Stabilitate internă

O minge din fundul unei văi se află într-o poziție de echilibru stabilă, în timp ce o minge din vârful unui deal se află într-o poziție de echilibru instabilă.

În matematică , stabilitatea internă sau stabilitatea Lyapunov a unui sistem dinamic este o modalitate de a caracteriza stabilitatea traiectoriilor efectuate de sistem în spațiul de fază după perturbarea acestuia în apropierea unui punct de echilibru . Se spune că un punct de echilibru este stabil (conform lui Lyapunov) dacă fiecare orbită a sistemului care pornește suficient de aproape de punctul de echilibru rămâne în vecinătatea punctului de echilibru și se spune asimptotic stabil dacă orbita converge la punctul ca timp crește infinit.

Descriere

Analiza stabilității interne a unui sistem dinamic are o mare importanță în studiul fenomenelor naturale, în care o condiție de echilibru stabil corespunde unui minim de energie deținută de sistem, ca o consecință a faptului că tinde spontan. pentru a-l minimiza. Teorema Lagrange-Dirichlet , care consideră sistemele holonomice supuse forțelor conservatoare și cu constrângeri perfecte (bilaterale) independente de timp, stabilește în special faptul că energia potențială are un relativ relativ exact atunci când sistemul își asumă o configurație de echilibru mecanic stabil (conform Lyapunov).

Puncte de echilibru

Stabilitate într-un sistem dinamic în apropierea punctului de echilibru

x_{0}

{\ displaystyle x_ {0}}

x_0

: soluțiile care încep în interior

V.

{\ displaystyle V}

V.

rămân în

U

{\ displaystyle U}

U

de-a lungul evoluției sistemului.

Instabilitate într-un sistem dinamic.

Luați în considerare un sistem dinamic :

{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f} (\mathbf {x} )\qquad \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) \ qquad \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

\ dot {\ mathbf x} = \ mathbf f (\ mathbf x) \ qquad \ mathbf x \ in \ R ^ n

unde este $\mathbf {f} :{\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}: {\ mathcal {D}} \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbf f: \ mathcal {D} \ subset \ R ^ n \ rightarrow \ R ^ n$ este o funcție Lipschitz în $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ și continuă în $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Este $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ un punct de echilibru , adică $\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x} _ {0}) = \ mathbf {0}}$ $\ mathbf f (\ mathbf x_0) = \ mathbf 0$ . Apoi: ^[1]

Punctul de echilibru $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ se spune că este stabil (conform lui Lyapunov) dacă pentru fiecare cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ a punctului $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ există un cartier $V\subset U$ ${\ displaystyle V \ subset U}$ $V \ subset U$ astfel încât orbitele pornind de la punctele interne a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ rămân înăuntru $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ pentru toate timpurile $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ $t> 0$ .

În mod explicit, pentru fiecare

\epsilon >0

{\ displaystyle \ epsilon> 0}

\ epsilon> 0

există

\delta =\delta (\epsilon )>0

{\ displaystyle \ delta = \ delta (\ epsilon)> 0}

\ delta = \ delta (\ epsilon)> 0

astfel încât, dacă

\|\mathbf {x} (0)-\mathbf {x} _{0}\|<\delta

{\ displaystyle \ | \ mathbf {x} (0) - \ mathbf {x} _ {0} \ | <\ delta}

\ | \ mathbf x (0) - \ mathbf x_0 \ | <\ delta

, apoi pentru fiecare

t\geq 0

{\ displaystyle t \ geq 0}

t \ geq 0

da ai

\|\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} _{0}\|<\epsilon

{\ displaystyle \ | \ mathbf {x} (t) - \ mathbf {x} _ {0} \ | <\ epsilon}

\ | \ mathbf x (t) - \ mathbf x_0 \ | <\ epsilon

.

Punctul de echilibru $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ se numește atractiv dacă există un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ astfel încât pentru fiecare orbită $\mathbf {x} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}$ ${\ mathbf x} (t)$ care începe de la un anunț punct intern $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ avem:

\lim _{t\to +\infty }\mathbf {x} (t)=\mathbf {x} _{0}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {x} _ {0}}

\ lim_ {t \ to + \ infty} \ mathbf x (t) = \ mathbf x_0

Cel mai mare din jur

U

{\ displaystyle U}

U

pentru care se întâmplă acest lucru se numește bazinul de atracție punctuală

\mathbf {x} _{0}

{\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}

\ mathbf x_0

.

Punctul de echilibru $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ se spune că este asimptotic stabil dacă este stabil și atractiv. Adică există $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât dacă $\|\mathbf {x} (0)-\mathbf {x} _{0}\|<\delta$ ${\ displaystyle \ | \ mathbf {x} (0) - \ mathbf {x} _ {0} \ | <\ delta}$ $\ | \ mathbf x (0) - \ mathbf x_0 \ | <\ delta$ asa de $\lim _{t\rightarrow \infty }\|\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} _{0}\|=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} \ | \ mathbf {x} (t) - \ mathbf {x} _ {0} \ | = 0}$ $\ lim_ {t \ rightarrow \ infty} \ | \ mathbf x (t) - \ mathbf x_0 \ | = 0$ .
Un punct de echilibru $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ se spune că este exponențial stabil dacă este asimptotic stabil și există $\alpha ,\beta ,\delta >0$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ delta> 0}$ $\ alpha, \ beta, \ delta> 0$ astfel pentru care, dacă $\|\mathbf {x} (0)-\mathbf {x} _{0}\|<\delta$ ${\ displaystyle \ | \ mathbf {x} (0) - \ mathbf {x} _ {0} \ | <\ delta}$ $\ | \ mathbf x (0) - \ mathbf x_0 \ | <\ delta$ , avem:

\|\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} _{0}\|\leq \alpha \|\mathbf {x} (0)-\mathbf {x} _{0}\|e^{-\beta t}\qquad t\geq 0

{\ displaystyle \ | \ mathbf {x} (t) - \ mathbf {x} _ {0} \ | \ leq \ alpha \ | \ mathbf {x} (0) - \ mathbf {x} _ {0} \ | e ^ {- \ beta t} \ qquad t \ geq 0}

\ | \ mathbf x (t) - \ mathbf x_0 \ | \ leq \ alpha \ | \ mathbf x (0) - \ mathbf x_0 \ | e ^ {- \ beta t} \ qquad t \ geq 0

Se spune că un punct de echilibru este instabil dacă nu este stabil, adică dacă există un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ astfel încât, oricum alegeți un cartier $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ cuprins în $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , puteți găsi întotdeauna o poziție de plecare $\mathbf {x} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ în V}$ $\ mathbf x \ în V$ a cărei orbită se îndepărtează de $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ suficient pentru a ieși din $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ .

Din punct de vedere geometric, ansamblul ( invariant ) de puncte care se apropie $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ (a cărei orbită converge spre $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ pentru $t\to \infty$ ${\ displaystyle t \ to \ infty}$ $t \ to \ infty$ ) se numește varietate stabilă , în timp ce „varietate instabilă” se referă la ansamblul celor care se îndepărtează.

Atractivitate și stabilitate

Sistem dinamic cu punct de echilibru atractiv și instabil

Un punct de echilibru stabil nu este, în general, atractiv, iar un punct de echilibru atractiv nu este neapărat stabil. Proprietatea de stabilitate este o proprietate locală, putând fi observată având în vedere vecinătățile arbitrare mici ale punctului de echilibru, în timp ce proprietatea de atractivitate nu este: chiar dacă bazinul de atracție este foarte mic sau conține vecinătăți arbitrare mici, pentru a verifica dacă un punct aparține pentru dvs. este necesar să urmați întreaga sa traiectorie din care ar putea pleca în mod arbitrar $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Un exemplu de sistem dinamic cu un punct de echilibru care este atractiv, dar nu stabil este cel definit pe circumferință prin:

{\dot {\theta }}=1-\cos(\theta )

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = 1- \ cos (\ theta)}

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = 1- \ cos (\ theta)}

Aici $\theta =0$ ${\ displaystyle \ theta = 0}$ $\ theta = 0$ este un punct de echilibru și soluțiile care încep de la orice alt punct al circumferinței converg „de jos” prin rotire în sensul acelor de ceasornic. Punctul este atractiv și bazinul său de atracție este întreaga circumferință, dar punctul are un echilibru instabil, deoarece toate soluțiile care încep de la punctele „deasupra” acestuia (în mod arbitrar aproape) se îndepărtează de orice vecinătate predeterminată.

Criteriile lui Lyapunov

Criteriile lui Lyapunov oferă condiții suficiente pentru stabilitate în apropierea unui punct de echilibru și sunt extinse cu un număr mare de rezultate. Primul criteriu aduce analiza sistemului înapoi la cea a aproximării sale liniare într-o vecinătate a punctului de echilibru, al doilea folosește o anumită funcție scalară, funcția Lyapunov , pentru a „limita” soluțiile la o regiune a spațiului de fază . În studiul sistemelor mecanice, această funcție este făcută de obicei să corespundă cu energia potențială a sistemului.

Primul criteriu al lui Lyapunov

Având în vedere sistemul dinamic:

{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f} (\mathbf {x} )

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {x})}

\ dot \ mathbf x = \ mathbf f (\ mathbf x)

cu $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ un punct de echilibru, adică:

\mathbf {f} (\mathbf {x} _{0})=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x} _ {0}) = \ mathbf {0}}

\ mathbf f (\ mathbf x_0) = \ mathbf 0

liniarizarea sistemului într-un cartier al $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ se obține luând în considerare traiectoria perturbată:

\mathbf {x} (t)=\mathbf {x} _{0}+\delta \mathbf {x} (t)

{\ displaystyle \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {x} _ {0} + \ delta \ mathbf {x} (t)}

\ mathbf x (t) = \ mathbf x_0 + \ delta \ mathbf x (t)

și punându-l în ecuație:

{\dot {\mathbf {x} }}=\delta {\dot {\mathbf {x} }}=f(\mathbf {x} _{0}+\delta \mathbf {x} (t))=f(\mathbf {x} _{0})+{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {x} ^{T}}}|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}}\delta \mathbf {x} +O(\|\delta \mathbf {x} \|^{2})

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = \ delta {\ dot {\ mathbf {x}}} = f (\ mathbf {x} _ {0} + \ delta \ mathbf {x} (t )) = f (\ mathbf {x} _ {0}) + {\ frac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial \ mathbf {x} ^ {T}}} | _ {\ mathbf {x} = \ mathbf {x} _ {0}} \ delta \ mathbf {x} + O (\ | \ delta \ mathbf {x} \ | ^ {2})}

\ dot \ mathbf x = \ delta \ dot \ mathbf x = f (\ mathbf x_0 + \ delta \ mathbf x (t)) = f (\ mathbf x_0) + \ frac {\ partial \ mathbf f} {\ partial \ mathbf x ^ T} | _ {\ mathbf x = \ mathbf x_0} \ delta \ mathbf x + O (\ | \ delta \ mathbf x \ | ^ 2)

unde, neglijând termenii de ordine superioară celor dintâi, avem:

\delta {\dot {\mathbf {x} }}=A\delta \mathbf {x} \qquad A={\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {x} ^{T}}}|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}}

{\ displaystyle \ delta {\ dot {\ mathbf {x}}} = A \ delta \ mathbf {x} \ qquad A = {\ frac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial \ mathbf {x} ^ {T}}} | _ {\ mathbf {x} = \ mathbf {x} _ {0}}}

\ delta \ dot \ mathbf x = A \ delta \ mathbf x \ qquad A = \ frac {\ partial \ mathbf f} {\ partial \ mathbf x ^ T} | _ {\ mathbf x = \ mathbf x_0}

Criteriul lui Lyapunov afirmă că: ^[2]

dacă punctul de echilibru $\delta \mathbf {x} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}$ $\ delta \ mathbf x = \ mathbf 0$ a sistemului liniarizat $\delta {\dot {\mathbf {x} }}=A\delta \mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ delta {\ dot {\ mathbf {x}}} = A \ delta \ mathbf {x}}$ $\ delta \ dot \ mathbf x = A \ delta \ mathbf x$ atunci este asimptotic stabil $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ este un punct de echilibru stabil asimptotic al sistemului neliniarizat
de sine $\delta \mathbf {x} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}$ $\ delta \ mathbf x = \ mathbf 0$ atunci este instabil $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ este un punct de echilibru instabil al sistemului neliniarizat
de sine $\delta \mathbf {x} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}$ $\ delta \ mathbf x = \ mathbf 0$ este stabil nimic nu se poate spune despre sistemul neliniarizat.

Al doilea criteriu Lyapunov

Același subiect în detaliu: funcția Lyapunov .

Este $a(t,\mathbf {x} ):\mathbb {R} \times B\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a (t, \ mathbf {x}): \ mathbb {R} \ times B \ to \ mathbb {R}}$ $a (t, \ mathbf x): \ R \ times B \ to \ R$ o funcție continuă astfel încât $a(t,\mathbf {0} )=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle a (t, \ mathbf {0}) = \ mathbf {0}}$ $a (t, \ mathbf 0) = \ mathbf 0$ pentru fiecare $t\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ $t \ in \ mathbb {R}$ , cu $B\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle B \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $B \ subset \ R ^ n$ un cartier al $\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$ ${\ mathbf 0}$ . Se spune că $a(t,\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle a (t, \ mathbf {x})}$ $a (t, \ mathbf x)$ este pozitiv definit în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ dacă există o funcție continuă $b(\mathbf {x} ):B\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle b (\ mathbf {x}): B \ to \ mathbb {R}}$ $b (\ mathbf x): B \ to \ R$ pozitiv definit (adică $b(\mathbf {x} )>0$ ${\ displaystyle b (\ mathbf {x})> 0}$ $b (\ mathbf x)> 0$ pentru fiecare $\mathbf {x} \in B\setminus \{\mathbf {0} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ în B \ setminus \ {\ mathbf {0} \}}$ $\ mathbf x \ în B \ setminus \ {\ mathbf 0 \}$ ) astfel încât $b(\mathbf {0} )=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle b (\ mathbf {0}) = \ mathbf {0}}$ $b (\ mathbf 0) = \ mathbf 0$ Și:

a(t,\mathbf {x} )>b(\mathbf {x} )\qquad \forall \mathbf {x} \in B

{\ displaystyle a (t, \ mathbf {x})> b (\ mathbf {x}) \ qquad \ forall \ mathbf {x} \ în B}

a (t, \ mathbf x)> b (\ mathbf x) \ qquad \ forall \ mathbf x \ în B

Definiția pentru o funcție de variabile $(t,\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle (t, \ mathbf {x})}$ $(t, \ mathbf x)$ negativ definit se obține în mod analog, înlocuind $>$ ${\ displaystyle>}$ $>$ cu $<$ ${\ displaystyle <}$ $<$ .

Se spune că $a(t,\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle a (t, \ mathbf {x})}$ $a (t, \ mathbf x)$ este semidefinit pozitiv în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ dacă există o funcție $b(\mathbf {x} ):B\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle b (\ mathbf {x}): B \ to \ mathbb {R}}$ $b (\ mathbf x): B \ to \ R$ semidefinit pozitiv (adică $b(\mathbf {x} )\geq 0$ ${\ displaystyle b (\ mathbf {x}) \ geq 0}$ $b (\ mathbf x) \ ge 0$ pentru fiecare $\mathbf {x} \in B$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ în B}$ $\ mathbf x \ în B$ ) astfel încât $b(\mathbf {0} )=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle b (\ mathbf {0}) = \ mathbf {0}}$ $b (\ mathbf 0) = \ mathbf 0$ Și:

a(t,\mathbf {x} )\geq b(\mathbf {x} )\qquad \forall \mathbf {x} \in B

{\ displaystyle a (t, \ mathbf {x}) \ geq b (\ mathbf {x}) \ qquad \ forall \ mathbf {x} \ în B}

a (t, \ mathbf x) \ ge b (\ mathbf x) \ qquad \ forall \ mathbf x \ în B

Prin inversarea direcției inegalității, o funcție semidefinită negativă este definită în mod similar.

Având în jur $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $D \ subset \ R ^ n$ a punctului de echilibru $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ pentru sistem:

{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {f} (t, \ mathbf {x})}

\ dot \ mathbf x = \ mathbf f (t, \ mathbf x)

dacă există o funcție $V:\mathbb {R} \times D\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle V: \ mathbb {R} \ times D \ to \ mathbb {R}}$ $V: \ R \ times D \ to \ R$ elegant $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ pozitiv definit și cu derivat orbital:

{\dot {V}}(t,\mathbf {x} )={\frac {\partial }{\partial t}}V(t,\mathbf {x} )+{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} _{1}}}V(t,\mathbf {x} )f_{1}(\mathbf {x} )+\dots +{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} _{n}}}V(t,\mathbf {x} )f_{n}(\mathbf {x} )

{\ displaystyle {\ dot {V}} (t, \ mathbf {x}) = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} V (t, \ mathbf {x}) + {\ frac {\ partial } {\ partial \ mathbf {x} _ {1}}} V (t, \ mathbf {x}) f_ {1} (\ mathbf {x}) + \ dots + {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {x} _ {n}}} V (t, \ mathbf {x}) f_ {n} (\ mathbf {x})}

\ dot V (t, \ mathbf x) = \ frac {\ partial} {\ partial t} V (t, \ mathbf x) + \ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf x_1} V (t, \ mathbf x) f_1 (\ mathbf x) + \ dots + \ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf x_n} V (t, \ mathbf x) f_n (\ mathbf x)

semidefinita negativa, atunci $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ este stabil în sensul lui Lyapunov.

Punctul de echilibru $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf x_0$ este asimptotic stabil în sensul lui Lyapunov dacă există și o funcție $W:D\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle W: D \ to \ mathbb {R}}$ $W: D \ to \ R$ pozitiv definit astfel încât: ^[3]

V(t,\mathbf {x} )<W(\mathbf {x} )\qquad \forall (t,\mathbf {x} )\in \mathbb {R} \times D

{\ displaystyle V (t, \ mathbf {x}) <W (\ mathbf {x}) \ qquad \ forall (t, \ mathbf {x}) \ in \ mathbb {R} \ times D}

V (t, \ mathbf x) <W (\ mathbf x) \ qquad \ forall (t, \ mathbf x) \ in \ R \ times D

Stabilitatea astfel definită este o condiție suficientă, dar nu necesară, adică un punct de echilibru poate fi stabil chiar dacă nu există funcții Lyapunov definite în vecinătatea sa.

Sisteme liniare

Același subiect în detaliu: Sistem dinamic liniar .

În științele aplicate, în special electronica și teoria controlului , este obișnuit să se studieze stabilitatea sistemelor dinamice liniare. Ele sunt adesea studiate în domeniul Laplace $s=\sigma +i\omega$ ${\ displaystyle s = \ sigma + i \ omega}$ $s = \ sigma + i \ omega$ , adică se analizează răspunsul lor în frecvență , care pentru sistemele staționare este dat de funcția de transfer . Un sistem liniar de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ State $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbf x \ in \ R ^ n$ , $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ intrare $\mathbf {u} \in \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbf u \ in \ R ^ m$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ ieșiri $\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} \ in \ mathbb {R} ^ {q}}$ $\ mathbf y \ in \ R ^ q$ este descris de o ecuație ca:

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {u} (t)}

\ dot \ mathbf x (t) = A \ mathbf x (t) + B \ mathbf u (t)

\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {u} (t)}

\ mathbf y (t) = C \ mathbf x (t) + D \ mathbf u (t)

și se spune că este stabil dacă toate valorile proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ au o parte reală negativă. ^[4]

În special, este posibil să se arate că, dacă intrarea este un swing de tip $\mathbf {u} ={\bar {\mathbf {u} }}e^{st}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ bar {\ mathbf {u}}} e ^ {st}}$ $\ mathbf u = \ bar \ mathbf u e ^ {st}$ , cu ${\bar {\mathbf {u} }}\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {u}}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ bar \ mathbf u \ in \ R ^ n$ un vector arbitrar, iar sistemul este stabil, atunci pentru un timp care tinde spre infinit, ieșirea este o oscilație cu aceeași frecvență ca perturbarea de intrare:

\lim _{t\to \infty }\mathbf {y} (t)=[D+C(sI-A)^{-1}B]{\bar {\mathbf {u} }}e^{st}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} \ mathbf {y} (t) = [D + C (sI-A) ^ {- 1} B] {\ bar {\ mathbf {u}}} și ^ {st}}

\ lim_ {t \ to \ infty} \ mathbf y (t) = [D + C (sI-A) ^ {- 1} B] \ bar \ mathbf u e ^ {st}

unde câștigul $[D+C(sI-A)^{-1}B]$ ${\ displaystyle [D + C (sI-A) ^ {- 1} B]}$ $[D + C (sI-A) ^ {- 1} B]$ , cu $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ matricea de identitate produce o defazare și o amplificare a intrării (fără a-i modifica frecvența).

Exemplu: oscilatorul armonic

Oscilatorul armonic este un exemplu clasic folosit pentru a clarifica conceptele de stabilitate. Sistemul constă dintr-un arc care pe o parte este limitat la un plan și pe de altă parte este conectat la o masă. Dacă se presupune că nu există frecare în sistem, după ce ați comprimat (sau întins) arcul, masa va începe să oscileze la nesfârșit, fără a se opri vreodată. Dacă încercați să vă imaginați traiectoriile sistemului, acestea vor oscila în jurul punctului de echilibru: este un sistem stabil, iar traiectoriile nu se îndepărtează niciodată prea departe de punctul de echilibru. Dacă se presupune că există frecare în sistem, oscilațiile vor fi amortizate și după un timp sistemul se va opri în poziția de repaus (echilibru). Prin urmare, traiectoriile vor oscila inițial în jurul punctului de echilibru și apoi se vor opri în poziția de echilibru. Este un sistem stabil asimptotic, traiectoriile nu se mișcă niciodată prea departe și după un anumit timp converg în punctul de echilibru, oprindu-se acolo.

Notă

^(EN) Universitatea Clemson - Stabilitatea Lyapunov: sisteme autonome
^(EN) Christopher J. Damaren - Stabilitatea Lyapunov
^(EN) Christopher Grant - Metoda directă a lui Lyapunov Depusă la 5 martie 2016 Internet Archive .
^(EN)Andrew Packard - Răspunsul în frecvență pentru sistemele liniare Depus 13 martie 2016 în Internet Archive .

Bibliografie

( EN ) AM Lyapunov, Stabilitatea mișcării , Acad. Presă (1966)
( DE ) O. Perron, Ueber Stabilität und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen Math. Z., 29 (1928) pp. 129-160
(EN) RE Bellman, Teoria stabilității ecuațiilor diferențiale, Dover, retipărire (1969)
(EN) Jean-Jacques E. Slotine și Weiping Li, Control neliniar aplicat, Prentice Hall, NJ, 1991
( EN ) Parks PC: „Teoria stabilității lui AM Lyapunov - 100 de ani în urmă”, IMA Journal of Mathematical Control & Information 1992 9 275-303
( EN ) G. Teschl, Ecuații diferențiale ordinare și sisteme dinamice , Providence , American Mathematical Society , 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 .
( EN ) S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos , ediția a II-a, New York , Springer Verlag , 2003, ISBN 0-387-00177-8 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere interne de stabilitate

linkuri externe

( EN ) VM Millionshchikov, Lyapunov stabilitate , în Enciclopedia de matematică , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Yu.S. Bogdanov, Asymptotically-stable solution , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
R. Zakhama, ABB Hadj Brahim și NB Braiek, Generalizarea unei metode de estimare a domeniului de stabilitate pentru sisteme discrete neliniare , în Matematică Computațională și Aplicată , vol. 37, octombrie 2016, pp. 1130–1141, DOI : 10.1007 / s40314-016-0388-7 .
( EN ) asimptotic stabil , în PlanetMath .
( EN ) Dan Zelazo - Teoria stabilității Lyapunov ( PDF ), pe tx.technion.ac.il . Arhivat din original la 5 octombrie 2013. Adus pe 12 august 2015 .

Controlul autorității	LCCN (EN) sh95003362 · GND (DE) 4167992-1 · BNF (FR) cb14457946x (data)

Portal de verificări automate

Portalul de fizică

Portalul de matematică

[1] (EN) Universitatea Clemson - Stabilitatea Lyapunov: sisteme autonome

[2] (EN) Christopher J. Damaren - Stabilitatea Lyapunov

[3] (EN) Christopher Grant - Metoda directă a lui Lyapunov Depusă la 5 martie 2016 Internet Archive .

[4] (EN)Andrew Packard - Răspunsul în frecvență pentru sistemele liniare Depus 13 martie 2016 în Internet Archive .

[1]

[2]

[3]

[4]