de fabricație

În matematică , productivitatea este un simbol care scurtează multiplicarea unui anumit număr de factori într-o notație sintetică. Simbolul folosit este litera greacă majusculă Pi .

Definiție

Definiția producției este dată de:

\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \cdots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}

{\ displaystyle \ prod _ {i = m} ^ {n} x_ {i} = x_ {m} \ cdot x_ {m + 1} \ cdot x_ {m + 2} \ cdot \ cdots \ cdot x_ {n- 1} \ cdot x_ {n}}

{\ displaystyle \ prod _ {i = m} ^ {n} x_ {i} = x_ {m} \ cdot x_ {m + 1} \ cdot x_ {m + 2} \ cdot \ cdots \ cdot x_ {n- 1} \ cdot x_ {n}}

.

Variabila $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este o variabilă gratuită numită indicele de productivitate; presupune toate valorile întregi incluse între limita inferioară $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ iar limita superioară $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , in timp ce $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ sunt termenii unei succesiuni.

De exemplu:

\prod _{i=2}^{6}\left(1+{1 \over i}\right)=\left(1+{1 \over 2}\right)\cdot \left(1+{1 \over 3}\right)\cdot \left(1+{1 \over 4}\right)\cdot \left(1+{1 \over 5}\right)\cdot \left(1+{1 \over 6}\right)={7 \over 2}

{\ displaystyle \ prod _ {i = 2} ^ {6} \ left (1+ {1 \ over i} \ right) = \ left (1+ {1 \ over 2} \ right) \ cdot \ left (1 + {1 \ over 3} \ right) \ cdot \ left (1+ {1 \ over 4} \ right) \ cdot \ left (1+ {1 \ over 5} \ right) \ cdot \ left (1+ { 1 \ over 6} \ right) = {7 \ over 2}}

{\ displaystyle \ prod _ {i = 2} ^ {6} \ left (1+ {1 \ over i} \ right) = \ left (1+ {1 \ over 2} \ right) \ cdot \ left (1 + {1 \ over 3} \ right) \ cdot \ left (1+ {1 \ over 4} \ right) \ cdot \ left (1+ {1 \ over 5} \ right) \ cdot \ left (1+ { 1 \ over 6} \ right) = {7 \ over 2}}

.

O utilizare tipică a producătorului este definirea factorială a unui număr $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ :

n!=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (n-1)\cdot n

{\ displaystyle n! = \ prod _ {k = 1} ^ {n} k = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot (n-1) \ cdot n}

{\ displaystyle n! = \ prod _ {k = 1} ^ {n} k = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot (n-1) \ cdot n}

.

Dacă indicele superior este mai mic decât indicele inferior, randamentul reprezintă un produs gol și valoarea acestuia este 1.

Este posibil să se definească produsul și pentru indici non-consecutivi, dar care respectă unele condiții logice prefixate; de exemplu, pentru a indica faptul că un număr este egal cu produsul divizorilor săi , scriem:

n=\prod _{q\mid n \atop q\neq n}q

{\ displaystyle n = \ prod _ {q \ mid n \ atop q \ neq n} q}

{\ displaystyle n = \ prod _ {q \ mid n \ atop q \ neq n} q}

.

Indicele de producție este $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , iar condițiile care trebuie respectate sunt plasate sub simbolul producției.

Produse infinite

Același subiect în detaliu: Produs infinit .

De asemenea, poate fi considerat produsul unui număr infinit de termeni: în notație, limita superioară este înlocuită $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cu simbolul infinitului ( $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ ). Produsul unei astfel de serii este definit ca limita produsului primei $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ termeni, ca $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . În formule,

\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}

{\ displaystyle \ prod _ {i = m} ^ {\ infty} x_ {i} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ prod _ {i = m} ^ {n} x_ {i}}

{\ displaystyle \ prod _ {i = m} ^ {\ infty} x_ {i} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ prod _ {i = m} ^ {n} x_ {i}}

.

În mod similar, limita inferioară poate fi înlocuită $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ cu infinit negativ:

\prod _{i=-\infty }^{n}x_{i}=\lim _{m\to \infty }\prod _{i=-m}^{n}x_{i}

{\ displaystyle \ prod _ {i = - \ infty} ^ {n} x_ {i} = \ lim _ {m \ to \ infty} \ prod _ {i = -m} ^ {n} x_ {i}}

{\ displaystyle \ prod _ {i = - \ infty} ^ {n} x_ {i} = \ lim _ {m \ to \ infty} \ prod _ {i = -m} ^ {n} x_ {i}}

.

În cele din urmă, este posibil să se ia în considerare infinitele limite inferioare și superioare:

$\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\prod _{i=-\infty }^{-1}x_{i}\cdot \prod _{i=0}^{\infty }x_{i}$ ${\ displaystyle \ prod _ {i = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {i} = \ prod _ {i = - \ infty} ^ {- 1} x_ {i} \ cdot \ prod _ {i = 0} ^ {\ infty} x_ {i}}$ ${\ displaystyle \ prod _ {i = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {i} = \ prod _ {i = - \ infty} ^ {- 1} x_ {i} \ cdot \ prod _ {i = 0} ^ {\ infty} x_ {i}}$ .

Toate produsele descrise mai sus sunt definite dacă limitele lor sunt.

Identități notabile

Produs Wallis :

{\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ;

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2n) (2n)} {(2n-1) (2n + 1) }} = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} \ cdots; }

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2n) (2n)} {(2n-1) (2n + 1) }} = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} \ cdots; }

Funcția zeta Riemann :

\zeta (s)=\prod _{p\,\mathrm {primo} }{\frac {1}{1-p^{-s}}};

{\ displaystyle \ zeta (s) = \ prod _ {p \, \ mathrm {prime}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}};}

{\ displaystyle \ zeta (s) = \ prod _ {p \, \ mathrm {prime}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}};}

Funcția Gamma :

\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}

{\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ frac {e ^ {- \ gamma z}} {z}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {z} {n}} \ right) ^ {- 1} e ^ {z / n}}

\ Gamma (z) = \ frac {e ^ {- \ gamma z}} {z} \ prod_ {n = 1} ^ \ infty \ left (1 + \ frac {z} {n} \ right) ^ {- 1} și ^ {z / n}

.

Folosind notația

Deși simbolul de producție reprezintă o literă greacă majusculă Pi, codificarea Unicode oferă un simbol special pentru aceasta, în poziția U + 220F (∏), distinctă de U + 03A0 (Π), care reprezintă litera Pi. În LaTex , simbolul de producție este reprodus în mod normal cu comanda \prod .

În plus față de produsul obișnuit între numere, simbolul de producție poate fi utilizat și pentru a indica alte operații matematice cu proprietăți similare, cum ar fi produsul cartezian între seturi .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Simboluri matematice
Semne aritmetice	+ Semn · semn ± · semn - · × marca · semne și ÷ · semnul puterii · semn √ · % semn · semn ‰
Egalitate și inegalitate	= semn · semn ≠ · ≡ semn · semn ≈ · semn> · <semn · semn ≥ · semn ≤
Semne ale teoriei mulțimilor	semn ∈ · semn ∅ · ∩ semn · ∪ marca · semne ⊂ și ⊆ · semne și ⊇ ⊃
Semne ale logicii matematice	semn ∧ · semn ∨ · semn ¬ · semn → · semn ↔ · semn:
Semne geometrice	semn ⊥ · semn //
Semne diverse	simbol Π · simbol Σ · simbol ∞ · Simbol! · ∃ simbol · simbol ∀ · semn \| · Paranteză