Numere pare și impare

În matematică , fiecare număr întreg este par sau impar: un număr este , chiar dacă acesta este un multiplu de 2 , altfel este ciudat. Exemple de numere pare sunt: −56, 0, 12, 28, 56, 388. Exemple de numere impare: −7, 19, 83, 95, 463, 1005, 32721.

Descriere

Setul de numere pare poate fi scris astfel:

Chiar

=2\mathbb {Z} =\{\ldots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\ldots \}

{\ displaystyle = 2 \ mathbb {Z} = \ {\ ldots, -6, -4, -2,0,2,4,6, \ ldots \}}

{\ displaystyle = 2 \ mathbb {Z} = \ {\ ldots, -6, -4, -2,0,2,4,6, \ ldots \}}

.

Setul de numere impare poate fi scris astfel:

Imagini

=2\mathbb {Z} +1=\{\ldots ,-5,-3,-1,1,3,5,\ldots \}

{\ displaystyle = 2 \ mathbb {Z} +1 = \ {\ ldots, -5, -3, -1,1,3,5, \ ldots \}}

{\ displaystyle = 2 \ mathbb {Z} +1 = \ {\ ldots, -5, -3, -1,1,3,5, \ ldots \}}

.

Caracterizarea unui întreg în raport cu a fi par sau impar se numește paritate . Este echivalent cu apartenența la una dintre cele două clase rămase modulo 2: [0] ₂ pentru numere întregi pare, [1] ₂ pentru cele impare.

Un număr exprimat cu sistemul de numerotare zecimal este impar sau par, în funcție de ultima sa cifră par sau impar. Adică, dacă ultima cifră este 1, 3, 5, 7 sau 9, este ciudat, altfel este par. Aceeași idee este valabilă dacă se folosește o bază uniformă. În special, un număr exprimat în sistemul de numerotare binar este impar dacă ultima cifră este 1 și chiar dacă ultima cifră este 0; un număr întreg exprimat în baza 4 este chiar dacă ultima sa cifră este 0 sau 2, este impar în caz contrar, adică dacă ultima sa cifră este 1 sau 3. În sistemele de numerotare impare, numărul este impar sau conform cu paritatea sumei cifrelor sale sau în funcție de rădăcina sa numerică .

Numerele pare formează un ideal în inelul numerelor întregi, în timp ce numerele impare nu formează nici un subgrup aditiv, nici, a fortiori, un ideal. Un număr întreg este chiar dacă este congruent cu 0 modulo ideal, cu alte cuvinte dacă este congruent cu 0 modulo 2 și impar dacă este congruent cu 1 modulo 2.

Toate numerele prime sunt impare cu o singură excepție: numărul prim 2. Toate numerele perfecte cunoscute sunt pare; nu se știe dacă există numere perfecte impare.

Conjectura lui Goldbach afirmă că orice număr par mai mare de 2 poate fi reprezentat ca o sumă de două numere prime. Calculele efectuate cu computere moderne au arătat că această presupunere este adevărată pentru numere întregi de cel puțin 4 × 10 ¹⁸ , ^[1], dar nu s-a găsit încă nicio dovadă matematică generală.

Aritmetica numerelor pare și impare

Următoarele legi pot fi testate folosind proprietățile de divizibilitate și faptul că 2 este un număr prim:

Adunare si scadere

even ± even = pare;

Dovadă: 2 n ± 2 m = 2 ( n ± m ) care este egal.

par ± impar = impar;

Dovadă: 2 n ± (2 m +1) = 2 ( n ± m ) + 1 care este impar.

impar ± impar = par.

Dovadă: (2 n +1) ± (2 m +1) = 2 ( n ± m ) + 2 = 2 ( n ± m + 1) care este egal.

impar ± par = impar.

Dovadă: vezi 2.

Multiplicare

even × even = pare;

Dovadă: 2 n × 2 m = 4 nm și fiind 4 multiplu de 2 atunci numărul este par.

par × impar = par;

Dovadă: 2 n × (2 m +1) = 4 nm + 2 n = 2 (2 nm + n ) deci rezultatul este egal.

impare × impara = impara;

Dovadă: (2 n +1) × (2 m +1) = 4 nm +2 n +2 m +1 = 2 (2 nm + n + m ) +1 formă de bază a unui număr impar.

Divizia

Împărțirea a două numere întregi nu duce neapărat la un număr întreg. De exemplu, 1 împărțit la 4 este egal cu 1/4, care nu este nici par, nici impar, deoarece conceptul de par sau impar se aplică numai numerelor întregi. Dar când rezultatul este un număr întreg:

par / impar = par;

Dovadă: Fie A orice număr par și B orice număr impar. Se spune că un număr este egal atunci când numărul 2 este prezent în factorizarea sa primă cu orice alt exponent decât 0. Prin urmare, dacă împărțim un număr par la un impar, factorul 2 nu va fi niciodată „afectat”. Apoi, rezultatul va fi din nou 2 înmulțit cu ceva care este forma de bază a unui număr par.

impare / impara = impara;

Dovadă: să fie ciudat A și B. Dacă în mod absurd C = A / B ar fi un număr par, atunci ar fi, de asemenea, adevărat că C * B = A și A ar fi un număr par (pentru dovada dată mai sus a înmulțirii dintre par și impar). Dar asta știm că nu poate fi pentru ipotezele inițiale, așa că avem un absurd.

par / par poate da un rezultat impar sau par.

Dovadă: 2 n / 2 m = n / m, care poate fi un rezultat par sau impar, în funcție de caz

impar / chiar nu dă niciodată un rezultat întreg.

Dovadă: (2 n +1) / 2 m = 2 n / 2 m + 1/2 m = n / m + 1/2 m . 2 m , cu m întreg, este cu siguranță mai mare decât 1. Prin urmare, fracția dă întotdeauna un rezultat între 0 și 1.

Notă

^ (EN) Tomás Oliveira și Silva, verificarea conjecturii Goldbach , pe ieeta.pt, 30 decembrie 2015.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikicitată conține citate sau despre paritate
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe paritate

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Tomás Oliveira și Silva, verificarea conjecturii Goldbach , pe ieeta.pt, 30 decembrie 2015.

[1],

V · D · M Teoria numerelor
Cele mai utilizate numere	Natural · Întreg · Par și impar
Principii generale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență
Secvențe de numere întregi	Factorial · Fibonacci · Număr de catalană · Număr Perrin · Număr de Euler · Secvență Mian-Chowla · Succesiunea lui Thue-Morse
Caracteristicile numerelor prime	Primul număr · lema lui Euclid · Teorema infinitate de numere prime · ciurul Eratostene · teste primality · Teorema fundamentală a aritmeticii · Total acoperire mine · Bézout Identitate · MCD · mcm · algoritmul lui Euclid · Teorema de Prime Numbers
Funcții aritmetice	Funcție multiplicativă · funcție aditivă · convoluție Dirichlet · funcția Euler Euler · funcția Möbius · funcția tau pe pozitiv · funcția sigmoidă · funcția Liouville · funcția Mertens
Aritmetica modulară	Teorema a restului chinez · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · Criterii de divizibilitate · teorema lui Fermat pe sume de două pătrate · Wilson Teorema · reciprocitatea pătratică
Conjecturi	Conjectura lui Goldbach · Conjectura Polignac · Guess abc · conjectura primelor gemene · Conjectura lui Legendre · Noua conjectură Mersenne · Conjectura Collatz · Ipoteza Riemann
Alte	Problema lui Waring
Principalii teoreticieni	Fibonacci · Fermat · Gauss · Euler · Legendre · Riemann · Dirichlet
Disciplinele conexe	Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor · Criptografie · Teoria computațională a numerelor