Suma

Suma este un simbol matematic care abreviază, într-o notație sintetică, suma unui anumit set de addende. Notarea prevede:

o literă majusculă sigma : $\sum$ ${\ displaystyle \ sum}$ $\ sum$
o literă numită index de însumare (literele $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ sau $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ minuscule)
o expresie algebrică în dreapta sigmei în care poate apărea indexul însumării
un interval de valori (întregi) în care indicele care trebuie indicat deasupra și dedesubtul sigmei poate varia.

Prin urmare, în cel mai general caz posibil, avem o scriere de acest tip

\sum _{k=m}^{n}f(k)

{\ displaystyle \ sum _ {k = m} ^ {n} f (k)}

\ sum_ {k = m} ^ n f (k)

unde este $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sunt numere întregi, respectiv numite limita inferioară a însumării și limita superioară a însumării . Scrierea citește „însumarea pentru $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ asta merge de la $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ din $f(k)$ ${\ displaystyle f (k)}$ $f (k)$ ". Această notație indică suma tuturor adunărilor obținute prin substituirea indexului $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ din $f(k)$ ${\ displaystyle f (k)}$ $f (k)$ toate valorile întregi variind de la număr $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ la număr $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ inclus. $\sum _{k=m}^{n}f(k)=f(m)+f(m+1)+f(m+2)+\ldots +f(n-1)+f(n)$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = m} ^ {n} f (k) = f (m) + f (m + 1) + f (m + 2) + \ ldots + f (n-1) + f (n)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = m} ^ {n} f (k) = f (m) + f (m + 1) + f (m + 2) + \ ldots + f (n-1) + f (n)}$

Exemple

De sine $f(k)=k^{2}$ ${\ displaystyle f (k) = k ^ {2}}$ $f (k) = k ^ {2}$

\sum _{k=4}^{10}k^{2}=4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}+10^{2}=371

{\ displaystyle \ sum _ {k = 4} ^ {10} k ^ {2} = 4 ^ {2} + 5 ^ {2} + 6 ^ {2} + 7 ^ {2} + 8 ^ {2} + 9 ^ {2} + 10 ^ {2} = 371}

\ sum _ {{k = 4}} ^ {{10}} k ^ {2} = 4 ^ {2} + 5 ^ {2} + 6 ^ {2} + 7 ^ {2} + 8 ^ {2 } + 9 ^ {2} + 10 ^ {2} = 371

.

Sau daca $f(m)=m$ ${\ displaystyle f (m) = m}$ $f (m) = m$

\sum _{m=1}^{10}m=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

{\ displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {10} m = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55}

\ sum _ {{m = 1}} ^ {{10}} m = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

.

Sumări infinite

De asemenea, este posibil să utilizați această notație pentru sume cu un număr infinit de termeni; se numesc serii infinite . In loc de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ deasupra simbolului însumării se folosește simbolul infinitului ( $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ ). Suma unei astfel de serii este definită ca limita sumei primei $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ termeni, ca $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dincolo de orice valoare. În formule,

\sum _{i=m}^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=m}^{n}x_{i}.

{\ displaystyle \ sum _ {i = m} ^ {\ infty} x_ {i}: = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = m} ^ {n} x_ {i}.}

\ sum _ {{i = m}} ^ {{\ infty}} x _ {{i}}: = \ lim _ {{n \ to \ infty}} \ sum _ {{i = m}} ^ { {n}} x _ {{i}}.

De asemenea, poate fi înlocuit $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ cu un infinit negativ, și au

\sum _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=-n}^{m}x_{i}+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=m+1}^{n}x_{i},

{\ displaystyle \ sum _ {i = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {i}: = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = -n} ^ {m} x_ {i } + \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = m + 1} ^ {n} x_ {i},}

\ sum _ {{i = - \ infty}} ^ {\ infty} x_ {i}: = \ lim _ {{n \ to \ infty}} \ sum _ {{i = -n}} ^ {m} x_ {i} + \ lim _ {{n \ to \ infty}} \ sum _ {{i = m + 1}} ^ {n} x_ {i},

pentru un întreg la alegere $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , presupunând că ambele limite există.

Alte utilizări

Același simbol este, de asemenea, utilizat pentru a descrie sume ale căror adaosuri nu corespund unor numere întregi, dar satisfac condiții mai generale, cum ar fi

\sum _{d|n}f(d)

{\ displaystyle \ sum _ {d | n} f (d)}

\ sum_ {d | n} f (d)

unde suma se extinde la toate numerele care împart un număr dat $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ,

\sum _{0\leq x<100 \atop x\in \mathbb {Z} }f(x)

{\ displaystyle \ sum _ {0 \ leq x <100 \ atop x \ in \ mathbb {Z}} f (x)}

\ sum _ {{0 \ leq x <100 \ atop x \ in \ mathbb {Z}}} f (x)

suma $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ pe toate $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ numere întregi în intervalul specificat,

\sum _{x\in S}f(x)

{\ displaystyle \ sum _ {x \ în S} f (x)}

\ sum _ {{x \ in S}} f (x)

suma peste toate $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aparținând întregului $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .

În matematica continuum, echivalentul sumei este integral , al cărui simbol provine tocmai din deformarea simbolului însumării ^{[ fără sursă ]} .

Albert Einstein a introdus o notație simplificată care îi ia numele pentru însumări care implică vectori, matrice și tensori .

Proprietățile însumării

Proprietatea asociativ-disociativă

În notația de însumare se menține următoarea egalitate:

\sum _{k=N}^{M}f(k)\pm \sum _{k=N}^{M}g(k)=\sum _{k=N}^{M}f(k)\pm g(k)

{\ displaystyle \ sum _ {k = N} ^ {M} f (k) \ pm \ sum _ {k = N} ^ {M} g (k) = \ sum _ {k = N} ^ {M} f (k) \ pm g (k)}

\ sum _ {{k = N}} ^ {M} f (k) \ pm \ sum _ {{k = N}} ^ {M} g (k) = \ sum _ {{k = N}} ^ {M} f (k) \ pm g (k)

Rețineți că pentru ca egalitatea să fie validă, limitele superioare și inferioare ale celor două însumări trebuie să fie egale, altfel egalitatea nu este validă.

Demonstrație

Dezvoltarea celor două rezumări:

\sum _{k=N}^{M}f(k)\pm \sum _{k=N}^{M}g(k)=(f(N)+f(N+1)+f(N+2)+\ldots +f(M))\pm (g(N)+g(N+1)+g(N+2)+\ldots +g(M))

{\ displaystyle \ sum _ {k = N} ^ {M} f (k) \ pm \ sum _ {k = N} ^ {M} g (k) = (f (N) + f (N + 1) + f (N + 2) + \ ldots + f (M)) \ pm (g (N) + g (N + 1) + g (N + 2) + \ ldots + g (M))}

\ sum_ {k = N} ^ M f (k) \ pm \ sum_ {k = N} ^ M g (k) = (f (N) + f (N + 1) + f (N + 2) + \ ldots + f (M)) \ pm (g (N) + g (N + 1) + g (N + 2) + \ ldots + g (M))

scoaterea parantezelor:

(f(N)+f(N+1)+f(N+2)+\ldots +f(M))\pm (g(N)+g(N+1)+g(N+2)+\ldots +g(M))=f(N)+f(N+1)+f(N+2)+\ldots +f(M)\pm g(N)\pm g(N+1)\pm g(N+2)\pm \ldots \pm g(M)

{\ displaystyle (f (N) + f (N + 1) + f (N + 2) + \ ldots + f (M)) \ pm (g (N) + g (N + 1) + g (N + 2) + \ ldots + g (M)) = f (N) + f (N + 1) + f (N + 2) + \ ldots + f (M) \ pm g (N) \ pm g (N + 1) \ pm g (N + 2) \ pm \ ldots \ pm g (M)}

(f (N) + f (N + 1) + f (N + 2) + \ ldots + f (M)) \ pm (g (N) + g (N + 1) + g (N + 2) + \ ldots + g (M)) = f (N) + f (N + 1) + f (N + 2) + \ ldots + f (M) \ pm g (N) \ pm g (N + 1) \ pm g (N + 2) \ pm \ ldots \ pm g (M)

și aplicarea proprietății asociative a adunării:

f(N)+f(N+1)+f(N+2)+\ldots +f(M)\pm g(N)\pm g(N+1)\pm g(N+2)\pm \ldots \pm g(M)=(f(N)\pm g(N))+(f(N+1)\pm g(N+1))+(f(N+2)\pm g(N+2))+\ldots +(f(M)\pm g(M))

{\ displaystyle f (N) + f (N + 1) + f (N + 2) + \ ldots + f (M) \ pm g (N) \ pm g (N + 1) \ pm g (N + 2 ) \ pm \ ldots \ pm g (M) = (f (N) \ pm g (N)) + (f (N + 1) \ pm g (N + 1)) + (f (N + 2) \ pm g (N + 2)) + \ ldots + (f (M) \ pm g (M))}

f (N) + f (N + 1) + f (N + 2) + \ ldots + f (M) \ pm g (N) \ pm g (N + 1) \ pm g (N + 2) \ pm \ ldots \ pm g (M) = (f (N) \ pm g (N)) + (f (N + 1) \ pm g (N + 1)) + (f (N + 2) \ pm g ( N + 2)) + \ ldots + (f (M) \ pm g (M))

suma poate fi rescrisă în următoarea formă:

(f(N)\pm g(N))+(f(N+1)\pm g(N+1))+(f(N+2)\pm g(N+2))+\ldots +(f(M)\pm g(M))=\sum _{k=N}^{M}f(k)\pm g(k)

{\ displaystyle (f (N) \ pm g (N)) + (f (N + 1) \ pm g (N + 1)) + (f (N + 2) \ pm g (N + 2)) + \ ldots + (f (M) \ pm g (M)) = \ sum _ {k = N} ^ {M} f (k) \ pm g (k)}

(f (N) \ pm g (N)) + (f (N + 1) \ pm g (N + 1)) + (f (N + 2) \ pm g (N + 2)) + \ ldots + (f (M) \ pm g (M)) = \ sum_ {k = N} ^ M f (k) \ pm g (k)

de la care:

\sum _{k=N}^{M}f(k)\pm \sum _{k=N}^{M}g(k)=\sum _{k=N}^{M}f(k)\pm g(k)

{\ displaystyle \ sum _ {k = N} ^ {M} f (k) \ pm \ sum _ {k = N} ^ {M} g (k) = \ sum _ {k = N} ^ {M} f (k) \ pm g (k)}

\ sum _ {{k = N}} ^ {M} f (k) \ pm \ sum _ {{k = N}} ^ {M} g (k) = \ sum _ {{k = N}} ^ {M} f (k) \ pm g (k)

Proprietate distributivă

În notația de însumare se menține următoarea egalitate:

a\cdot \sum _{k=N}^{M}f(k)=\sum _{k=N}^{M}a\cdot f(k)

{\ displaystyle a \ cdot \ sum _ {k = N} ^ {M} f (k) = \ sum _ {k = N} ^ {M} a \ cdot f (k)}

a \ cdot \ sum _ {{k = N}} ^ {M} f (k) = \ sum _ {{k = N}} ^ {M} a \ cdot f (k)

aceasta înseamnă că un factor care se află în interiorul unei însumări poate fi extras din ea și, dimpotrivă, un factor în afara însumării poate fi adus în interiorul acesteia.

Demonstrație

Dezvoltarea însumării:

a\cdot \sum _{k=N}^{M}f(k)=a\cdot (f(N)+f(N+1)+f(N+2)+\ldots +f(M))

{\ displaystyle a \ cdot \ sum _ {k = N} ^ {M} f (k) = a \ cdot (f (N) + f (N + 1) + f (N + 2) + \ ldots + f (M))}

a \ cdot \ sum_ {k = N} ^ M f (k) = a \ cdot (f (N) + f (N + 1) + f (N + 2) + \ ldots + f (M))

și aplicarea proprietății distributive a multiplicării:

a\cdot (f(N)+f(N+1)+f(N+2)+\ldots +f(M))=a\cdot f(N)+a\cdot f(N+1)+a\cdot f(N+2)+\ldots +a\cdot f(M)

{\ displaystyle a \ cdot (f (N) + f (N + 1) + f (N + 2) + \ ldots + f (M)) = a \ cdot f (N) + a \ cdot f (N + 1) + a \ cdot f (N + 2) + \ ldots + a \ cdot f (M)}

a \ cdot (f (N) + f (N + 1) + f (N + 2) + \ ldots + f (M)) = a \ cdot f (N) + a \ cdot f (N + 1) + a \ cdot f (N + 2) + \ ldots + a \ cdot f (M)

suma poate fi rescrisă în următoarea formă:

a\cdot f(N)+a\cdot f(N+1)+a\cdot f(N+2)+\ldots +a\cdot f(M)=\sum _{k=N}^{M}a\cdot f(k)

{\ displaystyle a \ cdot f (N) + a \ cdot f (N + 1) + a \ cdot f (N + 2) + \ ldots + a \ cdot f (M) = \ sum _ {k = N} ^ {M} a \ cdot f (k)}

a \ cdot f (N) + a \ cdot f (N + 1) + a \ cdot f (N + 2) + \ ldots + a \ cdot f (M) = \ sum_ {k = N} ^ M a \ cdot f (k)

de la care

a\cdot \sum _{k=N}^{M}f(k)=\sum _{k=N}^{M}a\cdot f(k)

{\ displaystyle a \ cdot \ sum _ {k = N} ^ {M} f (k) = \ sum _ {k = N} ^ {M} a \ cdot f (k)}

a \ cdot \ sum _ {{k = N}} ^ {M} f (k) = \ sum _ {{k = N}} ^ {M} a \ cdot f (k)

Din dovadă se poate deduce că această proprietate este echivalentă cu proprietatea distributivă a multiplicării în ceea ce privește adunarea. Evident, această proprietate este valabilă și în cazul în care un raport are o însumare la numărător, de fapt:

{\frac {\sum _{k=N}^{M}f(k)}{a}}={\frac {1}{a}}\sum _{k=N}^{M}f(k)=\sum _{k=N}^{M}{\frac {1}{a}}f(k)=\sum _{k=N}^{M}{\frac {f(k)}{a}}\Rightarrow {\frac {\sum _{k=N}^{M}f(k)}{a}}=\sum _{k=N}^{M}{\frac {f(k)}{a}}

{\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {k = N} ^ {M} f (k)} {a}} = {\ frac {1} {a}} \ sum _ {k = N} ^ {M } f (k) = \ sum _ {k = N} ^ {M} {\ frac {1} {a}} f (k) = \ sum _ {k = N} ^ {M} {\ frac {f (k)} {a}} \ Rightarrow {\ frac {\ sum _ {k = N} ^ {M} f (k)} {a}} = \ sum _ {k = N} ^ {M} {\ frac {f (k)} {a}}}

{\ frac {\ sum _ {{k = N}} ^ {M} f (k)} {a}} = {\ frac {1} {a}} \ sum _ {{k = N}} ^ { M} f (k) = \ sum _ {{k = N}} ^ {M} {\ frac {1} {a}} f (k) = \ sum _ {{k = N}} ^ {M} {\ frac {f (k)} {a}} \ Rightarrow {\ frac {\ sum _ {{k = N}} ^ {M} f (k)} {a}} = \ sum _ {{k = N}} ^ {M} {\ frac {f (k)} {a}}

Dărâma:

\sum _{k=1}^{n+m}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}+\sum _{k=n+1}^{n+m}a_{k}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n + m} a_ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} + \ sum _ {k = n + 1} ^ {n + m} a_ {k}}

\ sum _ {{k = 1}} ^ {{n + m}} a_ {k} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} a_ {k} + \ sum _ {{k = n +1}} ^ {{n + m}} a_ {k}

Traducere index:

\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1+m}^{n+m}a_{k-m}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} = \ sum _ {k = 1 + m} ^ {n + m} a_ {km}}

\ sum _ {{k = 1}} ^ {n} a_ {k} = \ sum _ {{k = 1 + m}} ^ {{n + m}} a _ {{k-m}}

Traducerea limitelor superioare și inferioare

Dacă termenul însumării este un polinom, traducerea limitelor superioare și inferioare se poate face modificând în mod adecvat doar termenii dependenți de index:

\sum _{x=B+1}^{C}3x^{2}-3x+1=\sum _{x=1}^{C-B}3(x+B)^{2}-3(x+B)+1

{\ displaystyle \ sum _ {x = B + 1} ^ {C} 3x ^ {2} -3x + 1 = \ sum _ {x = 1} ^ {CB} 3 (x + B) ^ {2} - 3 (x + B) +1}

\ sum_ {x = B + 1} ^ C 3x ^ 2-3x + 1 = \ sum_ {x = 1} ^ {C-B} 3 (x + B) ^ 2-3 (x + B) +1

Reflectarea indicilor:

\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{n-k+1}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{n-k}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {n-k + 1} = \ sum _ {k = 0} ^ {n -1} a_ {nk}}

\ sum _ {{k = 1}} ^ {n} a_ {k} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} a _ {{n-k + 1}} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} a _ {{nk}}

. Mai general avem (când

n>m

{\ displaystyle n> m}

n> m

):

\sum _{k=m}^{n}a_{k}=\sum _{k=m}^{n}a_{n-k+m}

{\ displaystyle \ sum _ {k = m} ^ {n} a_ {k} = \ sum _ {k = m} ^ {n} a_ {n-k + m}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = m} ^ {n} a_ {k} = \ sum _ {k = m} ^ {n} a_ {n-k + m}}

Unele identități în care apar sumări

Formula pentru suma tuturor numerelor întregi din $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și

\sum _{i=m}^{n}i={\frac {(n-m+1)(n+m)}{2}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = m} ^ {n} i = {\ frac {(n-m + 1) (n + m)} {2}}}

\ sum _ {{i = m}} ^ {{n}} i = {\ frac {(n-m + 1) (n + m)} {2}}

Exemplu:

\sum _{i=10}^{15}i={\frac {(15-10+1)(15+10)}{2}}={\frac {150}{2}}=75

{\ displaystyle \ sum _ {i = 10} ^ {15} i = {\ frac {(15-10 + 1) (15 + 10)} {2}} = {\ frac {150} {2}} = 75}

\ sum _ {{i = 10}} ^ {{15}} i = {\ frac {(15-10 + 1) (15 + 10)} {2}} = {\ frac {150} {2}} = 75

Demonstrație

Considerăm suma numerelor întregi din $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ ( $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ ) la $7$ ${\ displaystyle 7}$ $7$ ( $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ), avem $3+4+5+6+7$ ${\ displaystyle 3 + 4 + 5 + 6 + 7}$ $3 + 4 + 5 + 6 + 7$ , adăugăm și eliminăm toate numerele precedente $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ asta este în cazul nostru $1+2$ ${\ displaystyle 1 + 2}$ $1 + 2$ care ar fi suma primilor numere întregi din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ adică 3-1 = 2 ( m -1). Suma noastră devine: $1+2+3+4+5+6+7-(1+2)$ ${\ displaystyle 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7- (1 + 2)}$ $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7- (1 + 2)$ Putem vedea că rezultatul este diferența dintre suma numerelor întregi din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ minus suma numerelor întregi din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $m-1$ ${\ displaystyle m-1}$ $m-1$ , suma $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numere întregi începând de la $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ este formula lui Gauss pe care a găsit-o când era băiat:

{\frac {n(n+1)}{2}}

{\ displaystyle {\ frac {n (n + 1)} {2}}}

{\ frac {n (n + 1)} {2}}

Pentru suma numerelor întregi din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $m-1$ ${\ displaystyle m-1}$ $m-1$ avem:

{\frac {(m-1)(m-1+1)}{2}}

{\ displaystyle {\ frac {(m-1) (m-1 + 1)} {2}}}

{\ frac {(m-1) (m-1 + 1)} {2}}

{\frac {m(m-1)}{2}}

{\ displaystyle {\ frac {m (m-1)} {2}}}

{\ frac {m (m-1)} {2}}

Rezultatul nostru ar fi diferența dintre cele două, și anume:

{\frac {n(n+1)}{2}}-{\frac {m(m-1)}{2}}

{\ displaystyle {\ frac {n (n + 1)} {2}} - {\ frac {m (m-1)} {2}}}

{\ frac {n (n + 1)} {2}} - {\ frac {m (m-1)} {2}}

Cu câteva pasaje algebrice dezvoltăm și găsim formula noastră compactă:

{\frac {n^{2}+n-m^{2}+m}{2}}

{\ displaystyle {\ frac {n ^ {2} + nm ^ {2} + m} {2}}}

{\ frac {n ^ {2} + n-m ^ {2} + m} {2}}

{\frac {n^{2}-m^{2}+n+m}{2}}

{\ displaystyle {\ frac {n ^ {2} -m ^ {2} + n + m} {2}}}

{\ frac {n ^ {2} -m ^ {2} + n + m} {2}}

n^{2}-m^{2}=(n+m)(n-m)

{\ displaystyle n ^ {2} -m ^ {2} = (n + m) (nm)}

n ^ {2} -m ^ {2} = (n + m) (n-m)

{\frac {(n+m)(n-m)+n+m}{2}}

{\ displaystyle {\ frac {(n + m) (nm) + n + m} {2}}}

{\ frac {(n + m) (n-m) + n + m} {2}}

{\frac {(n-m+1)(n+m)}{2}}

{\ displaystyle {\ frac {(n-m + 1) (n + m)} {2}}}

{\ frac {(n-m + 1) (n + m)} {2}}

Deci, în special suma primei $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numere întregi pozitive este

\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i = \ sum _ {i = 1} ^ {n} i = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}

\ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} i = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} i = {\ frac {n (n + 1)} {2} }

Exemplu:

\sum _{i=0}^{10}i=\sum _{i=1}^{10}i={\frac {10(10+1)}{2}}={\frac {110}{2}}=55

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {10} i = \ sum _ {i = 1} ^ {10} i = {\ frac {10 (10 + 1)} {2}} = {\ frac {110} {2}} = 55}

\ sum _ {{i = 0}} ^ {{10}} i = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{10}} i = {\ frac {10 (10 + 1)} {2} } = {\ frac {110} {2}} = 55

Formula pentru suma primelor $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pătrat în schimb este

\sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) ( 2n + 1)} {6}}}

\ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} i ^ {2} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} i ^ {2} = {\ frac {n ( n + 1) (2n + 1)} {6}}

Exemplu:

\sum _{i=0}^{5}i^{2}=\sum _{i=1}^{5}i^{2}={\frac {5(5+1)(2\cdot 5+1)}{6}}={\frac {330}{6}}=55

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {5} i ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {5} i ^ {2} = {\ frac {5 (5 + 1) ( 2 \ cdot 5 + 1)} {6}} = {\ frac {330} {6}} = 55}

\ sum _ {{i = 0}} ^ {{5}} i ^ {2} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{5}} i ^ {2} = {\ frac {5 ( 5 + 1) (2 \ cdot 5 + 1)} {6}} = {\ frac {330} {6}} = 55

;

\sum _{i=1}^{5}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {5} i ^ {2} = 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 5 ^ {2} = 55}

\ sum _ {{i = 1}} ^ {{5}} i ^ {2} = 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 5 ^ {2 } = 55

Din aceste formule este de asemenea posibil să se obțină cea referitoare la suma primei $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cuburi .

O relație care îl leagă pe primul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cuburi la primul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numerele sunt după cum urmează:

\sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {3} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} i \ right) ^ {2}}

\ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} i ^ {{3}} = \ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} i \ right) ^ {{ 2}}

Exemplu:

\sum _{i=1}^{3}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}=36=(1+2+3)^{2}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {3} i ^ {3} = 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} = 36 = (1 + 2 + 3) ^ { 2}}

\ sum _ {{i = 1}} ^ {{3}} i ^ {{3}} = 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} = 36 = (1 + 2 + 3 ) ^ {{2}}

Demonstrație

Se demonstrează prin inducție.

Baza de inducție: per $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ avem: $\sum _{i=1}^{1}i^{3}=\left(\sum _{i=1}^{1}i\right)^{2}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {1} i ^ {3} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {1} i \ right) ^ {2}}$ $\ sum _ {{i = 1}} ^ {{1}} i ^ {{3}} = \ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {{1}} i \ right) ^ {{ 2}}$

$1^{3}=1^{2}$ ${\ displaystyle 1 ^ {3} = 1 ^ {2}}$ $1 ^ {{3}} = 1 ^ {{2}}$ acesta este $1=1$ ${\ displaystyle 1 = 1}$ $1 = 1$

Pas inductiv: Presupunem că ipoteza este adevărată $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$

Prin urmare, avem: $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}=(1+2+3+\ldots +n)^{2}$ ${\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ ldots + n ^ {3} = (1 + 2 + 3 + \ ldots + n) ^ {2}}$ $1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ ldots + n ^ {3} = (1 + 2 + 3 + \ ldots + n) ^ {2}$

Deoarece al doilea membru al ecuației este o serie aritmetică pătrată, avem:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}$ ${\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ ldots + n ^ {3} = \ left [{\ frac {n (n + 1)} {2}} \ right ] ^ {2}}$ $1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ ldots + n ^ {3} = \ left [\ frac {n (n + 1)} {2} \ right] ^ {2}$

Dovedim că este valabil pentru $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ .

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}+(n+1)^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}+(n+1)^{3}$ ${\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ ldots + n ^ {3} + (n + 1) ^ {3} = \ left [{\ frac {n (n +1)} {2}} \ right] ^ {2} + (n + 1) ^ {3}}$ $1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ ldots + n ^ {3} + (n + 1) ^ {3} = \ left [\ frac {n (n + 1)} {2} \ dreapta] ^ {2} + (n + 1) ^ 3$

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}+(n+1)^{3}=(n+1)^{2}\left({\frac {n^{2}+4n+4}{4}}\right)$ ${\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ ldots + n ^ {3} + (n + 1) ^ {3} = (n + 1) ^ {2} \ stânga ({\ frac {n ^ {2} + 4n + 4} {4}} \ dreapta)}$ $1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ ldots + n ^ {3} + (n + 1) ^ {3} = (n + 1) ^ {2} \ left (\ frac {n ^ {2} + 4n + 4} {4} \ dreapta)$

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}+(n+1)^{3}=(n+1)^{2}\left({\frac {n+2}{2}}\right)^{2}$ ${\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ ldots + n ^ {3} + (n + 1) ^ {3} = (n + 1) ^ {2} \ stânga ({\ frac {n + 2} {2}} \ dreapta) ^ {2}}$ $1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ ldots + n ^ {3} + (n + 1) ^ {3} = (n + 1) ^ {2} \ left (\ frac {n + 2} {2} \ right) ^ {2}$

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}+(n+1)^{3}=\left[{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\right]^{2}$ ${\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ ldots + n ^ {3} + (n + 1) ^ {3} = \ left [{\ frac {(n + 1) (n + 2)} {2}} \ dreapta] ^ {2}}$ $1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ ldots + n ^ {3} + (n + 1) ^ {3} = \ left [\ frac {(n + 1) (n + 2)} {2} \ dreapta] ^ {2}$

Și asta este exact acolo $(n+1)$ ${\ displaystyle (n + 1)}$ $(n + 1)$ . Această teoremă ne spune, de asemenea, că suma primilor $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cuburile sunt date de: $\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {n (n + 1)} {2}} \ right] ^ {2}}$ $\ left [{\ frac {n (n + 1)} {2}} \ right] ^ {{2}}$

Cu toate acestea, dovada de mai sus, prin inducție, nu este o dovadă „constructivă”, deoarece presupune că trebuie demonstrat că:

\sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {3} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} i \ right) ^ {2}}

\ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} i ^ {{3}} = \ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} i \ right) ^ {{ 2}}

fără a oferi nicio justificare de unde provine această formulă.

O demonstrație „constructivă” a acestei presupuneri poate fi aceasta:

Să începem cu formula:

\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}=\sum _{i=0}^{n}i^{2}+2\sum _{i=0}^{n-1}i\sum _{m=i+1}^{n}m

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} i \ right) ^ {2} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {2} +2 \ sum _ { i = 0} ^ {n-1} i \ sum _ {m = i + 1} ^ {n} m}

\ left (\ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} i \ right) ^ {{2}} = \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} i ^ {{ 2}} + 2 \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n-1}} i \ sum _ {{m = i + 1}} ^ {{n}} m

Această formulă este o modalitate generală de a scrie pătratul unui polinom (de fapt apar toți termenii pătratului și toți produsele duble) aplicat pătratului sumei primilor $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numere naturale.

Apoi putem continua să rezolvăm sumele a căror sumă este cunoscută, amintind că:

\sum _{i=0}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}

\ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} i = {\ frac {n (n + 1)} {2}}

este asta

\sum _{i=k}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}-{\frac {k(k-1)}{2}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = k} ^ {n} i = {\ frac {n (n + 1)} {2}} - {\ frac {k (k-1)} {2}}}

\ sum _ {{i = k}} ^ {{n}} i = {\ frac {n (n + 1)} {2}} - {\ frac {k (k-1)} {2}}

(atâta timp cât: $\sum _{i=k}^{n}i=\sum _{i=0}^{n}i-\sum _{i=0}^{k-1}i$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = k} ^ {n} i = \ sum _ {i = 0} ^ {n} i- \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} i}$ $\ sum _ {{i = k}} ^ {{n}} i = \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} i- \ sum _ {{i = 0}} ^ {{k -1}} i$ )

de la care:

{\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=\sum _{i=0}^{n}i^{2}+2\sum _{i=0}^{n-1}i\left[{\frac {n(n+1)}{2}}-{\frac {i(i+1)}{2}}\right]

{\ displaystyle {\ frac {n ^ {2} (n + 1) ^ {2}} {4}} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {2} +2 \ sum _ { i = 0} ^ {n-1} i \ left [{\ frac {n (n + 1)} {2}} - {\ frac {i (i + 1)} {2}} \ right]}

{\ displaystyle {\ frac {n ^ {2} (n + 1) ^ {2}} {4}} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {2} +2 \ sum _ { i = 0} ^ {n-1} i \ left [{\ frac {n (n + 1)} {2}} - {\ frac {i (i + 1)} {2}} \ right]}

{\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=\sum _{i=0}^{n}i^{2}+n(n+1)\sum _{i=0}^{n-1}i-\sum _{i=0}^{n-1}i^{3}-\sum _{i=0}^{n-1}i^{2}

{\ displaystyle {\ frac {n ^ {2} (n + 1) ^ {2}} {4}} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {2} + n (n + 1 ) \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} i- \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} i ^ {3} - \ sum _ {i = 0} ^ {n-1 } i ^ {2}}

{\ frac {n ^ {2} (n + 1) ^ {2}} {4}} = \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} i ^ {2} + n (n + 1) \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n-1}} i- \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n-1}} i ^ {3} - \ sum _ { {i = 0}} ^ {{n-1}} i ^ {2}

având în vedere că:

\sum _{i=0}^{n-1}i^{2}=\left(\sum _{i=0}^{n}i^{2}\right)-n^{2}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} i ^ {2} = \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {2} \ right) -n ^ { 2}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} i ^ {2} = \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {2} \ right) -n ^ { 2}}

Pot simplifica termenul $\sum _{i=0}^{n}i^{2}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {2}}$ $\ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} i ^ {2}$ , obținând:

{\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=n(n+1){\frac {(n-1)n}{2}}-\sum _{i=0}^{n-1}i^{3}+n^{2}

{\ displaystyle {\ frac {n ^ {2} (n + 1) ^ {2}} {4}} = n (n + 1) {\ frac {(n-1) n} {2}} - \ sumă _ {i = 0} ^ {n-1} i ^ {3} + n ^ {2}}

{\ frac {n ^ {2} (n + 1) ^ {2}} {4}} = n (n + 1) {\ frac {(n-1) n} {2}} - \ sum _ { {i = 0}} ^ {{n-1}} i ^ {3} + n ^ {2}

din care obținem:

\sum _{i=0}^{n-1}i^{3}={\frac {n^{2}(n-1)^{2}}{4}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} i ^ {3} = {\ frac {n ^ {2} (n-1) ^ {2}} {4}}}

\ sum _ {{i = 0}} ^ {{n-1}} i ^ {3} = {\ frac {n ^ {2} (n-1) ^ {2}} {4}}

sau, încheierea însumării a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ :

\sum _{i=0}^{n}i^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {3} = {\ frac {n ^ {2} (n + 1) ^ {2}} {4}}}

\ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} i ^ {3} = {\ frac {n ^ {2} (n + 1) ^ {2}} {4}}

\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{i}k\right)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {i} k \ right) = {\ frac {n (n + 1) (n + 2) } {6}}}

\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ left (\ sum _ {{k = 1}} ^ {i} k \ right) = {\ frac {n (n + 1) (n + 2 )} {6}}

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « însumare »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de însumare

linkuri externe

( EN ) Summation , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4193845-8

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Simboluri matematice
Semne aritmetice	+ Semn · semn ± · semn - · × marca · semne și ÷ · semnul puterii · semn √ · % semn · semn ‰
Egalitate și inegalitate	= Semn · semn ≠ · ≡ semn · semn ≈ · semnul> · <semn · semn ≥ · semn ≤
Semne ale teoriei mulțimilor	semna ∈ · semn ∅ · ∩ semn · ∪ marca · semne ⊂ și ⊆ · semne și ⊇ ⊃
Semne ale logicii matematice	semneze ∧ · semn ∨ · semn ¬ · semn → · semn ↔ · semn:
Semne geometrice	semneze ⊥ · semn //
Semne diverse	Simbolul Π · Simbolul Σ · Simbolul ∞ · Simbol! · ∃ simbol · simbol ∀ · semn \| · parantezele