Puterea a doi
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În matematică , o putere de două este orice număr întreg care este o putere a numărului doi , adică poate fi obținută înmulțind două de la sine de un anumit număr de ori. O putere de doi este, de asemenea, 1, deoarece 2 0 = 1. Scrisă în sistemul binar , o putere de două ia întotdeauna forma 10000 ... 0, asemănătoare cu puteri de 10 în sistemul zecimal .
Informatică
Deoarece două sunt baza sistemului binar, puterile a două sunt importante în informatică . În special, 2 n este numărul de moduri în care biții pot fi aranjați într-un număr întreg de lungime n , astfel încât numerele care sunt mai mici de unu până la o putere de doi indică limita maximă a numerelor întregi din calculatoare și limbaje de programare (una mai mică ca este 0, nu 1, limita inferioară). În consecință, astfel de numere sunt frecvente în software. De exemplu, în jocul video The Legend of Zelda pentru sistemul de divertisment Nintendo pe 8 biți, s-ar putea colecta până la maximum 255 rupii: numărul a fost înregistrat într-un spațiu de un octet , care are o lungime de 8 biți și, prin urmare, valoarea maximă a fost 2 8 - 1 = 255.
Puterile a două măsoară, de asemenea, memoria computerului. Un ciugulit este egal cu un quad (2 2 ) de biți, un octet este egal cu opt (2 3 ) biți, în timp ce un kilobyte (sau mai exact un kibibyte ) este egal cu 1.024 (2 10 ) octeți. Aproape toate registrele procesorului au dimensiuni care sunt puteri de două (32 în majoritatea computerelor personale actuale).
Aveți grijă să nu confundați numărul de biți cu valorile (sau combinațiile) pe care le pot reprezenta (cantitatea de informații). De fapt, amintind că fiecare bit poate presupune 2 valori în sistemul binar (zero și unu), o secvență de 8 biți (adică un octet) este capabilă să reprezinte bine (2 8 ) sau 256 de valori sau elemente diferite . A fi clar:
00000000 = 0
00000001 = 1
00000010 = 2
00000011 = 3
....
11111111 = 255
Dacă luăm în considerare, așa cum am spus deja în exemplul jocului video, chiar și 0, există un total de 256 de combinații sau valori care pot fi reprezentate printr-un octet. Ca rezultat, un octet este format din opt (2 3 ) biți, dar este capabil să reprezinte (2 8 ) 256 de valori diferite.
Puterile a două pot fi găsite și în multe alte aspecte tehnice. În multe unități de disc, cel puțin una dintre dimensiunile sectorului, numărul de sectoare pe pistă și numărul de piste pe platou este o putere de două. Dimensiunea blocului logic este aproape întotdeauna o putere de două.
În multe situații, cum ar fi în cazul rezoluțiilor video, există numere care nu sunt puteri de două, dar pot fi scrise ca suma a două sau trei puteri de două sau puteri de două minus una. De exemplu, 640 = 512 + 128 și 480 = 32 × 15. Cu alte cuvinte, acestea sunt numere cu scrieri binare foarte simple (în termeni specifici, scrie Kolmogorov cu complexitate redusă).
Matematica
În matematică, puterile a două furnizează numărul de subseturi de mulțimi finite: mai exact 2 n este numărul de subseturi ale unui set de n elemente. Dacă distingem subseturile cu 0, 1, 2, ..., n elemente, ajungem la următoarea identitate combinatorie semnificativă:
În teoria numerelor, un număr prim care este mai mic decât unul față de o putere de doi care are un număr prim ca exponent se numește prim Mersenne . De exemplu, numărul prim 31 este un prim Mersenne ca 2 5 -1 = 31.
Primele patruzeci de puteri a două
2 1 | = | 2 | 2 11 | = | 2 048 | 2 21 | = | 2 097 152 | 2 31 | = | 2 147 483 648 | |||
2 2 | = | 4 | 2 12 | = | 4 096 | 2 22 | = | 4 194 304 | 2 32 | = | 4 294 967 296 | |||
2 3 | = | 8 | 2 13 | = | 8 192 | 2 23 | = | 8 388 608 | 2 33 | = | 8 589 934 592 | |||
2 4 | = | 16 | 2 14 | = | 16 384 | 2 24 | = | 16 777 216 | 2 34 | = | 17 179 869 184 | |||
2 5 | = | 32 | 2 15 | = | 32 768 | 2 25 | = | 33 554 432 | 2 35 | = | 34 359 738 368 | |||
2 6 | = | 64 | 2 16 | = | 65 536 | 2 26 | = | 67 108 864 | 2 36 | = | 68 719 476 736 | |||
2 7 | = | 128 | 2 17 | = | 131 072 | 2 27 | = | 134 217 728 | 2 37 | = | 137 438 953 472 | |||
2 8 | = | 256 | 2 18 | = | 262 144 | 2 28 | = | 268 435 456 | 2 38 | = | 274 877 906 944 | |||
2 9 | = | 512 | 2 19 | = | 524 288 | 2 29 | = | 536 870 912 | 2 39 | = | 549 755 813 888 | |||
2 10 | = | 1 024 | 2 20 | = | 1 048 576 | 2 30 | = | 1 073 741 824 | 2 40 | = | 1 099 511 627 776 |
Puteri a două ale căror exponenți sunt puteri a două
Deoarece celulele și registrele moderne de memorie au adesea un număr de biți care este o putere de doi, puterile a două care se găsesc cel mai frecvent sunt cele în care exponentul este el însuși o putere de doi:
| 2 | = | 2 1 |
| 4 | = | 2 2 |
| 16 | = | 2 4 |
| 256 | = | 2 8 |
| 65 536 | = | 2 16 |
| 4 294 967 296 | = | 2 32 |
| 18 446 744 073 709 551 616 | = | 2 64 |
| 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456 | = | 2 128 |
| 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 936 | = | 2 256 |
Multe dintre aceste numere indică numărul de valori care pot fi reprezentate folosind tipuri comune de date . Primele minicomputere din anii 1970 aveau adrese de doar 16 biți și amintirile lor centrale nu puteau depăși 64 de kibibiți (atunci era scris 64K). În anii 1980, a început să devină obișnuit să se utilizeze un cuvânt pe 32 de biți (4 octeți) pentru a reprezenta 2 32 de valori distincte, care pot fi interpretate ca liste simple de biți, sau mai frecvent ca un întreg nesemnat de la 0 la 2 32 - 1 sau ca număr întreg semnat între -2 31 și 2 31 -1. Cu microprocesoarele mai noi, un cuvânt dublu pe 64 de biți vă permite să reprezentați numere întregi naturale de la 0 la 2 64 -1 sau întregi între -2 63 și 2 63 -1.
Alte două puteri notabile
- 2 24 = 16 777 216 : numărul de culori diferite care pot fi reprezentate în culoarea adevărată , ca în majoritatea afișajelor computerului. Acest număr rezultă din utilizarea sistemului RGB cu trei canale, cu 8 biți pentru fiecare canal și, prin urmare, 24 în total.
- 2 48 = 281 474 976 710 656 : extinderea truecolorului , susținută de mai multe camere digitale și scanere de gamă medie-înaltă. Este întotdeauna codificat în RGB, dar cu canalele unice pe 16 biți Red Green Blue. Multe formate grafice (JPEG, TIFF, TGA, ...) au fost adaptate pentru a susține această schimbare. Se mai numește și RGB161616
Legenda despre nașterea șahului
O legendă legată de puterea a doi și care explică cât de ușor este să te păcălești când ai de-a face cu cifre este legenda despre nașterea șahului .
Potrivit unei legende indiene, inventatorul șahului a fost Sessa, profesoara unui prinț. Cu acest joc, Sessa a vrut să clarifice faptul că succesul comandantului derivă din armonia corectă dintre el și subordonații săi, precum și regele șahului, deși cea mai importantă piesă, nu poate pierde decât fără sprijinul pionilor și al altor persoane. bucăți. Prințul a fost foarte impresionat de sagacitatea jocului și i-a promis Sesei orice i-ar fi cerut ca recompensă. Ca recompensă, Sessa a cerut un bob de grâu pentru prima cutie, două pentru a doua, patru pentru a treia și așa mai departe, dublându-se mereu până la a șaizeci și patru de cutie. Părea o cerere modestă, iar lui Sessa îi râdeau mulți: ar fi putut cere mult aur, dar se pare că se mulțumea cu câteva kilograme de grâu. Prințul a ordonat ca cererea să fie acceptată, dar, după ce contabilii de la palat au calculat numărul de boabe promise, adevărul a fost dezvăluit în curând: era vorba de plata sondei inteligente Sessa 2 64 -1 boabe (adică suma de 1+ 2 + 2 2 +2 3 + .... + 2 63 ) echivalent cu 18.446.744.073.709.551.615 boabe, o cantitate astfel încât recoltele din întreaga lume nu au fost suficiente pentru a satisface! Există mai multe versiuni despre cum a reacționat prințul odată ce a descoperit suma facturii de plătit.
