Punct material

Masa gri poate fi simplificată reprezentând-o ca punct material (adică un corp asemănător unui punct cu masă ). În fizică această aproximare este utilizată pentru a descrie dinamica corpurilor extinse atunci când este posibil să se neglijeze structura lor internă (ca în cazul aproximării corpului rigid ). În imagine corpul (în gri) este aproximat ca punct material în centrul său de masă (în negru). Toată masa corpului este concentrată într-un singur punct.

În fizică , un punct material este definit ca un corp ale cărui dimensiuni sunt neglijabile în comparație cu fenomenul studiat. De exemplu, o planetă poate fi considerată un punct material într-o problemă de mecanică cerească , un atom într-o problemă de mecanică statistică și așa mai departe.

Descriere

În general, un punct material este caracterizat doar de cele trei coordonate spațiale , de viteza relativă și de masa acestuia. Aceasta înseamnă că schematizarea unui corp ca punct material este echivalentă cu neglijarea existenței gradelor sale interne de libertate : un punct material nu poate stoca energia rotindu-se pe sine, încălzindu-se sau comprimându-se elastic.

De fapt, toate aceste fenomene care trebuie descrise necesită o modelare mai detaliată a corpului: referindu-se întotdeauna la un exemplu concret, o planetă poate fi tratată ca un corp rigid , mai degrabă decât ca un punct material, dacă cineva este interesat de rotația sa . Utilitatea conceptului de punct material constă în a putea asocia un punct geometric cu corpul și, prin urmare, a putea opera în spațiul cartezian cu metodele geometriei analitice .

Coerența cu principiile dinamicii

Posibilitatea de a trata orice corp ca un punct material nu este luată ca atare. De fapt, în mecanica clasică, al doilea principiu al dinamicii este strict valabil pentru un punct material:

{\vec {F}}=m{\vec {a}}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = m {\ vec {a}}}

{\ vec {F}} = m {\ vec {a}}

și, pentru ca un sistem extins să fie aproximat ca punct material, trebuie să fie posibil să se confunde accelerația centrului său de masă cu accelerația punctului material care îl reprezintă. În mod similar, trebuie să fie posibil să se identifice rezultatul forțelor care acționează asupra corpului cu forța care acționează asupra punctului material care îl reprezintă.

Acest lucru este posibil doar pentru că prima ecuație cardinală a dinamicii se aplică sistemelor extinse, și anume:

\Sigma _{i}{\vec {F_{i}}}=m{\vec {a}}_{CM}

{\ displaystyle \ Sigma _ {i} {\ vec {F_ {i}}} = m {\ vec {a}} _ {CM}}

\ Sigma _ {i} {\ vec {F_ {i}}} = m {\ vec {a}} _ {{CM}}

unde este $F_{i}$ ${\ displaystyle F_ {i}}$ $F_ {i}$ sunt forțele care acționează asupra corpului (a căror sumă la primul membru este tocmai rezultanta) e ${\vec {a}}_{CM}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {CM}}$ ${\ vec {a}} _ {{CM}}$ este accelerarea centrului de masă al corpului.

In caz contrar ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} = m {\ vec {a}}}$ ${\ vec {F}} = m {\ vec {a}}$ iar reprezentarea unui punct material s-ar aplica numai oricăror elemente constitutive cu adevărat lipsite de structură internă, dar ar fi inaplicabilă corpurilor extinse. Prin urmare, ar fi imposibil să se reprezinte ca punct material orice corp ale cărui grade interne de libertate pot fi neglijate.

Tratament analitic

Este posibil să se dea o descriere matematică riguroasă a punctului material prin utilizarea analizei funcționale și a distribuției deltei Dirac .

Să presupunem că avem un corp de masă m = 1 kg de formă cubică (chiar dacă forma nu este esențială). Dacă marginea cubului este $l_{n}={\frac {1}{n}}$ ${\ displaystyle l_ {n} = {\ frac {1} {n}}}$ $l_ {n} = {\ frac {1} {n}}$ , cu n întreg pozitiv, densitatea cubului trebuie să fie:

\rho (x,y,z)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{se }}\operatorname {max} (|x|,|y|,|z|)>1/2n\\n^{3},&{\mbox{se }}\operatorname {max} (|x|,|y|,|z|)\leq 1/2n\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ rho (x, y, z) = \ left \ {{\ begin {matrix} 0, & {\ mbox {se}} \ operatorname {max} (| x |, | y |, | z | )> 1 / 2n \\ n ^ {3}, & {\ mbox {se}} \ operatorname {max} (| x |, | y |, | z |) \ leq 1 / 2n \ end {matrix}} \ dreapta.}

\ rho (x, y, z) = \ left \ {{\ begin {matrix} 0, & {\ mbox {se}} \ operatorname {max} (| x |, | y |, | z |)> 1 / 2n \\ n ^ {3}, & {\ mbox {se}} \ operatorname {max} (| x |, | y |, | z |) \ leq 1 / 2n \ end {matrix}} \ right.

în așa fel încât densitatea, integrată pe întreg spațiul, dă 1:

\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\rho {\mbox{d}}x{\mbox{d}}y{\mbox{d}}z=n^{3}\int _{-1/2n}^{1/2n}{\mbox{d}}x\int _{-1/2n}^{1/2n}{\mbox{d}}y\int _{-1/2n}^{1/2n}{\mbox{d}}z=n^{3}\left({\frac {1}{n}}\right)\cdot \left({\frac {1}{n}}\right)\cdot \left({\frac {1}{n}}\right)=1

{\ displaystyle \ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ rho {\ mbox {d}} x {\ mbox {d}} y {\ mbox {d}} z = n ^ {3} \ int _ {- 1 / 2n} ^ {1 / 2n} {\ mbox {d}} x \ int _ {- 1 / 2n} ^ {1 / 2n} {\ mbox {d}} y \ int _ {- 1 / 2n} ^ {1 / 2n} {\ mbox {d}} z = n ^ {3} \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) \ cdot \ left ({\ frac {1 } {n}} \ right) \ cdot \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) = 1}

\ iiint _ {{{\ mathbb {R}} ^ {3}}} \ rho {\ mbox {d}} x {\ mbox {d}} y {\ mbox {d}} z = n ^ {3} \ int _ {{- 1 / 2n}} ^ {{1 / 2n}} {\ mbox {d}} x \ int _ {{- 1 / 2n}} ^ {{1 / 2n}} {\ mbox { d}} y \ int _ {{- 1 / 2n}} ^ {{1 / 2n}} {\ mbox {d}} z = n ^ {3} \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) \ cdot \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) \ cdot \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) = 1

Interpretarea funcției de densitate ca funcțională $F_{n}$ ${\ displaystyle F_ {n}}$ $F_ {n}$ pe spațiul funcției de testare $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ pe $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ 3$ , convergența (în sensul distribuțiilor) la funcționalul Dirac delta este ușor demonstrată:

\lim _{n\rightarrow \infty }\left|F_{n}-\varphi (0,0,0)\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\rho \varphi (x,y,z){\mbox{d}}x{\mbox{d}}y{\mbox{d}}z-\varphi (0,0,0)\right|=

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left | F_ {n} - \ varphi (0,0,0) \ right | = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left | \ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ rho \ varphi (x, y, z) {\ mbox {d}} x {\ mbox {d}} y {\ mbox {d}} z- \ varphi ( 0,0,0) \ dreapta | =}

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} \ left | F_ {n} - \ varphi (0,0,0) \ right | = \ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} \ left | \ iiint _ {{{\ mathbb {R}} ^ {3}}} \ rho \ varphi (x, y, z) {\ mbox {d}} x {\ mbox {d}} y {\ mbox {d}} z- \ varphi (0,0,0) \ right | =

=\lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{|x|,|y|,|z|\leq 1/2n}\left|\varphi (x,y,z)-\varphi (0,0,0)\right|=0

{\ displaystyle = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ sup _ {| x |, | y |, | z | \ leq 1 / 2n} \ left | \ varphi (x, y, z) - \ varphi (0,0,0) \ dreapta | = 0}

= \ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} \ sup _ {{| x |, | y |, | z | \ leq 1 / 2n}} \ left | \ varphi (x, y, z) - \ varphi (0,0,0) \ right | = 0

unde ultimul pas se datorează continuității lui $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ într-un cartier de origine.

Cu alte cuvinte, pentru n care tinde spre infinit, funcțional $F_{n}(\varphi )$ ${\ displaystyle F_ {n} (\ varphi)}$ $F_ {n} (\ varphi)$ returnează doar funcția de testare $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ calculat în origine: dar aceasta este tocmai definiția deltei lui Dirac. Mai fizic, se observă că pe măsură ce n crește densitatea explodează la infinit, în timp ce cubul devine din ce în ce mai mic; cu toate acestea, lucrurile sunt echilibrate atunci când se calculează masa corpului, care se dovedește întotdeauna egală cu 1.

Elemente conexe

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică