Identitatea celor patru pătrate Euler

În matematică , identitatea celor patru pătrate ale lui Euler afirmă că produsul a două numere , fiecare dintre acestea putând fi scris ca o sumă de pătrate , poate fi scris ca o sumă de pătrate. În special:

(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=

{\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) =}

{\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) =}

=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}

{\ displaystyle = (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) ^ {2} + (a_ {1 } b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2}}

{\ displaystyle = (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) ^ {2} + (a_ {1 } b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2}}

+\,(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}

{\ displaystyle + \, (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2}) ^ {2} + (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2}}

{\ displaystyle + \, (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2}) ^ {2} + (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2}}

Euler a scris despre această identitate la 12 aprilie 1749 în scrisoarea CXXV către Goldbach. Poate fi dovedit cu pași simpli de algebră elementară și este valabil în orice inel comutativ . În cazul în care a și b sunt numere reale , există o mai elegant dovada : identitate exprimă faptul că valoarea absolută a produsului a două cuaternionii este egală cu produsul dintre valorile lor absolute, la fel ca și identitatea Brahmagupta pentru i numere complexe .

Importanța acestei identități în teoria numerelor este legată de utilizarea acesteia în dovada lui Lagrange a teoremei sale de patru pătrate .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică