Inegalitatea lui Bernoulli

Ilustrație grafică a funcțiilor implicate în inegalitatea pentru n = 3

Inegalitatea Bernoulli afirmă că:

(1+x)^{n}\geq 1+nx

{\ displaystyle (1 + x) ^ {n} \ geq 1 + nx}

{\ displaystyle (1 + x) ^ {n} \ geq 1 + nx}

pentru fiecare număr întreg n ≥ 0 și fiecare număr real x> -1. Inegalitatea Bernoulli este un pas crucial în demonstrarea altor inegalități și dezvăluie un instrument fundamental pentru demonstrații importante (inclusiv cele cu limite particulare ).

Istorie

Inegalitatea poartă numele lui Jacob Bernoulli , celebrul matematician din secolul al XVII-lea , care a publicat prima teză în pagina a doua a Tratatului Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis publicată la Basel în 1689 , folosind frecvent părțile rămase ale lucrării ^{[ 1]} . Bernoulli face o demonstrație bazată pe a cincea carte a Elementelor lui Euclid ^[1] , dar André Weil crede că Bernoulli era conștient de faptul că inegalitatea avea sens chiar și în matematica financiară , în care se spune că împrumutul cu dobândă compusă este mai scump decât dobânda simplă ^[1]

Potrivit unui raport al lui Joseph E. Hofmann în articolul său despre Exercitatio Geometric Michelangelo Ricci ^[2], o declarație a inegalității se datorează lui René-François de Sluse care a expus în ediția 1668 a tratatului său despre mezolabiul Eratostenei , capitolul IV, intitulat De minimis maximis & ^[1] ^[3] .

Demonstrație

Dovadă prin inducție

Inegalitatea poate fi demonstrată pentru inducție .

Verificarea tezei este banală pentru n = 0. Să presupunem că este adevărat pentru n : pentru a completa inducția este necesar să se demonstreze că este adevărat și pentru n + 1. Înmulțit ambele părți cu (1 + x ), un factor care este întotdeauna mai mare decât 0 prin ipoteză, obținem:

(1+x)^{n+1}\geq (1+nx)(1+x)

{\ displaystyle (1 + x) ^ {n + 1} \ geq (1 + nx) (1 + x)}

{\ displaystyle (1 + x) ^ {n + 1} \ geq (1 + nx) (1 + x)}

(1+x)^{n+1}\geq 1+x+nx+nx^{2}

{\ displaystyle (1 + x) ^ {n + 1} \ geq 1 + x + nx + nx ^ {2}}

{\ displaystyle (1 + x) ^ {n + 1} \ geq 1 + x + nx + nx ^ {2}}

(1+x)^{n+1}\geq 1+(1+n)x+nx^{2}

{\ displaystyle (1 + x) ^ {n + 1} \ geq 1+ (1 + n) x + nx ^ {2}}

{\ displaystyle (1 + x) ^ {n + 1} \ geq 1+ (1 + n) x + nx ^ {2}}

Deoarece nx ² ≥ 0, omiterea acestui termen nu poate decât să întărească relația de inegalitate, atunci:

(1+x)^{n+1}\geq 1+(1+n)x+nx^{2}\geq 1+(1+n)x

{\ displaystyle (1 + x) ^ {n + 1} \ geq 1+ (1 + n) x + nx ^ {2} \ geq 1+ (1 + n) x}

{\ displaystyle (1 + x) ^ {n + 1} \ geq 1+ (1 + n) x + nx ^ {2} \ geq 1+ (1 + n) x}

QED

Dovadă cu dezvoltarea binomială

O versiune mai slabă, în care este doar presupusă $x\geq 0$ ${\ displaystyle x \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ geq 0}$ Poate fi derivat ca o consecință imediată a dezvoltării binomiale a primului membru

(1+x)^{n}=1+nx+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},

{\ displaystyle (1 + x) ^ {n} = 1 + nx + {n \ alege 2} x ^ {2} + \ cdots + {n \ alege n-1} x ^ {n-1} + {n \ alege n} x ^ {n},}

{\ displaystyle (1 + x) ^ {n} = 1 + nx + {n \ alege 2} x ^ {2} + \ cdots + {n \ alege n-1} x ^ {n-1} + {n \ alege n} x ^ {n},}

în care neglijează toți termenii care conțin puteri ale dezvoltării lui x a căror ordine este mai mare de 1 (presupunând n> 0, văzând că pentru n = 0 apare în mod direct).

Demonstrație de René-François de Sluse

Dovezi publicate de François-René de Sluse în 1668 , care sunt, de asemenea, limitate la întâmplare $x\geq 0$ ${\ displaystyle x \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ geq 0}$ . Aruncarea cazului banal $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ , vei avea ipoteza $x>0$ ${\ displaystyle x> 0}$ ${\ displaystyle x> 0}$ . Dovada de Sluse parte a unui lanț de n inegalități care, în notația modernă, este bine exprimată:

{\frac {1+nx}{1+(n-1)x}}<{\frac {1+(n-1)x}{1+(n-2)x}}<...<{\frac {1+2x}{1+x}}<{\frac {1+x}{1}}

{\ displaystyle {\ frac {1 + nx} {1+ (n-1) x}} <{\ frac {1+ (n-1) x} {1+ (n-2) x}} <.. . <{\ frac {1 + 2x} {1 + x}} <{\ frac {1 + x} {1}}}

{\ displaystyle {\ frac {1 + nx} {1+ (n-1) x}} <{\ frac {1+ (n-1) x} {1+ (n-2) x}} <.. . <{\ frac {1 + 2x} {1 + x}} <{\ frac {1 + x} {1}}}

Acestea sunt inegalități evidente: de fapt, începând de la dreapta, se adaugă aceeași cantitate pozitivă în fiecare etapă ( $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ) către numărător și numitor; în consecință, în fiecare etapă fracția scade rămânând mai mare de 1.

Înmulțind împreună cei n termeni ai lanțului și simplificând numeratorii și numitorii, obținem:

1+nx

{\ displaystyle 1 + nx}

{\ displaystyle 1 + nx}

Pe de altă parte, fiecare factor al înmulțirii este mai mic decât cel mai corect termen ( $1+x$ ${\ displaystyle 1 + x}$ ${\ displaystyle 1 + x}$ ). Prin urmare, rezultatul multiplicării este mai mic decât $(1+x)^{n}$ ${\ displaystyle (1 + x) ^ {n}}$ ${\ displaystyle (1 + x) ^ {n}}$ , de aici teza.

Generalizări

Dacă exponentul n este egal , inegalitatea este valabilă pentru orice număr real x. Dacă n ≥ 2 și x> -1 cu x ≠ 0, atunci este o inegalitate strictă:

(1+x)^{n}>1+nx

{\ displaystyle (1 + x) ^ {n}> 1 + nx}

{\ displaystyle (1 + x) ^ {n}> 1 + nx}

Există, de asemenea, versiuni mai puternice ale inegalității Bernoulli, de exemplu:

(1+x)^{n}\geq 1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}

{\ displaystyle (1 + x) ^ {n} \ geq 1 + nx + {\ frac {n (n-1)} {2}} x ^ {2}}

{\ displaystyle (1 + x) ^ {n} \ geq 1 + nx + {\ frac {n (n-1)} {2}} x ^ {2}}

pentru fiecare n și x ≥0 ≥0.

Inegalitatea poate fi, de asemenea, generalizată la orice exponent real r. De fapt, dacă x> -1, atunci

(1+x)^{r}\geq 1+rx

{\ displaystyle (1 + x) ^ {r} \ geq 1 + rx}

{\ displaystyle (1 + x) ^ {r} \ geq 1 + rx}

pentru r ≤ 0 sau r ≥ 1 și

(1+x)^{r}\leq 1+rx

{\ displaystyle (1 + x) ^ {r} \ leq 1 + rx}

{\ displaystyle (1 + x) ^ {r} \ leq 1 + rx}

pentru 0 ≤ r ≤ 1. Această generalizare poate fi demonstrată prin compararea derivatei . Chiar și în acest caz, este o inegalitate strictă dacă x ≠ 0 și r ≠ 0 și 1.

Inegalități conexe

Următoarea inegalitate oferă o supraestimare a puterii lea r 1 + x. Pentru fiecare număr real x și r> 0, adică

(1+x)^{r}<e^{rx},

{\ displaystyle (1 + x) ^ {r} <e ^ {rx},}

{\ displaystyle (1 + x) ^ {r} <e ^ {rx},}

unde e = 2,718 .... Este posibil să se demonstreze această inegalitate prin exploatarea faptului că (1 + 1 / k) ^k <e.

Notă

^ ^A ^b ^c ^d (EN) Prima utilizare a inegalității lui Bernoulli și a numelui său , pe Stack Exchange, History of Science and Mathematics. Adus la 10 mai 2016 .
^ (DE) Jos. E. Hofmann, Über die Exercitatio Geometric des MA Ricci , în Centaurus, vol. 9, 3 1963/1964, martie 1964, p. 177 DOI : 10.1111 / j.1600-0498.1964.tb00443.x , MR 161.779 .
^ (LA) René François-de Sluse , Caput IV, in Mesolabum, apud Guilielmum Henricum Streel, serenissimae its celsitudinis typographum, 1668.

Bibliografie

Paul Marcellini , Carlo Sbordone Mathematics One analysis, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2 , 1998. Paragrafele 11 și 31.

Elemente conexe

Jakob Bernoulli

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre inegalitatea lui Bernoulli

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[History-1] A ^b ^c ^d (EN) Prima utilizare a inegalității lui Bernoulli și a numelui său , pe Stack Exchange, History of Science and Mathematics. Adus la 10 mai 2016 .

[2] (DE) Jos. E. Hofmann, Über die Exercitatio Geometric des MA Ricci , în Centaurus, vol. 9, 3 1963/1964, martie 1964, p. 177 DOI : 10.1111 / j.1600-0498.1964.tb00443.x , MR 161.779 .

[3] (LA) René François-de Sluse , Caput IV, in Mesolabum, apud Guilielmum Henricum Streel, serenissimae its celsitudinis typographum, 1668.

[ 1]

[2],

[3]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy