Identitatea celor opt pătrate Degen

În matematică , identitatea celor opt pătrate Degen stabilește că produsul a două numere exprimate ca suma a opt pătrate este ea însăși suma a opt pătrate:

(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{8}^{2})=

{\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2} + a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2} + b_ {5} ^ {2} + b_ {6} ^ {2} + b_ {7} ^ {2} + b_ {8} ^ {2}) = }

{\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2} + a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2} + b_ {5} ^ {2} + b_ {6} ^ {2} + b_ {7} ^ {2} + b_ {8} ^ {2}) = }

(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}-a_{5}b_{5}-a_{6}b_{6}-a_{7}b_{7}-a_{8}b_{8})^{2}+

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4} -a_ {5} b_ {5} -a_ {6} b_ {6} -a_ {7} b_ {7} -a_ {8} b_ {8}) ^ {2} +}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4} -a_ {5} b_ {5} -a_ {6} b_ {6} -a_ {7} b_ {7} -a_ {8} b_ {8}) ^ {2} +}

(a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}+a_{4}b_{3}-a_{3}b_{4}+a_{6}b_{5}-a_{5}b_{6}-a_{8}b_{7}+a_{7}b_{8})^{2}+

{\ displaystyle (a_ {2} b_ {1} + a_ {1} b_ {2} + a_ {4} b_ {3} -a_ {3} b_ {4} + a_ {6} b_ {5} -a_ {5} b_ {6} -a_ {8} b_ {7} + a_ {7} b_ {8}) ^ {2} +}

{\ displaystyle (a_ {2} b_ {1} + a_ {1} b_ {2} + a_ {4} b_ {3} -a_ {3} b_ {4} + a_ {6} b_ {5} -a_ {5} b_ {6} -a_ {8} b_ {7} + a_ {7} b_ {8}) ^ {2} +}

(a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2}+a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+a_{7}b_{5}+a_{8}b_{6}-a_{5}b_{7}-a_{6}b_{8})^{2}+

{\ displaystyle (a_ {3} b_ {1} -a_ {4} b_ {2} + a_ {1} b_ {3} + a_ {2} b_ {4} + a_ {7} b_ {5} + a_ {8} b_ {6} -a_ {5} b_ {7} -a_ {6} b_ {8}) ^ {2} +}

{\ displaystyle (a_ {3} b_ {1} -a_ {4} b_ {2} + a_ {1} b_ {3} + a_ {2} b_ {4} + a_ {7} b_ {5} + a_ {8} b_ {6} -a_ {5} b_ {7} -a_ {6} b_ {8}) ^ {2} +}

(a_{4}b_{1}+a_{3}b_{2}-a_{2}b_{3}+a_{1}b_{4}+a_{8}b_{5}-a_{7}b_{6}+a_{6}b_{7}-a_{5}b_{8})^{2}+

{\ displaystyle (a_ {4} b_ {1} + a_ {3} b_ {2} -a_ {2} b_ {3} + a_ {1} b_ {4} + a_ {8} b_ {5} -a_ {7} b_ {6} + a_ {6} b_ {7} -a_ {5} b_ {8}) ^ {2} +}

{\ displaystyle (a_ {4} b_ {1} + a_ {3} b_ {2} -a_ {2} b_ {3} + a_ {1} b_ {4} + a_ {8} b_ {5} -a_ {7} b_ {6} + a_ {6} b_ {7} -a_ {5} b_ {8}) ^ {2} +}

(a_{5}b_{1}-a_{6}b_{2}-a_{7}b_{3}-a_{8}b_{4}+a_{1}b_{5}+a_{2}b_{6}+a_{3}b_{7}+a_{4}b_{8})^{2}+

{\ displaystyle (a_ {5} b_ {1} -a_ {6} b_ {2} -a_ {7} b_ {3} -a_ {8} b_ {4} + a_ {1} b_ {5} + a_ {2} b_ {6} + a_ {3} b_ {7} + a_ {4} b_ {8}) ^ {2} +}

{\ displaystyle (a_ {5} b_ {1} -a_ {6} b_ {2} -a_ {7} b_ {3} -a_ {8} b_ {4} + a_ {1} b_ {5} + a_ {2} b_ {6} + a_ {3} b_ {7} + a_ {4} b_ {8}) ^ {2} +}

(a_{6}b_{1}+a_{5}b_{2}-a_{8}b_{3}+a_{7}b_{4}-a_{2}b_{5}+a_{1}b_{6}-a_{4}b_{7}+a_{3}b_{8})^{2}+

{\ displaystyle (a_ {6} b_ {1} + a_ {5} b_ {2} -a_ {8} b_ {3} + a_ {7} b_ {4} -a_ {2} b_ {5} + a_ {1} b_ {6} -a_ {4} b_ {7} + a_ {3} b_ {8}) ^ {2} +}

{\ displaystyle (a_ {6} b_ {1} + a_ {5} b_ {2} -a_ {8} b_ {3} + a_ {7} b_ {4} -a_ {2} b_ {5} + a_ {1} b_ {6} -a_ {4} b_ {7} + a_ {3} b_ {8}) ^ {2} +}

(a_{7}b_{1}+a_{8}b_{2}+a_{5}b_{3}-a_{6}b_{4}-a_{3}b_{5}+a_{4}b_{6}+a_{1}b_{7}-a_{2}b_{8})^{2}+

{\ displaystyle (a_ {7} b_ {1} + a_ {8} b_ {2} + a_ {5} b_ {3} -a_ {6} b_ {4} -a_ {3} b_ {5} + a_ {4} b_ {6} + a_ {1} b_ {7} -a_ {2} b_ {8}) ^ {2} +}

{\ displaystyle (a_ {7} b_ {1} + a_ {8} b_ {2} + a_ {5} b_ {3} -a_ {6} b_ {4} -a_ {3} b_ {5} + a_ {4} b_ {6} + a_ {1} b_ {7} -a_ {2} b_ {8}) ^ {2} +}

(a_{8}b_{1}-a_{7}b_{2}+a_{6}b_{3}+a_{5}b_{4}-a_{4}b_{5}-a_{3}b_{6}+a_{2}b_{7}+a_{1}b_{8})^{2}

{\ displaystyle (a_ {8} b_ {1} -a_ {7} b_ {2} + a_ {6} b_ {3} + a_ {5} b_ {4} -a_ {4} b_ {5} -a_ {3} b_ {6} + a_ {2} b_ {7} + a_ {1} b_ {8}) ^ {2}}

{\ displaystyle (a_ {8} b_ {1} -a_ {7} b_ {2} + a_ {6} b_ {3} + a_ {5} b_ {4} -a_ {4} b_ {5} -a_ {3} b_ {6} + a_ {2} b_ {7} + a_ {1} b_ {8}) ^ {2}}

Descoperită pentru prima dată de Ferdinand Degen în jurul anului 1818 , identitatea a fost redescoperită independent de John Thomas Graves ( 1843 ) și Arthur Cayley ( 1845 ). Cayley a obținut acest lucru studiind o extensie a cuaternionilor numiți octonioni . În termeni algebrici, această identitate implică faptul că norma produsului a două octațiuni este egală cu produsul normelor lor: $\|ab\|=\|a\|\|b\|$ ${\ displaystyle \ | ab \ | = \ | a \ | \ | b \ |}$ ${\ displaystyle \ | ab \ | = \ | a \ | \ | b \ |}$ . Afirmații similare pot fi făcute pentru cuaternionuri ( identitatea celor patru pătrate ale lui Euler ), numere complexe ( identitatea lui Brahmagupta , cu două pătrate) și numere reale . Cu toate acestea, în 1898, Adolf Hurwitz a demonstrat că nu poate exista o identitate analogă cu 16 pătrate ( sedenii ) sau pentru orice alt număr de pătrate, cu excepția 1, 2, 4 și 8.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Identitatea lui MathWorld cu opt pătrate a lui Degen
( EN ) Identitatea Degen-Graves-Cayley Eight-Square , pe geocities.com . Adus la 16 iunie 2006 (arhivat din original la 25 octombrie 2009) .
( RO ) O colecție de identități algebrice , pe sites.google.com .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică