Echilibrul mecanic

În mecanica newtoniană , în special în statică , se spune că un sistem se află în echilibru mecanic atunci când suma tuturor forțelor externe și a tuturor momentelor mecanice externe este nulă.

În formule:

${\begin{cases}\sum \mathbf {F} ^{(e)}=0\\\sum \mathbf {M} ^{(e)}=0\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ sum \ mathbf {F} ^ {(e)} = 0 \\\ sum \ mathbf {M} ^ {(e)} = 0 \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ sum \ mathbf {F} ^ {(e)} = 0 \\\ sum \ mathbf {M} ^ {(e)} = 0 \ end {cases}}}$

Prima ecuație determină echilibrul translațional al sistemului, deoarece, conform celei de-a doua legi a lui Newton , implică faptul că accelerația centrului de masă este zero. A doua determină în schimb echilibrul de rotație al sistemului, deoarece implică faptul că accelerația unghiulară este zero, conform celei de-a doua legi cardinale .

O definiție alternativă spune că un sistem este în echilibru mecanic dacă poziția sa în spațiul de configurare este într-un punct în care gradientul de energie potențială este zero.

Echilibru static

Echilibrul static este un caz particular de echilibru mecanic de interes deosebit, în care viteza și viteza unghiulară inițială sunt ambele zero, prin urmare sistemul este în repaus. Pentru a exista un echilibru static în datele de referință inerțiale, este, prin urmare, necesar și suficient ca următoarele condiții să apară simultan:

$\left\{{\begin{aligned}&\mathbf {v} =0\\&{\boldsymbol {\omega }}=0\\&\sum \mathbf {F} =0\\&\sum \mathbf {M} =0\end{aligned}}\right.$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & \ mathbf {v} = 0 \\ & {\ boldsymbol {\ omega}} = 0 \\ & \ sum \ mathbf {F} = 0 \\ & \ sum \ mathbf {M} = 0 \ end {align}} \ right.}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & \ mathbf {v} = 0 \\ & {\ boldsymbol {\ omega}} = 0 \\ & \ sum \ mathbf {F} = 0 \\ & \ sum \ mathbf {M} = 0 \ end {align}} \ right.}$

adică viteza liniară și unghiulară zero, forța rezultantă zero, și pentru al doilea principiu , de asemenea, accelerația și suma tuturor momentelor mecanice zero și pentru a doua ecuație cardinală , de asemenea, accelerația unghiulară .

Anularea rezultantei forțelor, în cazul conservator , are ca rezultat existența unui punct staționar pentru potențial în funcție de parametrii variabili independent.

Tipuri de echilibru static

Același subiect în detaliu: stabilitate conform lui Lyapunov .

Trei conuri în echilibru static. Sunt indicate pozițiile centrelor de greutate și graficul local al potențialului (proporțional cu înălțimea)

În funcție de tipul de criticitate potențială în punctul de echilibru static, se disting trei cazuri: echilibru stabil (potențial minim local), echilibru instabil ( inflexiune locală maximă sau orizontală), echilibru indiferent (potențial constant local). În primul caz, o mică variație a condițiilor determină rechemarea sistemului către punctul de echilibru; în al doilea provoacă o divergență sau o plecare către un echilibru stabil; în al treilea, mici variații conduc la noi configurații de echilibru.

Un exemplu simplu poate fi făcut în cazul unui corp rigid (să luăm un con ) în câmpul gravitațional (vezi figura).

În prima configurație, centrul de greutate al conului se află la punctul său de înălțime minimă, iar un robinet îl va face să oscileze și apoi să cadă înapoi la punctul de echilibru ( echilibru stabil ).

În cel de-al doilea caz, centrul de greutate este la maxim, iar o modificare minimă a condiției de echilibru precar ar duce la căderea conului, aducând centrul de greutate cât mai aproape de sol ( echilibru instabil ).

În al treilea caz, centrul de greutate, indiferent de stresul mic, rămâne întotdeauna la aceeași înălțime față de sol și este stabilit de fiecare dată în noua poziție asumată ( echilibru indiferent ).

Ecuația generală a mașinilor

Pentru orice mecanism , un sistem cinematic care este în consecință un sistem labil , (de exemplu un mecanism cu manivelă, un sistem format din pârghii, un patrulater articulat), se aplică ecuația generală a mașinilor: suma algebrică a lucrărilor efectuate într-un anumit timp intervalul, din toate forțele care acționează asupra elementelor mașinii , este egal cu variația energiei cinetice a sistemului în același interval de timp:

W_{m}+W_{r}+W_{p}={\Delta E_{k}}

{\ displaystyle W_ {m} + W_ {r} + W_ {p} = {\ Delta E_ {k}}}

{\ displaystyle W_ {m} + W_ {r} + W_ {p} = {\ Delta E_ {k}}}

Unde este:

$W_{m}$ ${\ displaystyle W_ {m}}$ ${\ displaystyle W_ {m}}$ este lucrarea motorie, aplicată din exterior pe sistem, care va răspunde cu o deplasare rigidă generalizată ( deplasare sau rotație în funcție de caz), deci nu în prezența unui câmp de deformare
$W_{r}$ ${\ displaystyle W_ {r}}$ ${\ displaystyle W_ {r}}$ este lucrarea rezistentă, aplicată și din exterior asupra sistemului, contribuția elementelor asupra cărora nu acționează o forță motrică sau un cuplu , din cauza acelor cauze care se opun mișcării , cum ar fi forța de greutate a sistemului în sine când nu produce putere activă. De vreme ce se opune mișcării, va avea semnul opus cu privire la $W_{m}$ ${\ displaystyle W_ {m}}$ ${\ displaystyle W_ {m}}$ , prin urmare, dacă îl considerăm cu un semn, va fi negativ
$W_{p}$ ${\ displaystyle W_ {p}}$ ${\ displaystyle W_ {p}}$ este opera pierdută, datorită acțiunilor de frecare internă ale sistemului dinamic în sine. De asemenea, se opune mișcării, prin urmare, va avea semnul opus primului termen, adică negativ.
$\Delta E_{k}$ ${\ displaystyle \ Delta E_ {k}}$ ${\ displaystyle \ Delta E_ {k}}$ la al doilea membru, este variația energiei cinetice deținută de sistem. Este zero în condiții stabile (viteze liniare și unghiulare constante), pozitiv dacă sistemul accelerează , negativ dacă decelerează. În primul caz, în consecință, introducem lucrarea motorului în mașină, care este distribuită în ceilalți termeni, cu o creștere a vitezei sistemului, de exemplu în tranzitorii de pornire; în acest din urmă caz, totuși, va exista muncă motorie în detrimentul energiei cinetice

Derivând membru în membru în ceea ce privește timpul, este posibil să-l scriem în termeni de putere și avem:

P_{m}+P_{r}+P_{p}={\frac {\mathrm {d} E_{k}}{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle P_ {m} + P_ {r} + P_ {p} = {\ frac {\ mathrm {d} E_ {k}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle P_ {m} + P_ {r} + P_ {p} = {\ frac {\ mathrm {d} E_ {k}} {\ mathrm {d} t}}}

Fiind:

$P_{m}$ ${\ displaystyle P_ {m}}$ ${\ displaystyle P_ {m}}$ puterea motrice a sistemului, deci puterea activă aplicată din exterior sistemului în sine
$P_{r}$ ${\ displaystyle P_ {r}}$ ${\ displaystyle P_ {r}}$ puterea de rezistență, care se opune mișcării elementelor sistemului, datorită acțiunii forțelor de rezistență externe și a cuplurilor, care absorb această cantitate de putere
$P_{p}$ ${\ displaystyle P_ {p}}$ ${\ displaystyle P_ {p}}$ puterea pierdută, disipată de fricțiunea internă a elementelor sistemului
$P_{i}=-{\frac {\mathrm {d} E_{k}}{\mathrm {d} t}}$ ${\ displaystyle P_ {i} = - {\ frac {\ mathrm {d} E_ {k}} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle P_ {i} = - {\ frac {\ mathrm {d} E_ {k}} {\ mathrm {d} t}}}$ variația energiei cinetice în raport cu timpul, prin urmare este un termen inerțial: dacă forțele rezistente și cuplurile sunt de intensitate mare, variațiile energiei cinetice vor fi mici, deoarece sistemul va fi opus în accelerațiile membrilor săi.

Trebuie remarcat faptul că distincția dintre munca pierdută și munca rezistentă sau între puterea pierdută și puterea rezistentă este pur convențională: ambii sunt termeni care se opun cauzelor capabile să producă mișcare. Prin urmare, putem scrie: