Produs Wallis

În matematică prin produsul Wallis se înțelege o expresie a valorii lui π găsită în 1655 de matematicianul John Wallis .

\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)}{(2n-1)}}\cdot {\frac {(2n)}{(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}

{\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2n)} {(2n-1)}} \ cdot {\ frac {(2n)} {(2n + 1)}} = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot { \ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} \ cdots = {\ frac {\ pi} {2}}}

{\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2n)} {(2n-1)}} \ cdot {\ frac {(2n)} {(2n + 1)}} = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot { \ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} \ cdots = {\ frac {\ pi} {2}}}

Demonstrație

Să considerăm mai întâi că rădăcinile păcatului (x) / x sunt ± nπ, unde n = 1, 2, 3, ... Prin urmare, putem exprima sinusul printr-un produs infinit de factori liniari dat de rădăcinile sale:

{\frac {\sin(x)}{x}}=k\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \qquad {\textrm {con}}~k~{\textrm {costante}}

{\ displaystyle {\ frac {\ sin (x)} {x}} = k \ left (1 - {\ frac {x} {\ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} { \ pi}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x} {2 \ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {2 \ pi}} \ right) \ left ( 1 - {\ frac {x} {3 \ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {3 \ pi}} \ right) \ cdots \ qquad {\ textrm {con}} ~ k ~ {\ textrm {constant}}}

\ frac {\ sin (x)} {x} = k \ left (1 - \ frac {x} {\ pi} \ right) \ left (1 + \ frac {x} {\ pi} \ right) \ left (1 - \ frac {x} {2 \ pi} \ right) \ left (1 + \ frac {x} {2 \ pi} \ right) \ left (1 - \ frac {x} {3 \ pi} \ dreapta) \ left (1 + \ frac {x} {3 \ pi} \ right) \ cdots \ qquad \ textrm {cu} ~ k ~ \ textrm {constant}

Pentru a găsi constanta k, considerăm limita din ambele direcții:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{x\to 0}\left(k\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \right)=k

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin (x)} {x}} = \ lim _ {x \ to 0} \ left (k \ left (1 - {\ frac {x } {\ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {\ pi}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x} {2 \ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {2 \ pi}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x} {3 \ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} { 3 \ pi}} \ right) \ cdots \ right) = k}

\ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin (x)} {x} = \ lim_ {x \ to 0} \ left (k \ left (1 - \ frac {x} {\ pi} \ right) \ left (1 + \ frac {x} {\ pi} \ right) \ left (1 - \ frac {x} {2 \ pi} \ right) \ left (1 + \ frac {x} {2 \ pi} \ right) \ left (1 - \ frac {x} {3 \ pi} \ right) \ left (1 + \ frac {x} {3 \ pi} \ right) \ cdots \ right) = k

Profitând de faptul că:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin (x)} {x}} = 1}

\ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin (x)} {x} = 1

obținem k = 1. Deci, obținem următoarea formulă Euler-Wallis pentru sinus:

{\frac {\sin(x)}{x}}=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots

{\ displaystyle {\ frac {\ sin (x)} {x}} = \ left (1 - {\ frac {x} {\ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {\ pi}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x} {2 \ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {2 \ pi}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x} {3 \ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {3 \ pi}} \ right) \ cdots}

\ frac {\ sin (x)} {x} = \ left (1 - \ frac {x} {\ pi} \ right) \ left (1 + \ frac {x} {\ pi} \ right) \ left ( 1 - \ frac {x} {2 \ pi} \ right) \ left (1 + \ frac {x} {2 \ pi} \ right) \ left (1 - \ frac {x} {3 \ pi} \ right ) \ left (1 + \ frac {x} {3 \ pi} \ right) \ cdots

{\frac {\sin(x)}{x}}=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots

{\ displaystyle {\ frac {\ sin (x)} {x}} = \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {\ pi ^ {2}}} \ right) \ left (1- {\ frac {x ^ {2}} {4 \ pi ^ {2}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {9 \ pi ^ {2}}} \ right ) \ cdots}

\ frac {\ sin (x)} {x} = \ left (1 - \ frac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1 - \ frac {x ^ 2} {4 \ pi ^ 2} \ right) \ left (1 - \ frac {x ^ 2} {9 \ pi ^ 2} \ right) \ cdots

Să setăm x = π / 2,

{\frac {1}{\pi /2}}=\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{4^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^{2}}}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }(1-{\frac {1}{4n^{2}}})

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi / 2}} = \ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {2}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {4 ^ {2}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {6 ^ {2}}} \ right) \ cdots = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} ( 1 - {\ frac {1} {4n ^ {2}}})}}

\ frac {1} {\ pi / 2} = \ left (1 - \ frac {1} {2 ^ 2} \ right) \ left (1 - \ frac {1} {4 ^ 2} \ right) \ left (1 - \ frac {1} {6 ^ 2} \ right) \ cdots = \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} (1 - \ frac {1} {4n ^ 2})

{\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}})

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} ({\ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1}}) }

\ frac {\ pi} {2} = \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} (\ frac {4n ^ 2} {4n ^ 2 - 1})

=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)}{(2n-1)}}\cdot {\frac {(2n)}{(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}

{\ displaystyle = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2n)} {(2n-1)}} \ cdot {\ frac {(2n)} {(2n + 1)} } = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} \ cdots = { \ frac {\ pi} {2}}}

{\ displaystyle = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2n)} {(2n-1)}} \ cdot {\ frac {(2n)} {(2n + 1)} } = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} \ cdots = { \ frac {\ pi} {2}}}

QED

Legătură cu aproximarea Stirling

Aproximarea Stirling pentru n ! stabilește că

n!={\sqrt {2\pi n}}{\left({\frac {n}{e}}\right)}^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right)

{\ displaystyle n! = {\ sqrt {2 \ pi n}} {\ left ({\ frac {n} {e}} \ right)} ^ {n} \ left (1 + O \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) \ right)}

n! = \ sqrt {2 \ pi n} {\ left (\ frac {n} {e} \ right)} ^ n \ left (1 + O \ left (\ frac {1} {n} \ right) \ right)

pentru n → ∞. Să luăm acum în considerare aproximarea finită cu produsul Wallis, obținută luând primii k termeni ai produsului:

p_{k}=\prod _{n=1}^{k}{\frac {(2n)}{(2n-1)}}\cdot {\frac {(2n)}{(2n+1)}}

{\ displaystyle p_ {k} = \ prod _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {(2n)} {(2n-1)}} \ cdot {\ frac {(2n)} {(2n + 1)}}}

{\ displaystyle p_ {k} = \ prod _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {(2n)} {(2n-1)}} \ cdot {\ frac {(2n)} {(2n + 1)}}}

p _k poate fi scris ca

p_{k}={1 \over {2k+1}}\prod _{n=1}^{k}{\frac {(2n)^{4}}{(2n(2n-1))^{2}}}={1 \over {2k+1}}\cdot {{4^{2k}\,k!^{4}} \over {(2k\,!)^{2}}}\ .

{\ displaystyle p_ {k} = {1 \ over {2k + 1}} \ prod _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {(2n) ^ {4}} {(2n (2n-1) ) ^ {2}}} = {1 \ over {2k + 1}} \ cdot {{4 ^ {2k} \, k! ^ {4}} \ over {(2k \,!) ^ {2}} } \.}

p_k = {1 \ over {2k + 1}} \ prod_ {n = 1} ^ {k} \ frac {(2n) ^ 4} {(2n (2n-1)) ^ 2} = {1 \ over { 2k + 1}} \ cdot {{4 ^ {2k} \, k! ^ 4} \ over {(2k \ ,!) ^ 2}} \.

Înlocuind aproximarea Stirling în această expresie (ambele pentru k ! Și pentru 2 k !) Putem deduce (după un scurt calcul) că p _k converge la π / 2 pentru k → ∞.

linkuri externe

Pagina de analiză complexă din PlanetMath care include o demonstrație a produsului infinit

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy