Algebră universală

Algebra universală este domeniul matematicii care studiază ideile comune tuturor structurilor algebrice . Se leagă de diferite subiecte din secțiunea 08-XX a schemei de clasificare MSC2000 .

Idei de bază

Din punctul de vedere al algebrei universale, o 'algebră (sau algebră abstractă) este un set A echipat cu un set de operații pe A. A 'Fără operație - aerul pe A este o funcție care acceptă n elemente din A și returnează un singur element din A. Astfel, o operațiune 0 aer (sau nullary operație) este pur și simplu un element al A, sau o constantă , adesea menționată ca o literă. O operație 1-air (sau operație unitară ) este pur și simplu o funcție de la A la A, adesea notată printr-un simbol plasat în fața argumentului său, ca ~ x. 2 O operațiune-aer (sau operație binară ) este adesea denumită un loc simbol în mijlocul argumentelor sale, cum ar fi x * y. Operațiile de aritate superioară sau nedeterminată sunt de obicei indicate prin simboluri funcționale, cu materiile între paranteze și separate prin virgule, cum ar fi f (x, y, z) sau f (x _1, ..., x _n). În unele cazuri, ele admit operații infinitare , cum ar fi $\bigwedge _{\alpha }x_{\alpha }$ ${\ displaystyle \ bigwedge _ {\ alpha} x _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ bigwedge _ {\ alpha} x _ {\ alpha}}$ , Permițând studierea teoriei rețelelor complete .

Când operațiile au fost specificate, natura algebrei poate fi limitată în continuare de axiome , iar algebra universală trebuie să ia forma unor ecuații. Un exemplu este axioma asociativă pentru o operație binară, dată de ecuația x * (y * z) = (x * y) * z. Axioma este considerată valabilă pentru toate elementele x, y și z setul A.

Potrivit lui Yde Venema, „algebra universală poate fi privită ca o ramură specială a teoriei modelelor , în care ne ocupăm de structuri care au doar operații (adică nu relații) și în care limbajul pe care îl folosim pentru a vorbi despre aceste structuri folosește doar ecuații. . " Cu alte cuvinte, structurile sunt astfel care pot fi definite în fiecare categorie cu un produs finit.

Grupuri

Pentru a vedea cum funcționează acest lucru, luați în considerare definiția unui grup . În mod normal, un grup este definit în termenii unei singure operații binare *, sub rezerva următoarelor axiome:

Asociativitate : x * (y * z) = (x * y) * z.
Element de identitate : Există un element și astfel încât e * x = x = x * e.
Element invers : Pentru fiecare x, există un element i astfel încât x * i = e = i * x.

(Uneori poate fi întâlnită o axiomă numită „închidere”, care afirmă: x * y aparține mulțimii A dacă x și y îi aparțin. Dar din punctul de vedere al algebrei universale, acest lucru este deja implicat atunci când se definește * a ' operație binară.)

Acum această definiție a unui grup este problematică din punctul de vedere al algebrei universale. Motivul este că axioma elementului identitar și inversul nu sunt exprimate pur în termeni de ecuații, ci implică sintagma „există ... astfel încât”. Acest „nu este permis” în algebra universală. Soluția nu este dificilă: adaugă o operație și nulă și o operație unară ~, în plus operație binară *, iar apoi rescrieți axiomele după cum urmează:

Asociativitate: x * (y * z) = (x * y) * z.
Element de identitate: e * x = x = x * e.
Element invers: x * (~ x) = e = (~ x) * x.

(Desigur, scriem „x ^-1” în loc de „~ x”, care arată cum se poate schimba notația arității operațiilor scăzute.)

acum, trebuie să verificați dacă toate acestea surprind definiția grupului. De fapt, poate fi necesar să specificați mai multe informații decât definiția obișnuită a unui grup. La urma urmei, nimic din definiția grupului nu afirmă că elementul identitate și este unic; dacă există un alt element e ', atunci valoarea operatorului este nulă și este ambiguă. Cu toate acestea, aceasta nu este o problemă, deoarece elementele de identitate sunt întotdeauna unice. Prin urmare, definiția de grup a algebrei universale este echivalentă cu definiția obișnuită.

Formulare

Același subiect în detaliu: Formă (algebră) .

Alte probleme

Odată definite operațiile și axiomele pentru algebră, este posibil să se definească noțiunea de omomorfism între două algebre A și B. Un omomorfism h: A → B este pur și simplu o funcție din setul A set B astfel încât, pentru fiecare operație f (aritate, să zicem, n), h (f _A (x _1, ..., x _n) ) = f _B (h (x _1), ... h (x _n)). (Au fost folosite aici pentru a indica diferite indexuri f ale diferitelor versiuni ale lui f în A sau B în. În practică este clar din context, deci de obicei, indexurile sunt omise). De exemplu, dacă c este o constantă (operația nulă), atunci h (și _A) și _B =. Dacă ~ este o operație unară, atunci h (x) = ~ h (x). Dacă * este o operație binară, atunci h (x * y) = h (x) * h (y). Si asa mai departe. Vezi și omomorfism .

Numărul rezultatelor algebrei universale este foarte mare. Motivația pentru câmp sunt numeroase exemple de algebre (în sensul algebrei universale), ca monoizi , inele și grile . Înainte de venirea algebrei universale, multe teoreme (în special teoremele izomorfismului) au fost dovedite separat în fiecare dintre aceste domenii, dar cu algebră universală, ele pot fi dovedite odată pentru totdeauna în orice fel de sistem algebric.

Un program mai general de-a lungul acestei linii este urmărit de teoria categoriilor . Teoria categoriilor se aplică în multe situații în care algebra universală nu se aplică, extinzând sfera teoremelor. Dimpotrivă, unele teoreme care sunt valabile în algebra universală nu sunt generalizate în niciun fel în teoria categoriilor. Deci ambele câmpuri sunt utile. Conexiunea este că, date fiind o listă de operații și axiome, algebrele și homomorfismele corespunzătoare sunt obiecte și morfisme ale unei categorii.

Bibliografie

Paul Moritz Cohn (1971): Universal Algebra, Feltrinelli
J. Levy Bruhl (1968): Introducere aux structures algebriques, Dunod
Graetzer G. (1979): Algebra universală, a doua. ediție, Springer
SN Burris, HP Sankappanavar (1981): Un curs în algebră universală, Springer. Acum, de asemenea, disponibil gratuit online
Bergman, George M.: O invitație la algebră generală și construcții universale (Henry Helson, 15 Crescent, Berkeley CA, 94708), 1998, 398 pp. ISBN 0-9655211-4-1 .

linkuri externe

(EN) A Course in Universal Algebra este o carte online gratuită de Stanley N. Burris și HP Sankappanavar

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85003433

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică