Trivial (matematică)

Adjectivul banal este un termen metalingvistic folosit în limbajul matematic pentru a se referi la instanțe particulare de obiecte , structuri , soluții (cum ar fi grupuri , spații topologice , metrice etc.), care sunt prezentate cu caractere de complexitate foarte scăzută.

Obiecte și structuri banale

Termenul „trivial” (sau „trivial”, exprimat din termenul echivalent englezesc trivial ) este, de asemenea, utilizat cu referire la aspecte tehnice foarte simple, sau la dovezi minime sau la implicații simple care derivă, într-un mod evident și imediat, din definiții sau teoreme deja stabilite mai devreme.

Foarte des, obiectele marcate ca banale sunt cele mai greu de imaginat de o minte străină de gândirea matematică:

set gol : setul lipsit de orice element;
grup trivial : grupul care conține doar elementul unitar
inel trivial : este inelul definit pe un set compus dintr-un singur element, care trebuie să acționeze ca un element neutru pentru ambele operații definite de structură.

Adjectivul „banal” se referă, de asemenea, la soluțiile unei ecuații care au o formă foarte simplă, dar care nu pot fi reduse la tăcere din cauza unei nevoi complete a discursului. Aceste soluții se numesc soluții banale . De exemplu, putem considera ecuația diferențială liniară de ordinul întâi

y'=y

{\ displaystyle y '= y}

{\ displaystyle y '= y}

unde y = f ( x ) este o funcție a cărei derivată este y ′. Soluția banală este

y = 0, funcția zero

unde este o soluție non-banală

y ( x ) = e ^x , funcția exponențială în baza e .

La fel, matematicienii folosesc adesea adjectivul „trivial” în formularea teoremei sau a conjecturii . Ultima teoremă a lui Fermat , de exemplu, poate fi formulată afirmând că nu există soluții non-banale la ecuație $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ ${\ displaystyle a ^ {n} + b ^ {n} = c ^ {n}}$ $a ^ {n} + b ^ {n} = c ^ {n}$ când n este mai mare de 2. În mod clar, există întotdeauna o soluție la această identitate: de exemplu, $a=b=c=0$ ${\ displaystyle a = b = c = 0}$ ${\ displaystyle a = b = c = 0}$ este întotdeauna o soluție, pentru orice valoare de n ; în același mod, triada a = 1, b = 0, c = 1 este întotdeauna o soluție, indiferent de valoarea asumată de n . Dar astfel de soluții sunt evidente și neinteresante, câștigând pentru aceasta definiția „trivial”.

Trivia în raționamentul matematic

Atributul „banalității” în raționamentul matematic poate depinde în mare măsură de context.

Într-o dovadă matematică a analizei funcționale , de exemplu, se poate considera foarte bine că, având în vedere orice număr, există unul mai mare. În alte contexte, această proprietate nu poate fi luată ca atare, ci trebuie dovedită independent sau trebuie luată ca axiomă . În teoria numerelor reale , de exemplu, această proprietate este postulată de axioma lui Eudoxus și Arhimede , în timp ce în alte contexte, precum în teoria numerelor , poate fi o consecință a altor proprietăți: în cazul sistemului axiomatic al lui Peano , de exemplu, se deduce din faptul că fiecare număr întreg are un „succesor”, circumstanță care, la rândul său, este conținută într-o axiomă specifică.

Exemple în care apare atributul „trivial”

Bibliografie

«Banale» (semn. 1), Vocabulario Treccani online , Institutul Enciclopediei Italiene
(EN) Eric W. Weisstein, Trivial , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică