Teoria micilor oscilații

Studiul micilor oscilații sau mișcări mici constă în aproximarea liniară a ecuațiilor Euler-Lagrange în jurul unui punct de echilibru stabil al unui sistem mecanic conservator cu n grade de libertate . În acest fel, se obțin informații utile, în general, pentru mișcarea într-o vecinătate a poziției de echilibru și mai ales în acele probleme în care sunt prezente oscilații periodice, evitând soluția generală a ecuațiilor în sine, care este mai dificilă ca este de ordinul doi. În acest scop, abordează ecuațiile Hamilton mai generale pentru mișcare.

Aproximarea Lagrangianului

Lagrangianul în poziția de echilibru este aproximat la poziția de echilibru. Aceasta corespunde unei liniarizări a potențialului de ordinul doi.

În acest fel, soluțiile noului Lagrangian diferă puțin de cele ale Lagrangianului inițial în punctele de echilibru stabil, ceea ce nu se întâmplă în punctele de echilibru instabil: deoarece echilibrul este stabil în acele puncte, o mică diferență nu provoacă modificări în echilibru. Noul Lagrangian este:

{\mathcal {L}}'={\bar {T}}+{\bar {\nabla ^{-1}\mathbf {F} }}'={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}\cdot {\dot {q}}_{i}\cdot {\dot {q}}_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}B_{ij}\cdot q_{i}\cdot q_{j}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} '= {\ bar {T}} + {\ bar {\ nabla ^ {- 1} \ mathbf {F}}}' = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} A_ {ij} \ cdot {\ dot {q}} _ {i} \ cdot {\ dot {q}} _ {j} - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} B_ {ij} \ cdot q_ {i} \ cdot q_ {j}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} '= {\ bar {T}} + {\ bar {\ nabla ^ {- 1} \ mathbf {F}}}' = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} A_ {ij} \ cdot {\ dot {q}} _ {i} \ cdot {\ dot {q}} _ {j} - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} B_ {ij} \ cdot q_ {i} \ cdot q_ {j}}

unde este $A_{ij}=a_{ij}|_{\bar {q}}$ ${\ displaystyle A_ {ij} = a_ {ij} | _ {\ bar {q}}}$ ${\ displaystyle A_ {ij} = a_ {ij} | _ {\ bar {q}}}$ Și $B_{ij}=b_{ij}|_{\bar {q}}$ ${\ displaystyle B_ {ij} = b_ {ij} | _ {\ bar {q}}}$ ${\ displaystyle B_ {ij} = b_ {ij} | _ {\ bar {q}}}$ sunt matricea energiei cinetice și hesia din $\nabla ^{-1}\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {- 1} \ mathbf {F}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {- 1} \ mathbf {F}}$ calculat în poziția de echilibru stabil ${\bar {q}}$ ${\ displaystyle {\ bar {q}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {q}}}$ .

Noul Lagrangian oferă noi ecuații Lagrange ale poziției de echilibru care sunt ecuațiile liniarizate:

\sum _{j=1}^{n}A_{ij}\cdot {\ddot {q}}_{j}+\sum _{j=1}^{n}B_{ij}\cdot q_{j}=0

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} A_ {ij} \ cdot {\ ddot {q}} _ {j} + \ sum _ {j = 1} ^ {n} B_ {ij} \ cdot q_ {j} = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} A_ {ij} \ cdot {\ ddot {q}} _ {j} + \ sum _ {j = 1} ^ {n} B_ {ij} \ cdot q_ {j} = 0}

sistem de ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi .

Soluții ale ecuațiilor liniarizate ale mișcării

Căutați soluții complexe precum $q_{j}=K_{j}e^{i\omega _{j}t}$ ${\ displaystyle q_ {j} = K_ {j} e ^ {i \ omega _ {j} t}}$ ${\ displaystyle q_ {j} = K_ {j} e ^ {i \ omega _ {j} t}}$ rezultă că rezolvarea ecuațiilor de mișcare înseamnă rezolvarea problemei valorii proprii $\lambda _{j}=\omega _{j}^{2}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {j} = \ omega _ {j} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {j} = \ omega _ {j} ^ {2}}$ :

\operatorname {det} \left(B-\omega ^{2}A\right)=0

{\ displaystyle \ operatorname {det} \ left (B- \ omega ^ {2} A \ right) = 0}

{\ displaystyle \ operatorname {det} \ left (B- \ omega ^ {2} A \ right) = 0}

Soluțiile ecuațiilor liniarizate sunt de forma:

q_{i}(t)=\sum _{k=1}^{n}C_{ik}q_{0}j(t)

{\ displaystyle q_ {i} (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} C_ {ik} q_ {0} j (t)}

{\ displaystyle q_ {i} (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} C_ {ik} q_ {0} j (t)}

În cele din urmă, rezolvarea problemei micilor oscilații în jurul pozițiilor de echilibru corespunde, prin urmare, găsirii unei matrice diagonalizatoare C , unde:

q_{0}j(t)=\alpha _{j}\cos \left(\omega _{j}\cdot t+\beta _{j}\right)

{\ displaystyle q_ {0} j (t) = \ alpha _ {j} \ cos \ left (\ omega _ {j} \ cdot t + \ beta _ {j} \ right)}

{\ displaystyle q_ {0} j (t) = \ alpha _ {j} \ cos \ left (\ omega _ {j} \ cdot t + \ beta _ {j} \ right)}

,

matricea inversabilă $C_{ij}$ ${\ displaystyle C_ {ij}}$ ${\ displaystyle C_ {ij}}$ este compus din vectorii proprii normalizați în soluții de coloane de:

\operatorname {det} \left(B-\omega _{j}^{2}A\right)u_{j}=0

{\ displaystyle \ operatorname {det} \ left (B- \ omega _ {j} ^ {2} A \ right) u_ {j} = 0}

{\ displaystyle \ operatorname {det} \ left (B- \ omega _ {j} ^ {2} A \ right) u_ {j} = 0}

Și $\alpha _{j}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {j}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {j}}$ Și $\beta _{j}$ ${\ displaystyle \ beta _ {j}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {j}}$ sunt constante de integrare deductibile din condițiile inițiale.

Traiectoriile $q_{0}j(t)$ ${\ displaystyle q_ {0} j (t)}$ ${\ displaystyle q_ {0} j (t)}$ se numesc moduri normale și le $\omega _{j}$ ${\ displaystyle \ omega _ {j}}$ $\ omega_j$ se numesc pulsații specifice sistemului. Fizic $q_{0}j(t)$ ${\ displaystyle q_ {0} j (t)}$ ${\ displaystyle q_ {0} j (t)}$ atunci reprezintă o oscilație a frecvenței $\omega _{j}={\sqrt {\lambda _{j}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {j} = {\ sqrt {\ lambda _ {j}}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {j} = {\ sqrt {\ lambda _ {j}}}}$ : în practică, soluția ecuațiilor liniarizate ne spune că mișcarea unui sistem cu n- grade de libertate în jurul poziției de echilibru , în aproximarea unor perturbații mici, este compusă dintr-un număr n de mișcări armonice independente una de cealaltă corespunzând tuturor frecvențelor posibile $\pm \omega _{j}$ ${\ displaystyle \ pm \ omega _ {j}}$ ${\ displaystyle \ pm \ omega _ {j}}$ .

Bibliografie

Herbert Goldstein, Mecanică clasică, Zanichelli, 2005.

Elemente conexe

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică