Paritate zero

Ambele plăci ale acestei scări conțin 0 obiecte, împărțite în două seturi egale.

Paritatea zero este o noțiune matematică caracterizată, în ciuda simplității sale, de o conștientizare limitată în populația societăților occidentale, datorită părtinirii cognitive și adesea neînțelegerilor conceptului în calea educației școlare inferioare. De fapt, zero este un număr egal în măsura în care îndeplinește definiția în mod trivial, fiind un număr întreg multiplu de 2 dat de faptul că 0 × 2 = 0. Cu toate acestea, un procent semnificativ de elevi, profesori și adulți alimentează concepții greșite cu privire la subiect și printre cele mai frecvente este ideea că zero nu este nici par, nici impar.

Regulile de paritate ale aritmeticii (cum ar fi even - even = even) necesită ca 0 să fie egal. 0 este elementul neutru aditiv al setului de numere întregi pare și este elementul pornind de la care toate celelalte numere pare naturale sunt definite recursiv. Unele aplicații ale acestei recursiuni, utilizate de teoria graficelor la geometria de calcul , se bazează pe faptul că 0 este egal. Pe lângă faptul că este divizibil cu 2, 0 este divizibil cu orice număr întreg pozitiv. În sistemul de numere binare utilizat de computere, este deosebit de important ca 0 să fie divizibil cu orice putere de 2 : în acest sens, 0 este numărul „cel mai egal” dintre toate.

În rândul publicului larg, paritatea 0 poate fi confuză, de obicei datorită educației matematice suboptime. În experimentele în timp de reacție , majoritatea oamenilor identifică mai lent 0 ca fiind par decât 2, 4, 6 sau 8. Unii studenți la matematică (și, uneori, chiar și unii profesori) cred că 0 este impar, sau ambii par și ciudat, sau nici unul. Cercetătorii în educația matematică propun utilizarea acestor concepții greșite ca oportunități de învățare. Studierea egalităților cum ar fi 0 × 2 = 0 poate face îndoielile elevilor vizibile în apelarea unui număr 0 și utilizarea acestuia în aritmetică . Discutarea acesteia în clasă îi poate determina pe elevi să aprecieze principiile fundamentale ale raționamentului matematic, precum importanța definițiilor. Evaluarea parității acestui număr special este unul dintre primele exemple ale unei teme foarte importante în matematică: abstractizarea unui concept familiar într-un mediu necunoscut.

Pentru că zero este egal

Definiția tradițională a „numărului par” poate fi utilizată pentru a demonstra direct că 0 este par. Un număr este numit „chiar” dacă este un multiplu întreg de 2. De exemplu, motivul 10 este egal este că este egal cu 5 × 2. În mod similar, 0 este un multiplu întreg de 2, în mod specific 0 × 2 = 0, deci 0 este egal. ^[1]

De asemenea, este posibil să se explice de ce 0 este chiar fără referire la definiții formale. ^[2] Următoarele explicații ilustrează ideea că 0 este egal în termeni de concepte numerice fundamentale. Din această bază, se poate oferi raționamentul definiției în sine și aplicabilitatea acesteia la 0.

Explicații de bază

În stânga, cutii cu 0, 2 și 4 obiecte albe în perechi; în dreapta, 1, 3 și 5 obiecte, cu obiectele de neegalat în roșu. Cutia cu 0 articole nu are articole roșii de neegalat. ^[3]

Zero este un număr, iar numerele sunt folosite pentru a număra. Având în vedere un set de obiecte, un număr este utilizat pentru a indica câte obiecte există. Zero este numărul de obiecte , în termeni mai formali, este numărul de obiecte prezente într-un set gol . Conceptul de paritate este folosit pentru a face grupuri de două obiecte. Dacă obiectele dintr-un set pot fi împărțite în grupuri de două, fără a rămâne obiecte, atunci numărul inițial de obiecte este egal. Dacă rămâne un obiect, atunci numărul de obiecte este impar. Setul gol conține zero grupuri de două și nu rămân obiecte în afara acestei grupări, deci zero este egal. ^[4]

Aceste idei pot fi ilustrate prin desenarea obiectelor în perechi. Este dificil să descrieți zero grupuri de două sau să evidențiați inexistența unui obiect rămas, deci este util să desenați alte grupuri și să le comparați cu zero. De exemplu, într-un grup de cinci obiecte, există două perechi. Mai important, există un obiect rezidual, deci 5 este ciudat. În grupul celor patru articole, nu există niciun articol inteligent, deci 4 este egal. În grupul de articole unice, nu există perechi și există un articol inteligent, prin urmare 1 este ciudat. În grupul de 0 obiecte, nu există un obiect inteligent, deci 0 este egal. ^[5]

Există o altă definiție concretă a numărului par: dacă obiectele dintr-un set pot fi împărțite în două grupuri de dimensiuni egale, atunci numărul obiectelor este par. Această definiție este echivalentă cu prima. De asemenea, în acest caz, 0 este egal deoarece setul gol poate fi împărțit în două grupuri de elemente ambele conținând 0 elemente și, prin urmare, egale între ele (0/2 = 0/2 = 0).

Numerele pot fi, de asemenea, afișate ca puncte pe linia numerică . Când numerele pare și impare sunt reprezentate în moduri diferite, următorul model devine evident, mai ales dacă sunt incluse și numerele negative:

Numerele pare alternează cu numerele impare. Începând cu orice număr par, numărarea în sus sau în jos două câte două va avea ca rezultat un alt număr par și nu există niciun motiv pentru a omite zero. ^[6]

Odată cu introducerea multiplicării , paritatea poate fi abordată mai formal folosind expresii aritmetice. Fiecare număr întreg este rezultatul uneia dintre următoarele formule:

(2 × n ) + 0

(2 × n ) + 1

Numerele exprimate de prima formulă sunt pare, cele exprimate de a doua sunt impare. De exemplu, 1 este ciudat deoarece:

1 = (2 × 0) + 1

și 0 este egal pentru că:

0 = (2 × 0) + 0

Realizarea unui tabel cu aceste rezultate întărește imaginea liniei numerice de mai sus. ^[7]

Definiția pair number

Definiția precisă a unui termen matematic, cum ar fi „chiar” care înseamnă „multiplu întreg de doi”, este în cele din urmă o convenție. Spre deosebire de „chiar”, unii termeni matematici sunt construiți în mod intenționat, excluzând cazurile banale sau degenerate. Numerele prime sunt un exemplu bine cunoscut. Înainte de secolul al XX-lea, definiția primalității era diferită și matematicieni proeminenți precum Goldbach , Lambert , Legendre , Cayley și Kronecker scriau că 1 este un număr prim. Definiția modernă a unui număr prim este un număr întreg pozitiv cu exact 2 divizori , deci 1 nu este prim. Această definiție este preferată astăzi, deoarece se potrivește mai natural teoremelor matematice referitoare la numerele prime. De exemplu, teorema fundamentală a aritmeticii este mai ușor de afirmat dacă 1 nu este considerat prim. ^[8]

Ar fi posibil să se redefinească termenul „par” astfel încât să nu mai includă 0. Cu toate acestea, în acest caz, noua definiție ar face mai dificilă formularea teoremelor privind numerele pare. Efectul poate fi observat cu ușurință în regulile algebrice ale numerelor pare și impare . ^[9] Cele mai importante reguli se referă la adunare , scădere , multiplicare :

even ± even = pare;

impar ± impar = par;

pare × întreg = pare.

Prin inserarea valorilor adecvate în membrii stângi ai acestor egalități, se pot produce 0 în membrii dreapta:

2 - 2 = 0;

-3 + 3 = 0;

4 × 0 = 0.

Prin urmare, regulile de mai sus ar fi greșite dacă 0 nu ar fi egal. ^[9] În cel mai bun caz, aceste reguli ar trebui modificate. De exemplu, un text de studiu test afirmă că numerele pare sunt „multipli întregi de doi”, dar afirmă, de asemenea, că zero nu este „nici par, nici impar”. ^[10] În consecință, regulile textului pentru numerele impare și pare conțin excepții:

• par ± par = par (sau zero);
• impar ± impar = par (sau zero);
• par × întreg (diferit de zero) = par. ^[10]

A face o excepție pentru zero în definiția numerelor pare te obligă să faci excepții în toate regulile care implică numere pare. Dintr-o altă perspectivă, luarea regulilor respectate de numerele pare pozitive și necesitatea ca acestea să funcționeze în continuare pentru toate numerele întregi duce la concluzia că zero trebuie să fie egal. ^[9]

Contextele matematice

Nenumărate rezultate în teoria numerelor invocă teorema fundamentală a aritmeticii și proprietățile algebrice ale numerelor pare , astfel încât alegerea definiției numerelor pare are consecințe de anvergură. De exemplu, faptul că numerele pozitive au o factorizare unică înseamnă că se poate determina dacă un număr are un număr impar sau par de factori primi distincti. Deoarece 1 nu este nici prim și nici nu are factori primi, este un produs de 0 factori primi distincti, deoarece 0 este un număr par, 1 are un număr par de factori primi distincti. Aceasta implică faptul că funcția Möbius preia valoarea μ (1) = 1, care este necesară pentru a fi o funcție multiplicativă și pentru ca formula de inversare Möbius să funcționeze. ^[11]

Zero nu este ciudat

Un număr n este impar dacă există un număr întreg k astfel încât n = 2k + 1 . O modalitate de a demonstra că 0 este par este prin absurditate : să presupunem că 0 este ciudat. În acest caz, pentru proprietatea menționată recent, există un număr întreg k astfel încât 0 = 2k + 1 . Dar singura soluție reală a acestei ecuații este k = -1/2 care nu este întreg. Contradicţie. Deci 0 nu este ciudat.

Deci, dacă demonstrați că un număr este impar, acesta va fi în mod necesar diferit de 0. Această observație aparent banală oferă o modalitate excelentă de a demonstra că un număr este diferit de 0.

Teoria graficelor

Un rezultat clasic al teoriei graficelor afirmă că un grafic de ordin impar are întotdeauna cel puțin un vârf par (ordinea unui grafic este numărul vârfurilor sale). (Această afirmație necesită deja faptul că zero este egal: graficul gol are ordine pare și un vârf izolat este par.) ^[12] Pentru a demonstra afirmația, se demonstrează o afirmație mai puternică care este mai ușor de demonstrat: orice grafic de ordine impar are un număr impar de vârfuri pare. Această ultimă afirmație este explicată printr-o afirmație și mai generală, cunoscută sub numele de lema strângerii de mână: orice grafic are un număr par de vârfuri de grad impar. ^[13] În cele din urmă, numărul par de vârfuri impare se explică în mod natural prin formula sumei de grade .

Lema lui Sperner este o aplicație mai avansată a aceleiași strategii. Lema afirmă că un anumit tip de colorare pe o triangulație a unui simplex are un sub-complex care conține toate culorile colorării. Mai degrabă decât să construim un astfel de simplex direct, este mai convenabil să demonstrăm că există un număr impar de astfel de sub-complexe printr-un proces de inducție . O formulare mai puternică a lemei explică de ce acest număr este impar: scade în mod natural ca ( n + 1) + n dacă luăm în considerare cele două orientări posibile ale unui simplex.

Construirea unei bipartiții

O altă utilizare a proprietății lui 0 de a fi egal în teoria graficelor este următoarea. Un grafic bipartit este un grafic ale cărui vârfuri sunt împărțite în două culori, astfel încât vârfurile adiacente să aibă culori diferite. Dacă un grafic conectat nu are cicluri impare, atunci este posibil să se construiască o bipartiție prin alegerea unui vârf de bază v și colorarea fiecărui vârf negru sau alb în funcție de distanța sa de v este pară sau impar. Deoarece distanța lui v de la sine este 0 și 0 este uniformă, vârful de bază este colorat diferit de vârfurile adiacente acestuia, adică cele care se află la o distanță de 1. ^[14]

Alternanță între par și impar

Definiție recursivă a parității numerelor naturale

Faptul că 0 este par, împreună cu faptul că numerele pare și impare alternează, este suficient pentru a determina paritatea oricărui alt număr natural. Această idee poate fi formalizată într-o definiție recursivă a setului de numere pare naturale:

• 0 este egal;
• ( n + 1) este chiar dacă și numai dacă n nu este par.

Această definiție are avantajul conceptual că se bazează doar pe axiomele minime ale numerelor naturale : existența lui 0 și existența succesorului unui număr. Prin urmare, este util pentru implementarea sistemelor de calcul logice, cum ar fi LF și Prover teorema Isabelle . ^[15] Cu această definiție, paritatea lui 0 nu este o teoremă, ci o axiomă . De fapt, „0 este un număr par” poate fi interpretat ca una dintre axiomele lui Peano , din care toate celelalte numere pare naturale sunt un model. ^[16] O construcție similară extinde definiția parității la ordinalii transfiniti : fiecare ordinal limitativ este par, inclusiv 0, iar succesorii ordinaliilor limitativi sunt impari. ^[17]

Geometrie de calcul

Punctul de testare din poligon

Testul clasic al punctului de poligon al geometriei de calcul folosește ideile anterioare. Pentru a determina dacă un punct se află într- un poligon , luați în considerare o rază de la punct la infinit și numărați de câte ori raza intersectează marginea poligonului. Numărul de intersecții este chiar dacă și numai dacă punctul se află în afara poligonului. Acest algoritm funcționează deoarece dacă raza nu traversează niciodată poligonul, atunci numărul de intersecții este 0, care este par, iar punctul este în afara. De fiecare dată când raza traversează poligonul, numărul de intersecții alternează între par și impar și punctul dintre interior și exterior. ^[18]

Algebra abstractă

2 Z (albastru) ca subgrup al lui Z

În algebra abstractă , numerele întregi formează diverse structuri algebrice care necesită includerea lui 0. Faptul că identitatea aditivă (0) este pare, împreună cu paritatea sumelor, a inversului aditiv al numerelor pare și adunarea asociativității , implică faptul că și întregii formează un grup . Mai mult decât atât, grupul de numere întregi cu privire la adunare este un subgrup al grupului tuturor numerelor întregi (acesta este un exemplu elementar al conceptului de subgrup). Observația anterioară conform căreia regula „even - even = even” forțează 0 să fie uniform este un comportament general: orice subset ne- gol al unui grup aditiv care este închis în raport cu scăderea trebuie să fie un subgrup și, în special, trebuie să conțină identitate . ^[19]

Deoarece numerele întregi formează un subgrup al numerelor întregi, ele împart numerele întregi în clase laterale . Aceste clase laterale pot fi descrise ca clase de echivalență ale următoarei relații de echivalență : x ~ y dacă ( x - y ) este par. Aici proprietatea lui 0 de a fi chiar se manifestă direct ca reflexivitatea relației binare ~. ^[20] Există doar două clase laterale ale acestui subgrup (numerele pare și numerele impare), deci are indicele 2.

În mod similar, grupul alternativ este un subgrup al indexului 2 al grupului simetric pe n obiecte. Elementele grupului alternativ, numite permutări pare , sunt produsele unui număr par de transpuneri . Funcția de identitate , care este un produs gol al transpunerilor, este o permutare uniformă, deoarece 0 este egal și este elementul neutru al grupului. ^[21]

Regula „par × întreg = pare” înseamnă că numerele pare formează un ideal în inelul numerelor întregi și relația de echivalență anterioară poate fi descrisă ca un modulo de echivalență a acestui ideal. În special, chiar numerele întregi sunt exact acele întregi k cu k ≡ 0 (mod 2). Această formulare este utilă pentru găsirea rădăcinilor întregi ale unui polinom . ^[22]

Ordinea 2-adic

Se poate stabili că unii multipli de 2 sunt „mai egali” decât alții în sensul următor. Un număr întreg este mai egal decât altul dacă este împărțit la o putere de 2 mai mare. De exemplu, multiplii de 4 sunt dublu egali, deoarece pot fi împărțiți la 2 de două ori și sunt „mai egali” decât cei care pot fi împărțiți la 2 o singură dată. Avem că 0 nu este doar divizibil cu 4, ci este singurul număr care poate fi divizibil cu orice putere de 2 , depășind astfel toate celelalte numere prin „a fi par”. ^[23]

O consecință a acestui fapt apare în " sortarea biți inversă de tipul de date întreg utilizat de unii algoritmi de calculator, cum ar fi transformata Fourier rapidă a Cooley-Tukey . Această ordonare are proprietatea că cu cât primul 1 care apare este mai mult la stânga în expansiunea binară a unui număr, adică, cu cât este mai mare de două ori divizibil cu 2, cu atât mai repede va apărea acel număr. Deoarece inversarea biților de la 0 este întotdeauna 0, poate fi împărțită la 2 de câte ori și expansiunea sa binară nu conține 1, deci este întotdeauna prima. ^[24]

Deși 0 este divizibil de 2 ori mai mult decât orice alt număr, nu este simplu să cuantificăm exact de câte ori este. Pentru orice număr întreg n -zero, definim ordinea 2-adic sau 2-ordinea lui n, deoarece numărul de ori n este divizibil cu 2. Această descriere nu funcționează pentru 0, indiferent de câte ori este divizat 0 la 2, va fi încă divizibil cu 2 încă o dată. Convenția utilizată este de a seta ordinea 2 a lui 0 egal cu infinitul în acest caz particular. ^[25] Această convenție nu este limitată la cazul 2-adic, ci este o axiomă a evaluării aditive în algebra abstractă . ^[26]

Puterile lui 2, adică 1, 2, 4, 8, ..., formează o succesiune simplă de numere cu ordinea 2 crescătoare. În setul de numere 2-adice, această secvență converge , de fapt, la 0. ^[27]

Educaţie

Statistici procentuale în timp ale unui sondaj privind paritatea zero ^[28]

Conceptul de paritate zero este adesea tratat în primii doi sau trei ani de învățământ primar , în timp ce se introduce conceptul de numere pare sau pare. ^[29]

Cunoașterea studenților

Graficul din dreapta ^[28] descrie convingerile copiilor despre paritatea zero pe măsură ce progresează din primul până în al șaselea an al sistemului de învățământ englez (cu vârste cuprinse între 5 și 10 ani). Datele provin de la Len Frobisher , care a efectuat două sondaje la elevii englezi. Frobisher a fost interesat de modul în care cunoașterea parității cifrelor se traduce prin cunoașterea parității unui număr format din mai multe cifre și zero a fost importantă în rezultate (dacă un număr se termină cu 0,2,4,6,8 atunci este egal) . ^[30]

Într-un sondaj preliminar efectuat la aproximativ 400 de copii de șapte ani, 45% au spus că zero este egal. ^[31] Cercetările ulterioare au oferit mai multe opțiuni:

• Chiar
• Imagini
• Atât pare, cât și ciudat
• Nici
• nu stiu
• Nici un răspuns

A doua oară numărul copiilor din aceeași grupă de vârstă care au răspuns că zero este egal a scăzut la 32%. ^[32] Procentul răspunsurilor corecte pentru a decide dacă zero este egal crește inițial și apoi rămâne stabil în jur de 50% între 7 și 10 ani. ^{[33] Prin} comparație, cel mai ușor exercițiu de identificare a parității dintr-o singură cifră a avut o rată de succes de aproximativ 85%. ^[34]

În interviuri, Frobisher a stimulat raționamentul elevilor. Un elev din anul 5 (9 ani) a decis că 0 este egal pentru că era în tabelul de 2 ani. Un student din anul 4 (8 ani) a realizat că 0 poate fi împărțit în mod egal. Un alt elev din anul IV a motivat paritatea lui 0 spunând „1 este ciudat și dacă cobor [0] este par”. ^[35] Într-un alt studiu Annie Keth a observat o clasă de 15 elevi din anul 2 în care elevii s-au convins reciproc că 0 este un număr par bazat pe alternarea impar și pare și pe posibilitatea de a împărți în două părți egale un set de zero lucruri . ^[36]

Concepții greșite ale elevilor despre paritatea zero

De asemenea, interviurile au dezvăluit concepțiile greșite din spatele răspunsurilor incorecte. Un elev de doi ani a fost „convins” că zero este ciudat, pe motiv că „este primul număr de la care începi să numeri”. ^[37] Un student din anul 4 a menționat zero ca fiind nimic și a crezut că nu este nici ciudat și nici egal, deoarece nu este un număr. ^[38]

Investigații suplimentare

O cercetare mai aprofundată a fost efectuată de Esther Levenson, Pessia Tsamir și Dina Tirosh, care au intervievat 2 elevi din clasa a VI-a (clasa a șasea) care se descurcau foarte bine la orele lor de matematică. Un student a preferat să folosească teoria pentru a demonstra afirmații matematice, în timp ce celălalt a preferat să folosească exemple practice. Ambii studenți au crezut inițial că 0 nu este nici par, nici ciudat din diferite motive. Levenson și colab. au arătat cum raționamentul elevilor reflecta conceptele lor de zero și diviziune. ^[40]

Deborah Loewenberg Ball a analizat ideile unor elevi din anul 3 (vârsta de 8 ani) despre numere pare, numere impare și 0 despre care tocmai au discutat cu un grup de studenți din anul 4 (9 ani). Elevii au discutat despre paritatea zero, proprietățile numerelor pare și despre modul în care se fac matematica. Problema zero a luat diferite forme, după cum se poate vedea în lista din dreapta. ^[39] Ball și ceilalți colegi ai săi au susținut că acest episod a demonstrat cum elevii pot „face matematică la școală”, spre deosebire de reducerea comună a disciplinei la rezolvarea mecanică a exercițiilor.

Una dintre cele mai abordate probleme din literatura de cercetare este dezacordul dintre imaginile conceptuale ale egalității și definițiile conceptului acestora. ^[41] Levenson și colab., Elevii din clasa a șasea au definit numerele pare ca „multipli de 2 sau numere divizibile cu 2”, dar nu au putut aplica această definiție la 0 deoarece nu erau siguri cum să înmulțească sau să împartă 0 la două. În cele din urmă, cercetătorul i-a condus la concluzia 0, chiar și studenții au urmat căi diferite pentru a ajunge la această concluzie:

• au desenat o combinație de imagini;
• au folosit definiții;
• au folosit explicații practice;
• au folosit explicații teoretice.

Într-un alt studiu, David Dickerson și Damien Pitman au examinat utilizarea definițiilor de către cinci studenți în matematică. Ei au descoperit că studenții au fost în mare măsură în măsură să aplice definiția „chiar” la 0, dar încă nu au fost convinși de acest raționament, deoarece acesta intra în conflict cu imaginile lor conceptuale.

Cunoașterea profesorilor

Cercetătorii în educație matematică de la Universitatea din Michigan au inclus în sondajul lor un adevărat test fals cu următoarea întrebare „Este 0 un număr par?” într-o bază de date de peste 250 de întrebări concepute pentru a măsura cunoștințele profesorilor cu privire la conținut. Pentru ei întrebarea a reprezentat „cunoștințe generale ... pe care orice adult educat ar trebui să le aibă”; ei au considerat, de asemenea, întrebarea lor „neutră din punct de vedere ideologic”, deoarece răspunsul acesteia nu ar varia între matematica predată în mod tradițional și matematica predată cu metode inovatoare. Într-un studiu realizat din 2000 până în 2004 pe un eșantion de 700 de profesori de școală elementară din Statele Unite, performanța generală la aceste întrebări a prezis în mod semnificativ rezultatele elevilor la teste standardizate după participarea la prelegerile profesorilor. ^[42] Într-un studiu aprofundat făcut în 2008, cercetătorii au descoperit o școală în care toți profesorii au învățat că 0 nu era nici ciudat, nici egal, cauza fiind un profesor care fusese un exemplu pentru toți ceilalți. Această eroare conceptuală a fost răspândită de un profesor de matematică din școala lor.

Câți profesori au concepții greșite despre paritatea zero?

Nu este sigur câți profesori au cunoștințe greșite despre 0, deoarece studiile din Michigan nu au publicat date pentru întrebările individuale. Betty Lichtenberg, profesor asociat de educație matematică la Universitatea din Florida de Sud, a raportat într-un studiu din 1972 că atunci când un grup de profesori de școală elementară a primit un test adevărat sau fals care a inclus întrebarea „Este 0 egal?” au considerat-o o întrebare „dură” și două treimi au răspuns „fals”. ^[43]

Implicații în educație

Din punct de vedere pur matematic, demonstrarea faptului că 0 este chiar necesită doar aplicarea unei definiții, dar în contextul educației sunt necesare explicații suplimentare. O problemă se referă la o bază a dovezii, definiția chiar și ca multiplu întreg de 2 nu este întotdeauna cunoscută: un student din primii ani de învățământ primar poate să nu fi învățat încă ce înseamnă termenii „întreg” sau „multiplu” și este chiar mai puțin probabil să știe să se înmulțească cu 0. ^[44] Afirmarea unei definiții a parității pentru toate numerele întregi poate părea o scurtătură conceptuală arbitrară, deoarece toate numerele pare găsite până în acel moment au fost pozitive.

Efecte pozitive rezultate din învățarea că zero este egal

Faptul că 0 este chiar poate ajuta la înțelegerea faptului că, în timp ce conceptul de număr este extins de la numere întregi pozitive la toate numerele întregi, inclusiv 0 și numere negative, proprietățile numerelor precum paritatea sunt, de asemenea, extinse într-un mod non-trivial. ^[45]

Cogniția numerică

Acest grafic arată timpul de reacție în care se spune paritatea cifrelor de la unu la zece. Cu cât cifrele sunt mai apropiate, cu atât este nevoie de mai puțin timp. ^[46]

Chiar și adulții care cred că 0 este egal, totuși, nu sunt familiarizați cu acest concept, care le scade timpul de reacție atunci când judecă dacă un număr este par sau nu. Stanislas Dehaene , un pionier în domeniul cunoașterii numerice , a efectuat o serie de experimente de acest fel la începutul anilor 1990. Un număr în cifre sau litere clipește pe un monitor pe care un subiect îl urmărește, iar un computer înregistrează timpul necesar sub rezerva apăsării oricărui buton pentru a identifica numărul ca fiind impar sau par. Rezultatele au arătat că a fost nevoie de mai mult timp pentru a identifica 0 decât pentru a identifica orice alt număr par. Unele variații ale experimentului au constatat întârzieri mari de până la 60 de milisecunde sau aproximativ 10% din timpul mediu de reacție - o diferență mică, dar semnificativă. ^[47]

Gli esperimenti di Dehaene non erano stati progettati specificamente per indagare la parità dello 0, ma per confrontare modelli concorrenti di come l'informazione di parità viene elaborato ed estratta. Il modello più specifico, l'ipotesi dell'utilizzo del calcolo mentale, suggerisce che la reazione a 0 deve essere veloce; 0 è un numero piccolo, ed è facile calcolare 0 × 2 = 0. (È stato notato che i soggetti dell'esperimento riescono a calcolare e dire il risultato della moltiplicazione per 0 più velocemente del risultato di una moltiplicazione per numeri diversi da 0, anche se sono più lenti a verificare i risultati proposti come 2 × 0 = 0.) I risultati degli esperimenti hanno suggerito che qualcosa di diverso stava accadendo: l'informazione di parità apparentemente era richiamata dalla memoria insieme a un gruppo di proprietà correlate, come l'essere primo o una potenza di due . Sia la sequenza di potenze di 2 che la sequenza dei numeri positivi pari 2, 4, 6, 8,... sono categorie mentali ben distinte, i cui membri sono prototipicamente pari. Lo 0 non appartiene a nessuna lista, quindi le risposte erano più lente. ^[48]

Ripetuti esperimenti hanno mostrato un ritardo in 0 per soggetti di diversa età, nazione e conoscenze linguistiche, messi a guardare numeri in cifre, detti lettera per lettera e detti lettera per lettera in uno specchio. Il gruppo di Dehaene ha trovato un fattore di differenziazione: la competenza matematica. In uno dei loro esperimenti, gli studenti della École normale supérieure sono stati divisi in due gruppi: quelli impegnati in studi letterari e quelli impegnati a studiare matematica, fisica o biologia. Il rallentamento nel definire la parità dello 0 è stato "trovato sostanzialmente nel primo gruppo [letterario]", e infatti, "prima dell'esperimento, alcuni soggetti [Letterari] non erano sicuri se 0 fosse pari o dispari e la sua parità doveva essere ricordata dalla definizione matematica". ^[49]

Questa forte dipendenza del tempo di risposta con la familiarità mina nuovamente l'ipotesi di calcolo mentale. ^[50] L'effetto suggerisce anche che non è opportuno includere lo 0 in esperimenti in cui i numeri pari e dispari sono confrontati come gruppo. Come uno studio dice, "La maggior parte dei ricercatori sembrano concordare sul fatto che lo 0 non è un tipico numero pari e non deve essere indagato come parte della linea dei numeri mentale". ^[51]

Vita di tutti i giorni

Alcuni dei contesti in cui la parità zero fa la sua apparizione sono puramente retorici. L'argomento fornisce il materiale per bacheche Internet e siti web in cui si chiedono consigli agli esperti. ^[52] Il linguista Joseph Grimes riflette che chiedere "Zero è pari?" alle coppie sposate è un buon modo per creare disaccordo. ^[53] Le persone che pensano che lo zero non sia né pari né dispari possono utilizzare la parità di zero come prova che ogni regola ha un controesempio , ^[54] o come esempio di una domanda trabocchetto . ^[55]

Intorno al 2000, i media hanno notato un paio di pietre miliari insolite: la data "19/11/1999" è stata l'ultima data del calendario composta solo da cifre dispari che si sarebbe verificata per un tempo molto lungo e che la data "02/02/2000" sarebbe stata la prima data formata da solo cifre pari dopo molto tempo. ^[56] Poiché questi risultati fanno uso del fatto che 0 è pari, alcuni lettori furono in disaccordo con l'idea. ^[57]

Nei test standardizzati , se una domanda riguarda il comportamento dei numeri pari, potrebbe essere necessario tenere a mente che 0 è pari. ^[58] Delle pubblicazioni ufficiali relative al GMAT e al GRE test sia stato che 0 sia pari. ^[59]

Il fatto che 0 sia pari è rilevante nella suddivisione fra pari e dispari con cui le automobili possono guidare o acquistare la benzina a giorni alterni, secondo la parità del ultima cifra nelle loro targhe . Metà dei numeri in un dato intervallo terminano in 0, 2, 4, 6, 8 e l'altra metà in 1, 3, 5, 7, 9, quindi ha senso includere 0 con i numeri pari. Tuttavia, nel 1977, un sistema di razionamento Parigi portò alla confusione. Durante un giorno per soli numeri dispari, la polizia evitò di multare i conducenti le cui targhe terminavano con 0, perché i guidatori non sapevano se 0 fosse pari. ^[60] Per evitare tale confusione, il legislazione pertinente a volte ribadisce che lo 0 è pari, tali leggi sono state approvate nel Nuovo Galles del Sud ^[61] e Maryland . ^[62]

Sulle navi della US Navy, gli scomparti contrassegnati da numeri pari si trovano sul lato sinistro, ma lo zero è riservato per i comparti che intersecano la linea di mezzeria. Cioè, i numeri da sinistra a destra erano nel seguente ordine: 6-4-2-0-1-3-5. ^[63]

Nel gioco della roulette , il numero 0 non conta come pari o dispari, dando al casinò un vantaggio su tali scommesse. ^[64] Allo stesso modo, la parità di zero può influenzare la percentuale di restituzione nei giochi d'azzardo quando il risultato dipende dal fatto che un certo numero casuale sia pari o dispari e il numero risulta essere uguale a zero. ^[65]

Anche il gioco del pari o dispari ne è influenzato: se entrambi i giocatori gettano zero dita, il numero totale delle dita è uguale a 0, quindi il giocatore che aveva scelto pari vince. ^[66] Un manuale per insegnanti suggerisce questo gioco come un modo per introdurre i bambini al concetto che 0 è divisibile per 2. ^[67]

Reminiscenza filosofica del parimpari, studiato durante il percorso scolastico, potrebbe generare confusione. Nella Scuola pitagorica il parimpari è riferito al numero 1, come elemento di collegamento tra i numeri pari ed i numeri dispari. A diversi anni di distanza dallo studio, il termine parimpari potrebbe essere inteso come sia pari che dispari, o nessuno di questi, ed il numero a cui più facilmente si può associare questo significato è lo 0, distorcendo notevolmente il significato originario. Infatti per i pitagorici i numeri partivano da 1 e lo zero non esisteva. Infine la scuola pitagorica considerava il numero uno come numero né pari né dispari, o entrambi, e ciò può aumentare la confusione derivante da uno studio non approfondito e/o non recente:

Note

Bibliografia

• Ian Anderson, A First Course in Discrete Mathematics , London, Springer, 2001, ISBN 1-85233-236-0 .
• Marlow Anderson e Todd Feil, A First Course in Abstract Algebra: Rings, Groups, And Fields , London, CRC Press, 2005, ISBN 1-58488-515-7 .
• Edna Andrews, Markedness Theory: the union of asymmetry and semiosis in language , Durham, Duke University Press, 1990, ISBN 0-8223-0959-9 .
• CL Arnold, The Number Zero , in The Ohio Educational Monthly , vol. 68, n. 1, gennaio 1919, pp. 21-22. URL consultato l'11 aprile 2010 .
• Hossein Arsham, Zero in Four Dimensions: Historical, Psychological, Cultural, and Logical Perspectives , The Pantaneto Forum, gennaio 2002. URL consultato il 24 settembre 2007 (archiviato dall' url originale il 25 settembre 2007) .
• Deborah Loewenberg Ball, Heather C. Hill e Hyman Bass, Knowing Mathematics for Teaching: Who Knows Mathematics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide? ( PDF ), in American Educator , 2005. URL consultato il 16 settembre 2007 .
• Deborah Loewenberg Ball, Jennifer Lewis e Mark Hoover Thames, Making mathematics work in school ( PDF ), in Journal for Research in Mathematics Education , M14, 2008, pp. 13–44 and 195–200. URL consultato il 4 marzo 2010 .
• Edward Joseph Barbeau, Polynomials , Springer, 2003, ISBN 0-387-40627-1 .
• Arthur Baroody e Ronald Coslick, Fostering Children's Mathematical Power: An Investigative Approach to K-8 , Lawrence Erlbaum Associates, 1998, ISBN 0-8058-3105-3 .
• William P. Berlinghoff, Kerry E. Grant e Dale Skrien, A Mathematics Sampler: Topics for the Liberal Arts , 5th rev., Rowman & Littlefield, 2001, ISBN 0-7425-0202-3 .
• Kim C. Border, Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory , Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-38808-2 .
• Andrew Brisman,Mensa Guide to Casino Gambling: Winning Ways , Sterling, 2004, ISBN 1-4027-1300-2 .
• Bryan H. Bunch,Mathematical Fallacies and Paradoxes , Van Nostrand Reinhold, 1982, ISBN 0-442-24905-5 .
• Chris K. Caldwell e Yeng Xiong, What is the Smallest Prime? , in Journal of Integer Sequences , vol. 15, n. 9, 27 dicembre 2012, arXiv : 1209.2007 .
• Column 8 readers, Column 8 , The Sydney Morning Herald, First, 10 marzo 2006, p. 18.
• Column 8 readers, Column 8 , The Sydney Morning Herald, First, 16 marzo 2006, p. 20.
• Bunny Crumpacker, Perfect Figures: The Lore of Numbers and How We Learned to Count , Macmillan, 2007, ISBN 0-312-36005-3 .
• Thomas J. Cutler, The Bluejacket's Manual: United States Navy , Centennial, Naval Institute Press, 2008, ISBN 1-55750-221-8 .
• Stanislas Dehaene , Serge Bossini e Pascal Giraux, The mental representation of parity and numerical magnitude ( PDF ), in Journal of Experimental Psychology: General , vol. 122, n. 3, 1993, pp. 371-396, DOI : 10.1037/0096-3445.122.3.371 . URL consultato il 13 settembre 2007 (archiviato dall' url originale il 19 luglio 2011) .
• Keith Devlin, The golden age of mathematics , in New Scientist , vol. 106, n. 1452, aprile 1985.
• Diagram Group, The Official World Encyclopedia of Sports and Games , Paddington Press, 1983, ISBN 0-448-22202-7 .
• David S Dickerson e Damien J Pitman, Advanced college-level students' categorization and use of mathematical definitions ( PDF ), in Tai-Yih Tso (a cura di), Proceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education , vol. 2, luglio 2012, pp. 187-195 (archiviato dall' url originale il 18 dicembre 2013) .
• David S. Dummit e Richard M. Foote, Abstract Algebra , 2e, New York, Wiley, 1999, ISBN 0-471-36857-1 .
• Educational Testing Service, Mathematical Conventions for the Quantitative Reasoning Measure of the GRE® revised General Test ( PDF ), Educational Testing Service, 2009. URL consultato il 6 settembre 2011 .
• H. Freudenthal, Didactical phenomenology of mathematical structures , Dordrecht, The Netherlands, Reidel, 1983.
• Len Frobisher, Primary School Children's Knowledge of Odd and Even Numbers , in Anthony Orton (a cura di), Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics , London, Cassell, 1999, pp. 31-48.
• Fernando Quadros Gouvêa, p -adic numbers: an introduction , 2nd, Springer-Verlag, 1997, ISBN 3-540-62911-4 .
• Timothy Gowers , Mathematics: A Very Short Introduction , Oxford University Press , 2002, ISBN 978-0-19-285361-5 .
• Graduate Management Admission Council, The Official Guide for GMAT Review , 11th, McLean, VA, Graduate Management Admission Council, settembre 2005, ISBN 0-9765709-0-4 .
• Joseph E. Grimes,The Thread of Discourse , Walter de Gruyter, 1975, ISBN 90-279-3164-X .
• Nora Hartsfield e Gerhard Ringel, Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction , Mineola, Courier Dover, 2003, ISBN 0-486-43232-7 .
• Heather C. Hill, Merrie L. Blunk, Charalambos Y. Charalambous, Jennifer M. Lewis, Geoffrey C. Phelps, Laurie Sleep e Deborah Loewenberg Ball, Mathematical Knowledge for Teaching and the Mathematical Quality of Instruction: An Exploratory Study , in Cognition and Instruction , vol. 26, n. 4, 2008, pp. 430-511, DOI : 10.1080/07370000802177235 .
• George Hohmann, Companies let market determine new name , Charleston Gazette, 25 ottobre 2007, p. P1C, Template:Factiva .
• Kaplan Staff, Kaplan SAT 2400, 2005 Edition , Simon and Schuster, 2004, ISBN 0-7432-6035-X .
• Annie Keith, Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers , in Teachers Engaged in Research: Inquiry in Mathematics Classrooms, Grades Pre-K-2 , IAP, 2006, ISBN 1-59311-495-8 .
• Steven George Krantz, Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry , CRC Press, 2001, ISBN 1-58488-052-X .
• Esther Levenson, Pessia Tsamir e Dina Tirosh, Neither even nor odd: Sixth grade students' dilemmas regarding the parity of zero , in The Journal of Mathematical Behavior , vol. 26, n. 2, 2007, pp. 83-95, DOI : 10.1016/j.jmathb.2007.05.004 .
• Betty Plunkett Lichtenberg, Zero is an even number , in The Arithmetic Teacher , vol. 19, n. 7, novembre 1972, pp. 535-538.
• Richard J. Lorentz, Recursive Algorithms , Intellect Books, 1994, ISBN 1-56750-037-4 .
• William Lovas e Frank Pfenning, A Bidirectional Refinement Type System for LF , in Electronic Notes in Theoretical Computer Science , vol. 196, 22 gennaio 2008, pp. 113-128, DOI : 10.1016/j.entcs.2007.09.021 . URL consultato il 16 giugno 2012 .
• László Lovász, József Pelikán e Katalin L. Vesztergombi, Discrete Mathematics: Elementary and Beyond , Springer, 2003, ISBN 0-387-95585-2 .
• Frank Morgan, Old Coins , Frank Morgan's Math Chat, The Mathematical Association of America, 5 aprile 2001. URL consultato il 22 agosto 2009 .
• Tobias Nipkow, Lawrence C. Paulson e Markus Wenzel, Isabelle/Hol: A Proof Assistant for Higher-Order Logic , Springer, 2002, ISBN 3-540-43376-7 .
• Hans-Christoph Nuerk, Wiebke Iversen e Klaus Willmes, Notational modulation of the SNARC and the MARC (linguistic markedness of response codes) effect , in The Quarterly Journal of Experimental Psychology A , vol. 57, n. 5, luglio 2004, pp. 835-863, DOI : 10.1080/02724980343000512 .
• Barbara Hall Partee, Fundamentals of Mathematics for Linguistics , Dordrecht, D. Reidel, 1978, ISBN 90-277-0809-6 .
• Robert C. Penner,Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures , River Edje, World Scientific, 1999, ISBN 981-02-4088-0 .
• H. Salzmann, T. Grundhöfer, H. Hähl e R. Löwen,The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers , Cambridge University Press, 2007, ISBN 0-521-86516-6 .
• Robert Siegel, Analysis: Today's date, November 19th, 1999, contains all odd numbers; the next even-numbered date will be February 2nd, 2000 , All Things Considered , National Public Radio , 19 novembre 1999, Template:Factiva .
• Doug Smock, The odd bets: Hines Ward vs. Tiger Woods , Charleston Gazette , 6 febbraio 2006, p. P1B, Template:Factiva .
• Tony Snow,Bubba's fools , Jewish World Review , 23 febbraio 2001. URL consultato il 22 agosto 2009 .
• Bill Sones e Rich Sones, To hide your age, button your lips , Deseret News , 8 maggio 2002, p. C07, Template:Factiva .
• Ross M. Starr ,General Equilibrium Theory: An Introduction , Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-56473-5 .
• Neil Steinberg, Even year, odd facts , Chicago Sun-Times, 5XS, 30 novembre 1999, p. 50, Template:Factiva .
• Mark Alan Stewart, 30 Days to the GMAT CAT , Stamford, Thomson, 2001, ISBN 0-7689-0635-0 .
• Jim Stingl, 01:02:03 04/05/06; We can count on some things in life , Milwaukee Journal Sentinel , Final, 5 aprile 2006, p. B1, Template:Factiva .
• Olga M. Tabachnikova e Geoff C. Smith , Topics in Group Theory , London, Springer, 2000, ISBN 1-85233-235-2 .
• The Math Forum participants, A question around zero , Math Forum » Discussions » History » Historia-Matematica, Drexel University, 2000. URL consultato il 25 settembre 2007 .
• Julian Turner, Sports Betting – For Lytham Look to the South Pacific , The Guardian , 13 luglio 1996, p. 23, Template:Factiva .
• Anthony Wilden e Rhonda Hammer,The rules are no game: the strategy of communication , Routledge Kegan & Paul, 1987, ISBN 0-7100-9868-5 .
• Stephen Wise, GIS Basics , CRC Press, 2002, ISBN 0-415-24651-2 .
• Samuel Shaw Ming Wong, Computational Methods in Physics and Engineering , World Scientific, 1997, ISBN 981-02-3043-5 .

Altri progetti

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su parità di zero

Collegamenti esterni

• Doctor Rick, Is Zero Even? , Ask Dr. Math, The Math Forum, 2001. URL consultato il 6 giugno 2013 .
• Straight Dope Science Advisory Board, Is zero odd or even? , The Straight Dope Mailbag, 1999. URL consultato il 6 giugno 2013 .
• Is Zero Even? - Numberphile , video with Dr. James Grime, University of Nottingham

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica