate Fibonacci , afirmă că produsul a două numere , fiecare dintre acestea fiind suma a două pătrate de numere naturale , poate fi exprimat ca suma pătratelor (și în două moduri distincte). Cu alte cuvinte, setul de sume a două pătrate este închis în ceea ce privește multiplicarea. În special:

{\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\ \qquad \qquad (1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.\qquad \qquad (2)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} \ right) \ left (c ^ {2} + d ^ {2} \ right) & {} = \ left ( ac-bd \ right) ^ {2} + \ left (ad + bc \ right) ^ {2} \ \ qquad \ qquad (1) \\ & {} = \ left (ac + bd \ right) ^ {2 } + \ left (ad-bc \ right) ^ {2}. \ qquad \ qquad (2) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} \ right) \ left (c ^ {2} + d ^ {2} \ right) & {} = \ left ( ac-bd \ right) ^ {2} + \ left (ad + bc \ right) ^ {2} \ \ qquad \ qquad (1) \\ & {} = \ left (ac + bd \ right) ^ {2 } + \ left (ad-bc \ right) ^ {2}. \ qquad \ qquad (2) \ end {align}}}

De exemplu,

(1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=30^{2}+1^{2}=26^{2}+15^{2}.

{\ displaystyle (1 ^ {2} + 4 ^ {2}) (2 ^ {2} + 7 ^ {2}) = 30 ^ {2} + 1 ^ {2} = 26 ^ {2} + 15 ^ {2}.}

{\ displaystyle (1 ^ {2} + 4 ^ {2}) (2 ^ {2} + 7 ^ {2}) = 30 ^ {2} + 1 ^ {2} = 26 ^ {2} + 15 ^ {2}.}

Această identitate este utilizată în dovada teoremei lui Fermat pe sumele a două pătrate . Identitatea este valabilă în orice inel comutativ , dar este deosebit de utilă în setul de numere întregi .

Această identitate este un caz special ( n = 2) al identității Lagrange . Brahmagupta a demonstrat și a folosit o identitate mai generală:

{\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}\ \qquad \qquad (3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2},\qquad \qquad (4)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left (a ^ {2} + nb ^ {2} \ right) \ left (c ^ {2} + nd ^ {2} \ right) & {} = \ left ( ac-nbd \ right) ^ {2} + n \ left (ad + bc \ right) ^ {2} \ \ qquad \ qquad (3) \\ & {} = \ left (ac + nbd \ right) ^ { 2} + n \ left (ad-bc \ right) ^ {2}, \ qquad \ qquad (4) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left (a ^ {2} + nb ^ {2} \ right) \ left (c ^ {2} + nd ^ {2} \ right) & {} = \ left ( ac-nbd \ right) ^ {2} + n \ left (ad + bc \ right) ^ {2} \ \ qquad \ qquad (3) \\ & {} = \ left (ac + nbd \ right) ^ { 2} + n \ left (ad-bc \ right) ^ {2}, \ qquad \ qquad (4) \ end {align}}}

ceea ce arată că mulțimea tuturor numerelor formei $x^{2}+ny^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$ este închisă în ceea ce privește multiplicarea.

Identitatea celor patru pătrate Euler este o identitate analogă cu patru pătrate în loc de două. Mai mult, există o identitate cu opt pătrate , derivată din octonii , dar nu are implicații deosebit de interesante pentru numere întregi, deoarece fiecare număr natural este o sumă de patru pătrate (vezi Teorema celor patru pătrate ). Este legat de periodicitatea lui Bott .

Istorie

Această identitate a fost descoperită de matematicianul și astronomul indian Brahmagupta (598-668), care a generalizat-o. Opera sa Brāhmasphuṭasiddhānta a fost tradusă ulterior, din sanscrită , în arabă de Muḥammad ibn Ibrāhīm al-Fazārī, mai târziu în persană , și în cele din urmă în latină în 1126. ^[1] Identitatea a reapărut în 1225 în cadrul Liber Quadratorum Pisano al lui Leonardo, mai bine cunoscut sub numele de Fibonacci ( 1170-1250). Cu toate acestea, este posibil ca identitatea să fi fost deja cunoscută lui Diofant al Alexandriei în secolul al III-lea ( Arithmetica - III, 19).

Relația cu numere complexe

Dacă a, b, c și d sunt numere reale , această identitate este echivalentă cu proprietatea de a înmulți valorile absolute ale numerelor complexe :

|a+bi||c+di|=|(a+bi)(c+di)|

{\ displaystyle | a + bi || c + di | = | (a + bi) (c + di) |}

{\ displaystyle | a + bi || c + di | = | (a + bi) (c + di) |}

de cand

|a+bi||c+di|=|(ac-bd)+i(ad+bc)|,

{\ displaystyle | a + bi || c + di | = | (ac-bd) + i (ad + bc) |,}

{\ displaystyle | a + bi || c + di | = | (ac-bd) + i (ad + bc) |,}

pătrând ambele părți

|a+bi|^{2}|c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},

{\ displaystyle | a + bi | ^ {2} | c + di | ^ {2} = | (ac-bd) + i (ad + bc) | ^ {2},}

{\ displaystyle | a + bi | ^ {2} | c + di | ^ {2} = | (ac-bd) + i (ad + bc) | ^ {2},}

și folosind definiția valorii absolute,

(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.

{\ displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2}) (c ^ {2} + d ^ {2}) = (ac-bd) ^ {2} + (ad + bc) ^ {2}. }

{\ displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2}) (c ^ {2} + d ^ {2}) = (ac-bd) ^ {2} + (ad + bc) ^ {2}. }

Aplicarea la ecuația Pell

În contextul său original, Brahmagupta și-a aplicat descoperirea la soluția ecuației lui Pell ,

x^{2}-Ny^{2}=1.

{\ displaystyle x ^ {2} -Ny ^ {2} = 1.}

{\ displaystyle x ^ {2} -Ny ^ {2} = 1.}

Folosirea identității în forma cea mai generală

(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},\,

{\ displaystyle (x_ {1} ^ {2} -Ny_ {1} ^ {2}) (x_ {2} ^ {2} -Ny_ {2} ^ {2}) = (x_ {1} x_ {2 } + Ny_ {1} y_ {2}) ^ {2} -N (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}) ^ {2}, \,}

{\ displaystyle (x_ {1} ^ {2} -Ny_ {1} ^ {2}) (x_ {2} ^ {2} -Ny_ {2} ^ {2}) = (x_ {1} x_ {2 } + Ny_ {1} y_ {2}) ^ {2} -N (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}) ^ {2}, \,}

a observat că, având în vedere două triple ( x ₁ , y ₁ , k ₁ ) și ( x ₂ , y ₂ , k ₂ ), soluții de x ² - Ny ² = k , atunci și

(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2})

{\ displaystyle (x_ {1} x_ {2} + Ny_ {1} y_ {2} \ ,, \, x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1} \ ,, \, k_ { 1} k_ {2})}

{\ displaystyle (x_ {1} x_ {2} + Ny_ {1} y_ {2} \ ,, \, x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1} \ ,, \, k_ { 1} k_ {2})}

este o soluție a aceleiași ecuații.

Acest lucru a permis nu numai generarea de soluții infinite de x ² - Ny ² = 1 pornind de la o singură soluție, ci și, împărțind fiecare membru la k ₁ k ₂ , pentru a obține adesea soluții întregi sau „aproape întregi”. Metoda generală pentru rezolvarea ecuației lui Pell, de Bhaskara în 1150, numită metoda Chakravala , se bazează și pe această identitate. ^[2]

Notă

^ George G. Joseph (2000). Creasta păunului , p. 306. Princeton University Press . ISBN 0691006598 .
^ John Stillwell , Matematica și istoria ei , ediția a II-a, Springer, 2002, pp. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6 .

linkuri externe

Identitatea lui Brahmagupta la PlanetMath
Identitate Fibonacci - pe MathWorld , pe mathworld.wolfram.com .
Identitatea Brahmagupta-Fibonacci , pe pballew.net . Adus la 19 ianuarie 2011 (arhivat din original la 14 mai 2011) .
O colecție de identități algebrice , la sites.google.com .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] George G. Joseph (2000). Creasta păunului , p. 306. Princeton University Press . ISBN 0691006598 .

[stillwell-2] John Stillwell , Matematica și istoria ei , ediția a II-a, Springer, 2002, pp. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6 .

[1]

[2]