Relația de congruență

A se vedea congruența (geometria) pentru termenul folosit în geometria elementară.

În matematică și mai ales în algebră și geometrie , o relație de congruență , numită și simplu congruență , este o relație de echivalență compatibilă cu unele operații algebrice.

Aritmetica modulară

Același subiect în detaliu: aritmetica modulară .

Exemplul de bază este dat de aritmetica modulară: dacă n este un număr natural pozitiv, două numere întregi a și b se numesc modul congruent n dacă a - b este divizibil cu n ; sau, echivalent, dacă a și b împărțite la n dau același rest .

Se verifică cu ușurință că relația de congruență este reflexivă, simetrică și tranzitivă. Prin urmare, este o relație de echivalență . Această relație este compatibilă cu operațiile de adunare și produs între numere întregi: de exemplu, dacă $a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {n}}$ ${\ displaystyle a_ {1} \ equiv b_ {1} {\ pmod {n}}}$ $a_1 \ equiv b_1 \ pmod n$ Și $a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {n}}$ ${\ displaystyle a_ {2} \ equiv b_ {2} {\ pmod {n}}}$ $a_2 \ equiv b_2 \ pmod n$ , asa de $a_{1}+a_{2}\equiv b_{1}+b_{2}{\pmod {n}}$ ${\ displaystyle a_ {1} + a_ {2} \ equiv b_ {1} + b_ {2} {\ pmod {n}}}$ $a_1 + a_2 \ equiv b_1 + b_2 \ pmod n$ Și $a_{1}a_{2}\equiv b_{1}b_{2}{\pmod {n}}$ ${\ displaystyle a_ {1} a_ {2} \ equiv b_ {1} b_ {2} {\ pmod {n}}}$ $a_1a_2 \ equiv b_1b_2 \ pmod n$ .

Algebră liniară

Același subiect în detaliu: Congruența matricei .

Două matrice pătrate $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , la valorile dintr-un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , sunt congruente dacă există o matrice inversabilă $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ astfel încât

P^{T}AP=B

{\ displaystyle P ^ {T} AP = B}

P ^ T A P = B

unde este $P^{T}$ ${\ displaystyle P ^ {T}}$ $P ^ T$ este matricea transpusă a $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

Relația de congruență este de obicei studiată între matrici simetrice , deoarece două astfel de matrice sunt congruente dacă și numai dacă reprezintă același produs scalar pe baze diferite.

În cazul în care câmpul $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ indiferent dacă este câmpul numerelor reale sau complexe , teorema lui Sylvester oferă o invariantă completă (numită semnătură ) care caracterizează complet clasele de echivalență ale matricilor simetrice congruente.

De sine $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este câmpul numerelor complexe, este posibil să se definească o noțiune ușor diferită de congruență: conform acestei definiții, două matrice sunt congruente dacă există o $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ inversabil cu

{\bar {P}}^{T}AP=B

{\ displaystyle {\ bar {P}} ^ {T} AP = B}

\ bar P ^ T A P = B

unde este ${\bar {P}}^{T}$ ${\ displaystyle {\ bar {P}} ^ {T}}$ $\ bar P ^ T$ este matricea de transpunere conjugată a $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Această definiție este utilă pentru matricile hermitiene : în acest context, două matrice hermitiene sunt congruente reprezentând aceeași formă hermitiană pe baze diferite.

Algebră universală

Ideea este generalizată în algebra universală : o relație de congruență pe o algebră A este un subset al produsului direct A × A astfel încât este o relație de echivalență pe A și o subalgebră a lui A × A.

Congruentelor apar de obicei ca nuclee de morfisme , și , de fapt , fiecare congruență este nucleul unor homomorfism: Pentru un anumit congruență ~ pe A, setul A / ~ din clasele de echivalență poate fi, având în vedere structura unei algebra, câtul algebra . Mai mult, funcția care asociază fiecare element al lui A cu clasa sa de echivalență este un homomorfism, iar miezul acestui homomorfism este ~.

Teoria grupului

În cazul particular al grupurilor , relațiile de congruență pot fi descrise în termeni elementari: Dacă G este un grup (cu element neutru e ) și ~ este o relație binară pe G , atunci ~ este o congruență dacă:

Dat fiind un element generic a lui G , a ~ a ;
Având în vedere elementele generice a și b ale lui G , dacă a ~ b , atunci b ~ a ;
Având în vedere elementele generice a , b și c ale lui G , dacă a ~ b și b ~ c , atunci a ~ c ;
Având în vedere elementele generice a și a 'din G , dacă a ~ a ', atunci a ⁻¹ ~ a ' ⁻¹ ;
Având în vedere elementele generice a , a ', b și b ' ale lui G , dacă a ~ a 'și b ~ b ', atunci a * b ~ a '* b '.

Această congruență este determinată în întregime de mulțimea { a ∈ G : a ~ e } a elementelor lui G congruente cu elementul neutru, iar această mulțime este un subgrup normal . În special, a ~ b dacă și numai dacă b ⁻¹ * a ~ e . Prin urmare, în loc să vorbim despre congruențe pe grupuri, vorbim în termeni de subgrupuri normale; de fapt, fiecare congruență corespunde în mod unic unui anumit subgrup normal de G. Acest lucru face posibilă vorbirea despre nuclee în teoria grupurilor ca subgrupuri, în timp ce în algebra universală mai generală, nucleele sunt congruențe.

Teoria inelului

Un truc similar ne permite să vorbim despre nuclee în teoria inelului ca idealuri în loc de relații de congruență, iar în teoria modulelor ca submoduli în loc de relații de congruență.

Caz general pentru nuclee

Cea mai generală situație în care acest truc este posibil este în algebre de sprijin ideale . Dar acest lucru nu este posibil cu monoizii , de exemplu, astfel încât studiul relațiilor de congruență joacă un rol mai central în teoria monoidelor.

Bibliografie

( EN ) Horn și Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 . (Secțiunea 4.5 tratează congruența matricelor.)

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică