Acțiune (fizică)

În fizică , în special în mecanica hamiltoniană și lagrangiană , acțiunea este o mărime care caracterizează în general starea și evoluția unui sistem , permițând studierea mișcării acestuia. Este o cantitate scalară cu dimensiunile unei energii pentru un timp și este definită matematic ca o funcționalitate care acționează asupra spațiului de fază și returnează numere reale .

Dacă luăm în considerare o acțiune care este locală , aceasta trebuie definită printr-o integrală . În general, spațiul de fază nu trebuie neapărat să fie un spațiu funcțional , deoarece pot fi tratate obiecte precum geometrii necomutative .

Este un instrument folosit în mecanica clasică , electromagnetism , mecanica relativistă și mecanica cuantică .

Istorie

Conceptul de acțiune a fost introdus de Maupertuis pentru sistemele scleronomice în 1746 . Conform definiției sale, într-un sistem de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ coordonate generice $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ , adică integralul energiei cinetice $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ în două momente $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Și $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ evoluția temporală a sistemului:

{\mathcal {P}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}2\cdot T(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\ \mathrm {d} t

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} 2 \ cdot T (\ mathbf {q} (t), {\ dot {\ mathbf {q} }} (t), t) \ \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} 2 \ cdot T (\ mathbf {q} (t), {\ dot {\ mathbf {q} }} (t), t) \ \ mathrm {d} t}

,

Această cantitate se numește acțiune redusă , deoarece este funcțională aplicată pe calea urmată de un sistem fizic care nu ia în considerare dependența de parametrul timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . În sistemele scleronomice energia cinetică este egală cu jumătate din integrala Hamilton , prin urmare acțiunea redusă poate fi exprimată ca o integrală de cale:

{\mathcal {P}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} \ \mathrm {d} t=\int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot \mathrm {d} \mathbf {q}

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {\ dot {q}} \ \ mathrm {d} t = \ int _ {q_ {1}} ^ {q_ {2}} \ mathbf {p} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {q}}

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {\ dot {q}} \ \ mathrm {d} t = \ int _ {q_ {1}} ^ {q_ {2}} \ mathbf {p} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {q}}

unde este $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ este impulsul generalizat . Principiul Maupertuis stabilește că de-a lungul traiectoriei reale urmate de sistem această funcționalitate este staționară.

Euler, în Reflecțiile sale asupra unor legi generale ale naturii din 1748, definește efortul ca opusul integralei energiei potențiale:

{\mathcal {E}}=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}U(\mathbf {q} (t),t)\ \mathrm {d} t

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} = - \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} U (\ mathbf {q} (t), t) \ \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} = - \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} U (\ mathbf {q} (t), t) \ \ mathrm {d} t}

Hamilton, în lumina recentului tratament lagrangian al mecanicii analitice , a unificat cele două definiții anterioare într-una mai generală care a luat în considerare ambele contribuții și care a condus la aceleași concluzii ca și mecanica newtoniană . El a definit acțiunea după cum urmează:

{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {P}}+{\mathcal {E}}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = {\ frac {1} {2}} {\ mathcal {P}} + {\ mathcal {E}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = {\ frac {1} {2}} {\ mathcal {P}} + {\ mathcal {E}}}

.

Definiție

În fizică, există mai multe definiții ale acțiunii. ^[1] ^[2] De obicei, o integrală cu privire la timp și posibil cu privire la un set de variabile spațiale este făcută pentru a corespunde acțiunii și, uneori, integrala este realizată de-a lungul curbei parcurse de sistemul considerat în spațiul de configurare . În mecanica lagrangiană și hamiltoniană este de obicei definită ca integrala temporală a unei funcții caracteristice a sistemului mecanic considerat, Lagrangianul , evaluat între instanțele inițiale și finale ale evoluției temporale a sistemului între două poziții.

Principala motivație în definirea conceptului de acțiune constă în principiul variațional al lui Hamilton , ^[3] conform căruia fiecare sistem mecanic este caracterizat prin faptul că evoluția sa temporală între două poziții în spațiu minimizează acțiunea . În contextul calculului variațiilor, această afirmație este exprimată spunând că evoluția temporală a unui sistem fizic între două instanțe ale spațiului de fază este un punct staționar de acțiune, de obicei un punct minim, pentru perturbări mici ale traiectoriei parcurse. Principiul variațional permite astfel reformularea ecuațiilor de mișcare, în general ecuații diferențiale , printr-o ecuație integrală echivalentă.

Dacă acțiunea ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ poate fi exprimat printr-un operator integral în timpul dintre instanțele inițiale și finale ale evoluției sistemului, avem: ^[2]

{\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\ \mathrm {d} t

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} \ \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} \ \ mathrm {d} t}

unde integrarea ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal L}$ este Lagrangianul. Acțiunea are dimensiunea unei energii pe timp și, prin urmare, este măsurată în jouli • secundă .

Într-un context mai formal, luați în considerare o varietate diferențială n- dimensională $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , o varietate numită „țintă” $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și fie ${\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ spațiul de configurare a funcțiilor netede din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ la $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . În mecanica clasică , de exemplu, $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este varietatea unidimensională $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ care reprezintă timpul, iar spațiul țintă este pachetul cotangent al spațiului pozițiilor generalizate .

Acțiunea este funcțională $S:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle S: {\ mathcal {C}} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $S: {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathbb {R}}$ pe care hartă $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ (și nu pe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ din motive fizice). Pentru ca acțiunea să fie locală este necesar să se impună restricții suplimentare asupra funcționalității: dacă $\phi \in {\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {C}}}$ $\ phi \ in {\ mathcal {C}}$ presupune că $S(\phi )$ ${\ displaystyle S (\ phi)}$ $S (\ phi)$ atât integralul pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ a lagrangianului ${\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial ^{2}\phi ,...,x)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ phi, \ partial \ phi, \ partial ^ {2} \ phi, ..., x)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ phi, \ partial \ phi, \ partial ^ {2} \ phi, ..., x)}$ , care este o funcție a $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , derivatele și poziția acestuia. În mod explicit, acțiunea este definită după cum urmează:

{\mathcal {S}}[\phi ]\equiv \int _{M}{\mathcal {L}}(\phi (x),\partial \phi (x),\partial ^{2}\phi (x),...,x)\ \mathrm {d} ^{n}x\qquad \forall \phi \in {\mathcal {C}}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ phi] \ equiv \ int _ {M} {\ mathcal {L}} (\ phi (x), \ partial \ phi (x), \ partial ^ {2} \ phi (x), ..., x) \ \ mathrm {d} ^ {n} x \ qquad \ forall \ phi \ in {\ mathcal {C}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ phi] \ equiv \ int _ {M} {\ mathcal {L}} (\ phi (x), \ partial \ phi (x), \ partial ^ {2} \ phi (x), ..., x) \ \ mathrm {d} ^ {n} x \ qquad \ forall \ phi \ in {\ mathcal {C}}}

De cele mai multe ori se presupune că Lagrangianul depinde doar de valoarea câmpului și de prima sa derivată, întrucât cunoașterea poziției și vitezei fiecărui element care alcătuiește un sistem mecanic este posibil să-i caracterizăm complet dinamica și să prezicem cumva evoluția sa. ^[4]

Ecuații variaționale ale lui Euler

Același subiect în detaliu: ecuațiile variaționale ale lui Euler .

De sine $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este compact , condițiile limită sunt obținute prin specificarea valorii lui $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ la granița cu $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , în caz contrar, acestea se obțin oferind limite adecvate pentru $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ cand $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ tinde spre infinit . Acest lucru face posibilă obținerea setului de funcții $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ astfel încât toate derivatele funcționale ale $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ pe $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ sunt nule și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ îndeplinește condițiile limită date. Acest set este determinat, luând în considerare condițiile limită, de soluțiile on-shell ale ecuațiilor Euler-Lagrange:

{\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}=-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ phi}} = - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ phi}} = - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} = 0}

Partea stângă este derivatul funcțional al acțiunii față de $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ .

În mecanica clasică , Lagrangianul este dat de suma energiei cinetice $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și potențialul $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ sau, în mod similar, diferența dintre energia cinetică și energia potențială $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ . Prin urmare, în coordonatele Lagrangiene este definit astfel:

{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)=T({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)-U(\mathbf {q} ,t)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) = T ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q }, t) -U (\ mathbf {q}, t)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) = T ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q }, t) -U (\ mathbf {q}, t)}

Poincaré invariant

Un invariant de timp este definit ca o cantitate ${\mathcal {I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ astfel încât: ^[5]

{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {I}}}{\mathrm {d} t}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {I}}} {\ mathrm {d} t}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {I}}} {\ mathrm {d} t}} = 0}

Pentru un sistem hamiltonian, circulația de -a lungul unei orbite (înțelese ca o traiectorie închisă) a hamiltonianului este zero, iar invariantul Poincaré este definit ca (opusul) integralei de timp a acestui circuit:

{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {I}}}{\mathrm {d} t}}=-\oint _{C}\mathrm {d} {\mathcal {H}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {I}}} {\ mathrm {d} t}} = - \ oint _ {C} \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {I}}} {\ mathrm {d} t}} = - \ oint _ {C} \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = 0}

așa cum a fost adoptat de el în teoria orbitelor . Prin introducerea unei variabile periodice $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ pentru a pune curba și hamiltonienul în formă parametrică, dezvoltând derivata totală a hamiltonienului avem:

\oint _{C}\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\oint _{C(s)}{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} s}}\mathrm {d} s=\oint _{C(s)}\left[{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial s}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial s}}\right]\,\mathrm {d} s=0

{\ displaystyle \ oint _ {C} \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = \ oint _ {C (s)} {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {H}}} {\ mathrm {d} s}} \ mathrm {d} s = \ oint _ {C (s)} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}}} { \ frac {\ partial p_ {i}} {\ partial s}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ partial q_ {i} } {\ partial s}} \ right] \, \ mathrm {d} s = 0}

{\ displaystyle \ oint _ {C} \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = \ oint _ {C (s)} {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {H}}} {\ mathrm {d} s}} \ mathrm {d} s = \ oint _ {C (s)} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}}} { \ frac {\ partial p_ {i}} {\ partial s}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ partial q_ {i} } {\ partial s}} \ right] \, \ mathrm {d} s = 0}

apoi introducerea ecuațiilor Hamilton :

\oint _{C(s)}\left[-{\frac {\partial q_{i}}{\partial t}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial s}}+{\frac {\partial p_{i}}{\partial t}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial s}}\right]\,\mathrm {d} s=0

{\ displaystyle \ oint _ {C (s)} \ left [- {\ frac {\ partial q_ {i}} {\ partial t}} {\ frac {\ partial p_ {i}} {\ partial s}} + {\ frac {\ partial p_ {i}} {\ partial t}} {\ frac {\ partial q_ {i}} {\ partial s}} \ right] \, \ mathrm {d} s = 0}

{\ displaystyle \ oint _ {C (s)} \ left [- {\ frac {\ partial q_ {i}} {\ partial t}} {\ frac {\ partial p_ {i}} {\ partial s}} + {\ frac {\ partial p_ {i}} {\ partial t}} {\ frac {\ partial q_ {i}} {\ partial s}} \ right] \, \ mathrm {d} s = 0}

și integrarea pe părți:

{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {I}}}{\mathrm {d} t}}=\oint _{C(s)}\left[p_{i}{\frac {\partial ^{2}q_{i}}{\partial t\partial s}}+{\frac {\partial p_{i}}{\partial t}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial s}}\right]\,\mathrm {d} s=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {I}}} {\ mathrm {d} t}} = \ oint _ {C (s)} \ left [p_ {i} {\ frac { \ partial ^ {2} q_ {i}} {\ partial t \ partial s}} + {\ frac {\ partial p_ {i}} {\ partial t}} {\ frac {\ partial q_ {i}} { \ partial s}} \ right] \, \ mathrm {d} s = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {I}}} {\ mathrm {d} t}} = \ oint _ {C (s)} \ left [p_ {i} {\ frac { \ partial ^ {2} q_ {i}} {\ partial t \ partial s}} + {\ frac {\ partial p_ {i}} {\ partial t}} {\ frac {\ partial q_ {i}} { \ partial s}} \ right] \, \ mathrm {d} s = 0}

Prin urmare, se arată că acest invariant corespunde acțiunii reduse de-a lungul unei traiectorii închise $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ în spațiul de fază, adică la circuit:

{\mathcal {I}}=\oint _{C}\mathbf {p} \cdot \mathrm {d} \mathbf {q} =\oint _{C}\mathrm {d} {\mathcal {P}}

{\ displaystyle {\ mathcal {I}} = \ oint _ {C} \ mathbf {p} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {q} = \ oint _ {C} \ mathrm {d} {\ mathcal { P}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {I}} = \ oint _ {C} \ mathbf {p} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {q} = \ oint _ {C} \ mathrm {d} {\ mathcal { P}}}

pur și simplu parametrizând curba și variabilele conjugate:

q_{i}=q_{i}(s,t),\quad p_{i}=p_{i}(s,t)

{\ displaystyle q_ {i} = q_ {i} (s, t), \ quad p_ {i} = p_ {i} (s, t)}

{\ displaystyle q_ {i} = q_ {i} (s, t), \ quad p_ {i} = p_ {i} (s, t)}

Acțiune clasică

Același subiect în detaliu: principiul variațional al lui Hamilton .

De asemenea, în fizica clasică acțiunea este definită ca funcțională ( integrală ) ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ care acționează asupra unui set de funcții dependente de timp și, eventual, de spațiu și returnează un scalar . ^[3] ^[6] În mecanica clasică un sistem fizic este descris de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ coordonate generalizate $\mathbf {q} =(q_{1},\dots ,q_{n})$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})}$ ${\ mathbf q} = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})$ , și evoluează între două stări $\mathbf {q} _{1}(t)=\mathbf {q} (t_{1})$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {1} (t) = \ mathbf {q} (t_ {1})}$ ${\ mathbf q} _ {1} (t) = {\ mathbf q} (t_ {1})$ Și $\mathbf {q} _{2}(t)=\mathbf {q} (t_{2})$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {2} (t) = \ mathbf {q} (t_ {2})}$ ${\ mathbf q} _ {2} (t) = {\ mathbf q} (t_ {2})$ în intervalul de timp dintre instante $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Și $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ .

Integrala care definește acțiunea în intervalul dintre $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Și $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ este, prin urmare, următorul:

{\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }}(t),\mathbf {q} (t),t)\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q}] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} { \ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}} (t), \ mathbf {q} (t), t) \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q}] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} { \ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}} (t), \ mathbf {q} (t), t) \, \ mathrm {d} t}

unde este ${\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ denotă Lagrangianul sistemului.

Principiul variațional afirmă că evoluția sistemului fizic este soluția ecuației variaționale :

{\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \mathbf {q} (t)}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ mathbf {q} (t)}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ mathbf {q} (t)}} = 0}

Într-un sistem scleronom, în special, și acțiunea redusă ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ pe traiectoria unui obiect este staționară, așa cum este stabilit de principiul Maupertuis .

Acțiune relativistă

Abordarea hamiltoniană are avantajul de a fi ușor extinsă și generalizată. Pentru a fi invariant , acțiunea trebuie să depindă de cantități invariante. Cea mai simplă dintre aceste cantități este timpul potrivit , notat cu $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ , care este timpul măsurat de un ceas într-un sistem de referință integral cu particula. Conform relativității speciale avem că cantitatea:

-(c\,\mathrm {d} \tau )^{2}=-\mathrm {d} s^{2}=-(c\,\mathrm {d} t)^{2}+\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2},\

{\ displaystyle - (c \, \ mathrm {d} \ tau) ^ {2} = - \ mathrm {d} s ^ {2} = - (c \, \ mathrm {d} t) ^ {2} + \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ {2} + \ mathrm {d} z ^ {2}, \}

{\ displaystyle - (c \, \ mathrm {d} \ tau) ^ {2} = - \ mathrm {d} s ^ {2} = - (c \, \ mathrm {d} t) ^ {2} + \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ {2} + \ mathrm {d} z ^ {2}, \}

unde cu $c$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle c}$ viteza luminii a fost indicată și cu $\mathrm {d} \tau =-\mathrm {d} s/c$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ tau = - \ mathrm {d} s / c}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ tau = - \ mathrm {d} s / c}$ este variația infinitesimală a timpului adecvat. Pentru un punct material care nu este supus forțelor, acțiunea relativistă este dată de ^[7] :

{\mathcal {S}}=-mc\int \mathrm {d} s=-mc^{2}\int \mathrm {d} \tau .

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = - mc \ int \ mathrm {d} s = -mc ^ {2} \ int \ mathrm {d} \ tau.}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = - mc \ int \ mathrm {d} s = -mc ^ {2} \ int \ mathrm {d} \ tau.}

unde cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ a fost indicată masa inerțială a particulei.

Notă

^ Enciclopedia fizicii (ediția a II-a), RG Lerner, GL Trigg, editori VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
^ ^a ^b Mecanică analitică, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
^ ^a ^b The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1
^ Landau, Lifshits , p. 28 .
^ Fitspatrick , pp . 26-27 , Benettin , pp. 89-96
^ Mecanică clasică, TWB Kibble, European Physics Series, McGraw-Hill (Marea Britanie), 1973, ISBN 0-07-084018-0
^ LD Landau și EM Lifshitz The Classical Theory of Fields Addison-Wesley 1971 sec 8.p.24-25

Bibliografie

G. Benettin, alin. 4.7 Invarianți adiabatici , în Note pentru cursul mecanicii analitice , 2017, pp. 89-96.
( EN ) Fitzpatrick, R., alin. 2.7 Invarianți Poincaré , în fizica plasmatică , pp. 26-27.
Lev D. Landau și Evgenij M. Lifshits, Theoretical Physics 1 - Mechanics , Rome, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-6473-202-0 .
( EN ) Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover Publications, New York, 1986. ISBN 0-486-65067-7 . Cea mai citată referință dintre toți cei care se ocupă de acest domeniu.
( EN ) Moore, "Least-Action Principle" în Macmillan Encyclopedia of Physics, Simon & Schuster Macmillan, 1996, Volumul 2, ISBN 0-02-897359-3 , pp. 840-842.
( EN ) Sussman, Wisdom, Structure and Interpretation of Classical Mechanics, MIT Press, 2001. Începeți cu principiul de acțiune staționară, utilizați notația matematică modernă și verificați claritatea și consistența procedurilor prin traducerea acestora într-un program de limbaj pentru computer.
( EN ) Weinstock, Calcul of Variations, with Applications to Physics and Engineering, Dover Publications, 1974. ISBN 0-486-63069-2 . Un pic datat, dar bun, cu un formalism atent definit înainte de a fi folosit în fizică și inginerie.
( EN ) Yourgrau, Mandelstam, Principii variaționale în dinamică și teoria cuantică, Dover Publications, 1979. El nu neglijează implicațiile filosofice și aplaudă reducerea de către Feynman a mecanicii cuantice la principiul acțiunii staționare în limita mare a masei.
(EN)Taylor, Bibliografie adnotată pe principiul acțiunii minime (PDF) pe eftaylor.com.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « acțiune »

linkuri externe

Pagina lui Edwin F. Taylor [1]
Hamilton, Lucrarea matematică transcrisă și corectată de David R. Wilkins , pe emis.de.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4190022-4

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică

[1] Enciclopedia fizicii (ediția a II-a), RG Lerner, GL Trigg, editori VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3

[Analytical_Mechanics_2008-2] Mecanică analitică, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

[Reality,_Roger_Penrose_2007-3] The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1

[def-4] Landau, Lifshits , p. 28 .

[5] Fitspatrick , pp . 26-27 , Benettin , pp. 89-96

[6] Mecanică clasică, TWB Kibble, European Physics Series, McGraw-Hill (Marea Britanie), 1973, ISBN 0-07-084018-0

[7] LD Landau și EM Lifshitz The Classical Theory of Fields Addison-Wesley 1971 sec 8.p.24-25

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]