Border (topologie)

În topologie , marginea de granita sau a unei delimitări sau a unui subset S a unui spațiu topologic X este închiderea setului minus său interior . Un element al limitei lui S se numește punctul de limită al lui S. Notările utilizate pentru a indica granița unui set S includ b (S) ^[1] , bd ( S ), fr ( S ) și $\partial S$ ${\ displaystyle \ partial S}$ $\ partial S.$ .

Există alte două modalități echivalente de a defini granița lui S și punctele de graniță ale lui S.

Limita lui S este definită ca intersecția dintre închiderea lui S și închiderea complementarului său.
Limita lui S este definită ca setul de puncte p în X astfel încât fiecare vecinătate a lui p conține cel puțin un punct în S și cel puțin un punct care nu aparține lui S.

Proprietate

Limita unui set este închisă .
Limita unui set este egală cu intersecția dintre închiderea setului și închiderea complementului său.
Un set este închis dacă și numai dacă granița setului este conținută în set și se deschide dacă și numai dacă este disjunct de granița sa.
Limita unui set este egală cu limita complementului său.
Închiderea unui set este egală cu unirea setului cu marginea acestuia.
Limita unui set este goală dacă și numai dacă setul este simultan închis și deschis (adică dacă este un set închis-deschis ).

Exemple

Să luăm în considerare topologia obișnuită a axei reale; de sine $X=[0,5)$ ${\ displaystyle X = [0,5)}$ $X = [0,5)$ , apoi al doilea $\partial X=\{0,5\}$ ${\ displaystyle \ partial X = \ {0,5 \}}$ $\ partial X = \ {0,5 \}$ .
$\partial {\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)={\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)-B(\mathbf {a} ,r)$ ${\ displaystyle \ partial {\ overline {B}} (\ mathbf {a}, r) = {\ overline {B}} (\ mathbf {a}, r) -B (\ mathbf {a}, r)}$ $\ partial \ overline {B} ({\ mathbf {a}}, r) = \ overline {B} ({\ mathbf {a}}, r) -B ({\ mathbf {a}}, r)$
$\partial D^{n}\simeq S^{n-1}$ ${\ displaystyle \ partial D ^ {n} \ simeq S ^ {n-1}}$ $\ partial D ^ {n} \ simeq S ^ {{n-1}}$
$\partial \varnothing =\varnothing$ ${\ displaystyle \ partial \ varnothing = \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ partial \ varnothing = \ varnothing}$
Dacă Ω reprezintă discul caracterizat prin inegalitatea x ² + y ² ≤ 1, în R ³ avem ∂Ω = Ω, în timp ce în R ² , ∂Ω = {( x , y ) | x ² + y ² = 1}. Astfel, granița unei mulțimi poate depinde de mulțimea în care este scufundată.

Notă

^ Pagină de Paolo Acquistapace , pe people.dm.unipi.it . Adus pe 28 noiembrie 2019 .

Bibliografie

JR Munkres, Topologie , Prentice-Hall, 2000, ISBN 0-13-181629-2 .
S. Willard, Topologie generală , Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-201-08707-3 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini de frontieră sau alte fișiere

V · D · M

Topologie

Concepte de topologie generală

Spațiu topologic · Baza · Prebază · Acoperire ·Axiome de închidere a lui Kuratowski · topologic invariant · raport de finețe · Partiție de unitate · proprietate de intersecție peste
Subseturi	Interval · Deschis · Aproximativ · Închis · Împreună închis local · închis-deschis Împreună · În interior · Închidere · Frontieră · Împreună derivat · Limită Împreună · Perfect Împreună · dens Împreună · Împreună tot mai dens
Puncte	Punct izolat · Punct de acumulare · Punct de adeziune
Funcții	Funcția continuă · homeomorphism · Funcția deschisă · Funcție închis · funcția proprie · Contracția · Retractare · Funcția Germeni · Funcția de suport compact
Succesiuni	Limită · Limita unei secvențe · Succesiune · Rețea · Convergență · Succesiunea lui Cauchy
Teoreme	Weierstrass teorema · Heine-Borel · Tichonov · tub Lema · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punct fix · Borsuk Teorema · Borsuk-Ulam teorema · Teorema lui Jordan · Riemann Mapping Teorema
Aplicații	Topologia de spațiu-timp · Teoria cuantică a câmpurilor topologice · Topologie de rețea · topologiei de control · topologie moleculara

Proprietate

Numerabilitate	Axioma numărabilității · Primul spațiu numărabil · Spațiul separabil · Spațiul secvențial
Separare	Separarea axiomelor · Spațiul T0 · Spațiul T1 · Spațiul Hausdorff · Spațiul regulat · Spațiul Tikhonov · spațiul normal
Compacitate	Compact Space · spațiu paracompact · spațiu local compact · de Lindelof Space · Subspatiul relativ compact · Diving compact
Conexiune	Spațiu conectat · Spațiu conectat simplu
Metrizabilitate	Metric spațiu · spațiu metric complet · spațiu metrizabil · spațiu ultrametric · spațiu pseudometrico · polonez spațiu · normata spațiu · spațiu total limitat
Alte	Spațiul Baire · Spațiul noetherian spațial · spațiul omogen