Teorema celor patru pătrate
Teorema celor patru pătrate , cunoscută și sub numele de conjectura lui Bachet , afirmă că orice număr întreg pozitiv poate fi exprimat ca suma a (cel mult) patru pătrate perfecte .
De exemplu:
- 3 = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 0 2
- 31 = 5 2 + 2 2 + 1 2 + 1 2
- 310 = 17 2 + 4 2 + 2 2 + 1 2 .
Mai formal, pentru fiecare număr întreg pozitiv n există numere întregi non-negative a , b , c , d astfel încât n = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 .
Istorie
Teorema apare în „Arithmetica” lui Diofant al Alexandriei , tradusă în latină în 1621 de Bachet . A fost demonstrat în 1770 de Lagrange . Legendre în 1798 a întărit teorema demonstrând că un număr întreg pozitiv poate fi exprimat ca suma a trei pătrate dacă și numai dacă nu este de forma 4 k (8 m + 7). Cu toate acestea, dovada sa a fost incompletă, întrucât el a emis ipoteza existenței primelor infinite în progresii aritmetice (vezi Teorema lui Dirichlet ), un rezultat care a fost apoi nedovedit și care a fost ulterior dovedit de Dirichlet . O dovadă elementară a fost dată în schimb de Gauss , folosind rezultatele teoriei sale a formelor pătratice .
În 1834 , Jacobi a găsit o formulă exactă care reunea toate formulele prin care un număr întreg n putea fi reprezentat ca suma a patru pătrate perfecte.
Acest număr este egal cu 8 ori suma divizorilor de n ori n impar; în timp ce este egal cu 24 de ori suma divizorilor lui n , dacă n este par.
Conjectura lui Bachet este un caz particular al teoremei numerelor poligonale ale lui Fermat și al problemei Waring .
O altă posibilă generalizare este următoarea: având în vedere numerele naturale a , b , c și d , suntem capabili să rezolvăm
(*) n = ax 1 2 + bx 2 2 + cx 3 2 + dx 4 2
pentru toate numerele întregi pozitive n din numerele întregi x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ?
Teorema celor patru pătrate a lui Lagrange oferă un răspuns afirmativ numai pentru cazul particular a = b = c = d = 1. Soluția generală a fost dată de Ramanujan . El a demonstrat că, dacă facem ipoteza, fără a pierde nimic în general, că a ≤ b ≤ c ≤ d , atunci există exact 54 de alegeri posibile ale lui a , b , c și d , astfel încât (*) (pentru orice n ) este rezolvabil. în numere întregi x 1 , x 2 , x 3 , x 4 .
(Ramanujan a raportat, de asemenea, o alegere 55, cu a = 1, b = 2, c = 5, d = 5. Cu toate acestea, în acest caz, ecuația nu este rezolvabilă pentru fiecare n și, în special, pentru n = 15).
Bibliografie
- H. Davenport, Aritmetica superioară, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 8808091546 - Capitolul V.4
Elemente conexe
linkuri externe
- http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM este un applet Java care descompune un număr natural în suma de până la patru pătrate.
