Moment unghiular

Exemplu de funcționare a impulsului unghiular

Momentul unghiular (din impulsul latin , mișcare), sau momentul impulsului , este o mărime fizică de tip vector care reprezintă cantitatea care este conservată dacă un sistem fizic este invariant sub rotații spațiale . Este echivalentul pentru rotații ale impulsului la traduceri. ^[1]

Mai general, în formulările mecanicii descendente dintr-un principiu variațional momentul unghiular este definit, în termenii teoremei lui Noether , ca cantitatea conservată care rezultă din invarianța acțiunii în raport cu rotațiile tridimensionale. Această formulare este mai potrivită pentru extinderea conceptului de impuls unghiular la alte entități, cum ar fi câmpul electromagnetic .

Momentul unghiular este un pseudovector , nu o acțiune de tip scalar. ^[2] Din acest motiv, unitatea sa de măsură din sistemul internațional (SI) este exprimată în $kg\cdot m^{2}\cdot s^{-1}$ ${\ displaystyle kg \ cdot m ^ {2} \ cdot s ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle kg \ cdot m ^ {2} \ cdot s ^ {- 1}}$ (kilogram pe metru pătrat pe secundă), nu în jouli pe secundă , chiar dacă cele două unități au aceleași dimensiuni fizice. ^[3] O cantitate legată de impulsul unghiular este impulsul unghiular specific $\mathbf {h}$ ${\ displaystyle \ mathbf {h}}$ ${\ mathbf h}$ , care reprezintă momentul unghiular pe unitate de masă sau momentul vitezei .

Definiție

Impuls unghiular (

{\vec {L}}

{\ displaystyle {\ vec {L}}}

{\ displaystyle {\ vec {L}}}

) a unui punct material de masă

m

{\ displaystyle m}

m

. Imaginea arată vectorul de poziție (

{\vec {r}}

{\ displaystyle {\ vec {r}}}

{\ vec r}

) și viteza (

{\vec {v}}

{\ displaystyle {\ vec {v}}}

\ vec v

)

În mecanica newtoniană impulsul unghiular $\mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ mathbf L}$ comparativ cu un stâlp $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ a unui punct material este definit ca produsul vector al vectorului care exprimă poziția $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ a punctului cu privire la $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ și impulsul vectorial $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ : ^[4]

\mathbf {L} _{O}=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v}

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {O} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ times m \ mathbf {v}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {O} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ times m \ mathbf {v}}

Forma de $\mathbf {L} _{O}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {O}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {O}}$ este, prin urmare, definit prin: ^[5]

\|\mathbf {L} _{O}\|=\|\mathbf {r} \|\cdot \|\mathbf {p} \|\sin {\theta }=\mathbf {p} \cdot \mathbf {b} =m\mathbf {v} \cdot \mathbf {b}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {L} _ {O} \ | = \ | \ mathbf {r} \ | \ cdot \ | \ mathbf {p} \ | \ sin {\ theta} = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {b} = m \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b}}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {L} _ {O} \ | = \ | \ mathbf {r} \ | \ cdot \ | \ mathbf {p} \ | \ sin {\ theta} = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {b} = m \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b}}

Direcția $\mathbf {L} _{O}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {O}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {O}}$ este perpendicular pe planul definit de $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ și din $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ iar versetul este cel al unui observator care vede rotindu-se $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ în sens invers acelor de ceasornic. Vectorul $\mathbf {b} =\mathbf {r} \sin {\theta }$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} = \ mathbf {r} \ sin {\ theta}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} = \ mathbf {r} \ sin {\ theta}}$ , care reprezintă distanța axei de rotație față de linia dreaptă pe care se află $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ , se spune brațul de $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ .

De sine $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ Și $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ sunt perpendiculare între ele, avem asta $\sin \theta =1$ ${\ displaystyle \ sin \ theta = 1}$ $\ sin \ theta = 1$ , prin urmare, impulsul unghiular este maxim. Momentul unghiular este zero în schimb dacă impulsul sau brațul sunt zero sau dacă $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ este paralel cu $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ , în acest caz de fapt $\sin \theta =0$ ${\ displaystyle \ sin \ theta = 0}$ $\ sin \ theta = 0$ .

Deoarece produsul a două variabile conjugate, de exemplu poziția și impulsul, trebuie să fie o acțiune, aceasta ne spune că variabila conjugată cu momentul unghiular trebuie să fie adimensională: de fapt este unghiul de rotație în jurul polului.

Moment unghiular axial

Se numește impuls unghiular axial față de o axă ${\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ trecând printr-un punct $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ componenta ortogonală a impulsului unghiular pe o anumită axă ${\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ , numită axă centrală:

\mathbf {L} _{\hat {z}}:=[(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\cdot {\hat {\mathbf {z} }}]{\hat {\mathbf {n} }}

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {\ hat {z}}: = [(\ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}) \ cdot {\ hat {\ mathbf {z}}}] {\ hat {\ mathbf {n}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {\ hat {z}}: = [(\ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}) \ cdot {\ hat {\ mathbf {z}}}] {\ hat {\ mathbf {n}}}}

unde este ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ este un vector unitar , vector de lungime unitară, care identifică axa. Modulul va fi:

L_{\hat {n}}=|\mathbf {L} _{O}|\cdot \cos \varphi =|\mathbf {r} |\cdot |\mathbf {p} |\sin \vartheta \cos \varphi =(\mathbf {p} \cdot \mathbf {b} )\cos \varphi

{\ displaystyle L _ {\ hat {n}} = | \ mathbf {L} _ {O} | \ cdot \ cos \ varphi = | \ mathbf {r} | \ cdot | \ mathbf {p} | \ sin \ vartheta \ cos \ varphi = (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {b}) \ cos \ varphi}

{\ displaystyle L _ {\ hat {n}} = | \ mathbf {L} _ {O} | \ cdot \ cos \ varphi = | \ mathbf {r} | \ cdot | \ mathbf {p} | \ sin \ vartheta \ cos \ varphi = (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {b}) \ cos \ varphi}

unde este $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este unghiul format de vectorul momentului unghiular $\mathbf {L} _{O}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {O}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {O}}$ cu axa ${\hat {n}}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}}}$ $\ hat n$ . În practică este proiecția ortogonală a momentului unghiular pe axă ${\hat {n}}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}}}$ $\ hat n$ . Prin urmare, impulsul unghiular axial este zero dacă unghiul $\varphi =\pi /2$ ${\ displaystyle \ varphi = \ pi / 2}$ ${\ displaystyle \ varphi = \ pi / 2}$ și maxim atunci când axa ${\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ coincide cu axa lui $\mathbf {L} _{O}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {O}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {O}}$ , în acest caz de fapt: $\varphi =0$ ${\ displaystyle \ varphi = 0}$ ${\ displaystyle \ varphi = 0}$ .

Moment unghiular pentru sistemele de puncte materiale

Același subiect în detaliu: Prima teoremă a lui König .

Pentru sistemele discrete, momentul unghiular total este definit de suma momentelor unghiulare unice: ^[6]

\mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {L} _{i}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ sum _ {i} \ mathbf {L} _ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {v } _ {i}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ sum _ {i} \ mathbf {L} _ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {v } _ {i}}

unde este $\mathbf {r} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ $\ mathbf r_i$ este vectorul de poziție al punctului i față de origine, $m_{i}$ ${\ displaystyle m_ {i}}$ $pe mine$ este masa sa și $\mathbf {v} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$ ${\ mathbf v} _ {i}$ este viteza sa. Știind că masa totală a tuturor particulelor este dată de:

m=\sum _{i}m_{i}

{\ displaystyle m = \ sum _ {i} m_ {i}}

{\ displaystyle m = \ sum _ {i} m_ {i}}

avem că centrul de masă este definit de:

\mathbf {r} _{\text{CM}}={\frac {1}{m}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {\ text {CM}} = {\ frac {1} {m}} \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i}}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {\ text {CM}} = {\ frac {1} {m}} \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i}}

rezultă că viteza liniară a centrului de masă este:

\mathbf {v} _{\text{CM}}={\frac {1}{m}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}.\,

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ text {CM}} = {\ frac {1} {m}} \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i}. \,}

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ text {CM}} = {\ frac {1} {m}} \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i}. \,}

Dacă se definesc singuri $\mathbf {r} '_{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} '_ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} '_ {i}}$ vectorul de poziție al particulei, e $\mathbf {v} '_{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} '_ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} '_ {i}}$ viteza sa față de centrul de masă, avem:

\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{\text{CM}}+\mathbf {r} '_{i}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {\ text {CM}} + \ mathbf {r} '_ {i}}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {\ text {CM}} + \ mathbf {r} '_ {i}}

Și

\mathbf {v} _{i}=\mathbf {v} _{\text{CM}}+\mathbf {v} '_{i}

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i} = \ mathbf {v} _ {\ text {CM}} + \ mathbf {v} '_ {i}}

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i} = \ mathbf {v} _ {\ text {CM}} + \ mathbf {v} '_ {i}}

se poate observa că:

\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} '_{i}=0

{\ displaystyle \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} '_ {i} = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} '_ {i} = 0}

Și

\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} '_{i}=0

{\ displaystyle \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {v} '_ {i} = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {v} '_ {i} = 0}

astfel încât momentul unghiular total în raport cu originea este:

\mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\left(\mathbf {r} _{\text{CM}}\times m\mathbf {v} _{\text{CM}}\right)+\sum _{i}(\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {v} '_{i})=\mathbf {L} _{CM}+\mathbf {L} '_{i}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ sum _ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} = \ left (\ mathbf {r} _ { \ text {CM}} \ times m \ mathbf {v} _ {\ text {CM}} \ right) + \ sum _ {i} (\ mathbf {r} '_ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {v} '_ {i}) = \ mathbf {L} _ {CM} + \ mathbf {L}' _ {i}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ sum _ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} = \ left (\ mathbf {r} _ { \ text {CM}} \ times m \ mathbf {v} _ {\ text {CM}} \ right) + \ sum _ {i} (\ mathbf {r} '_ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {v} '_ {i}) = \ mathbf {L} _ {CM} + \ mathbf {L}' _ {i}}

Primul termen este pur și simplu impulsul unghiular al centrului de masă. Este același moment unghiular care ar fi obținut dacă ar exista o singură particulă de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , plasat în centrul masei, care se mișcă cu viteza $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ . Al doilea termen este impulsul unghiular al particulelor în raport cu centrul lor de masă. ^[7] În sistemele continue, definiția este extinsă în mod natural prin introducerea densității $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ și intervalul de viteză $\mathbf {v} (\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {r})}$ $\ mathbf v (\ mathbf r)$ :

\mathbf {L} =\int _{V}\rho \,\mathbf {r} \times \mathbf {v} \ \mathrm {d} V

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ int _ {V} \ rho \, \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v} \ \ mathrm {d} V}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ int _ {V} \ rho \, \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v} \ \ mathrm {d} V}

Legătură cu mișcarea rotativă

Dacă particulele formează un corp rigid , termenul care descrie impulsul lor unghiular în raport cu centrul de masă poate fi simplificat în continuare. În acest caz, de fapt, este posibil să legăm expresia acesteia de descrierea mișcării rotative, adică de viteza unghiulară ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ și viteza areolară ${\dot {\mathbf {A} }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}}}$ . Dacă componenta rotativă este singura prezentă sau în cazul în care corpul rigid se mișcă cu mișcare circulară , este egal cu produsul tensorului de inerție ${\underline {\underline {\mathbf {I} }}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}}$ și viteza unghiulară:

\mathbf {L} ={\underline {\underline {\mathbf {I} }}}{\boldsymbol {\omega }}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} {\ boldsymbol {\ omega}}}

sau, în mod similar, la fel de dublu decât produsul dintre masa totală și viteza areolară:

\mathbf {L} =2m{\dot {\mathbf {A} }}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = 2m {\ dot {\ mathbf {A}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = 2m {\ dot {\ mathbf {A}}}}

Același rezultat se obține dacă o distribuție continuă a masei este substituită sistemului de puncte discrete ale materialului examinat mai sus.

Legătură cu momentul mecanic

Același subiect în detaliu: Ecuațiile cardinale ale dinamicii § A doua ecuație cardinală .

Relația dintre forță (

\mathbf {F}

{\ displaystyle \ mathbf {F}}

\ mathbf F

), moment mecanic (

{\boldsymbol {\tau }}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}

), impuls (

\mathbf {p}

{\ displaystyle \ mathbf {p}}

{\ mathbf p}

) și impuls unghiular (

\mathbf {L}

{\ displaystyle \ mathbf {L}}

{\ mathbf L}

) într-un sistem rotativ.

În ceea ce privește dinamica sistemelor de puncte materiale, impulsul unghiular este o caracteristică fundamentală a mișcării. ^[8] Într-adevăr, dacă un punct material $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ se mișcă cu impuls: $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}}$ , impulsul unghiular al punctului în raport cu un pol $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ este dat de:

\mathbf {L} =\mathbf {r} (t)\times \mathbf {p} (t)

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} (t) \ times \ mathbf {p} (t)}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} (t) \ times \ mathbf {p} (t)}

dacă stâlpul $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ este în mișcare cu viteză $\mathbf {v} _{O}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ , atunci impulsul unghiular variază în timp:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ( \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} \ right) = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} + \ mathbf {r} \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ( \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} \ right) = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} + \ mathbf {r} \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}}}

unde este:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}}}$ reprezintă viteza relativă a punctului $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ comparativ cu viteza de $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$
${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}}}$ pentru a doua lege a dinamicii reprezintă forța totală rezultată.

Apoi, din această relație obținem a doua ecuație cardinală a dinamicii :

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{O})\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {v} \times \mathbf {p} -\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {p} +\mathbf {M} _{O}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = (\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {O}) \ times \ mathbf { p} + \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {v} \ times \ mathbf {p} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p} + \ mathbf {M } _ {OR}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = (\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {O}) \ times \ mathbf { p} + \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {v} \ times \ mathbf {p} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p} + \ mathbf {M } _ {OR}}

fiind $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ Și $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ paralel, produsul lor vector este zero, prin urmare obținem:

\mathbf {M} _{O}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {p}

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {O} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} + \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {O} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} + \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p}}

unde este $\mathbf {M} _{O}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {O} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {O} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}$ este momentul mecanic . În cazul unui corp rigid rotativ, se poate observa că $\mathbf {v} _{O}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ reprezintă viteza tangențială a corpului care se rotește, de aceea avem că:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} -\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {p} =\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L }}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L }}

În cazurile în care:

stâlpul este staționar
polul coincide cu centrul de masă
polul se deplasează paralel cu traiectoria centrului de masă

apoi ne întoarcem la cele mai familiare: ^[9]

\mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}}}

Momentul unei forțe este definit ca produsul vectorial între vectorul de poziție al punctului de aplicare a forței și forța însăși. Prin urmare, modulul său este egal cu modulul forței pentru braț. Se poate arăta că dacă polul este imobil, derivata în raport cu timpul momentului unghiular este egală cu momentul forțelor aplicate, astfel încât dacă acest ultim moment este zero, atunci momentul unghiular este conservat. ^[10]

Conservarea impulsului unghiular și a exemplelor

Momentul unghiular este important în toate mișcările dependente de variațiile referitoare la variabilele unghiulare, în plus, rămâne fundamental deoarece, în sistemele izolate , adică nu sunt supuse momentelor de forțe externe, legea conservării impulsului unghiular este valabilă. ^[11]

Puls unghiular

Același subiect în detaliu: Coliziune între corpuri rigide .

Impulsul unghiular este definit ca variația impulsului unghiular al unui corp care este supus unui impact cu un alt corp. Cu alte cuvinte, este impulsul unghiular transmis efectiv în momentul impactului. Momentul unghiular inițial și final, util pentru calcularea momentului unghiular, constă din momentele momentului final și momentului inițial. ^[12] Prin urmare, pentru a calcula impulsul unghiular, este utilizat în general pentru a măsura masa și viteza corpului înainte de contact și pentru a obține datele inițiale și a repeta operația după contact. Exploatând a doua ecuație cardinală a dinamicii lui Euler și legea cinematicii unei mișcări circulare uniforme, avem că:

\mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}}}

Prin integrarea ambilor membri în raport cu timpul, se obține impulsul unghiular:

\Delta \mathbf {L} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {M} \,\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {L} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathbf {M} \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {L} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathbf {M} \, \ mathrm {d} t}

Forțele centrale

În studiul mișcărilor în câmpurile forțelor centrale, conservarea impulsului unghiular este fundamentală, deoarece este legată de constanța vitezei areolare . Exemple de acest tip se găsesc în mecanica newtoniană, de exemplu în studiul mișcării pendulului și în mecanica cerească , unde impulsul unghiular orbital , definit ca produsul vector dintre poziția și impulsul corpului orbitant la nivelul timpul de referință, joacă un rol cheie pentru legile lui Kepler și studiul mișcărilor planetelor, de fapt momentul unghiular orbital specific reprezintă o constantă vectorială a mișcării unei orbite, adică este conservată în timp. ^[13]

Notă

^ Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, The evolution of physics - Vol. 1 , Paravia, 2007, ISBN 978-88-395-1609-1 . p.359
^ Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, The evolution of physics - Vol. 1 , Paravia, 2007, ISBN 978-88-395-1609-1 . p.359
^ Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (ediția a doua) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p.85
^ Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (ediția a doua) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p.83
^ Sergio Rosati, Fizică generală , Editura Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p.207
^ Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (ediția a doua) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p.141
^ Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (ediția a doua) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p.142
^ Sergio Rosati, Fizică generală , Editura Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p.222
^ Sergio Rosati, Fizică generală , Editura Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p.205
^ Sergio Rosati, Fizică generală , Editura Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p.222
^ Sergio Rosati, Fizică generală , Editura Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p223
^ Bruno Finzi , Rational Mechanics - Volumul 2 - Dynamics (ediția a treia) , Zanichelli - Bologna, 1995. p.390
^ Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (ediția a doua) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p.362

Bibliografie

Sergio Rosati, Fizică generală , Editura Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8 .
Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fizică - Volumul I (ediția a doua) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 .
Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Onoruri Guglielmo Mochi, Evoluția fizicii-Volumul 1 , Paravia, 2006, ISBN 978-88-395-1609-1 .
David Halliday, Robert Resnick,Fundamentals of Physics , John Wiley & Sons, 1960-2007, capitolul 10.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu impuls unghiular

linkuri externe

( EN ) Moment unghiular , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Moment unghiular pe Treccani.it , noiembrie 2013

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 13013 · LCCN (RO) sh85005144 · GND (DE) 4150572-4 · BNF (FR) cb119820349 (data)

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică

[1] Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, The evolution of physics - Vol. 1 , Paravia, 2007, ISBN 978-88-395-1609-1 . p.359

[2] Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, The evolution of physics - Vol. 1 , Paravia, 2007, ISBN 978-88-395-1609-1 . p.359

[3] Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (ediția a doua) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p.85

[4] Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (ediția a doua) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p.83

[5] Sergio Rosati, Fizică generală , Editura Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p.207

[6] Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (ediția a doua) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p.141

[7] Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (ediția a doua) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p.142

[8] Sergio Rosati, Fizică generală , Editura Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p.222

[9] Sergio Rosati, Fizică generală , Editura Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p.205

[10] Sergio Rosati, Fizică generală , Editura Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p.222

[11] Sergio Rosati, Fizică generală , Editura Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p223

[12] Bruno Finzi , Rational Mechanics - Volumul 2 - Dynamics (ediția a treia) , Zanichelli - Bologna, 1995. p.390

[13] Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (ediția a doua) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p.362

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]