Raport de finețe
În matematică , studiul topologiilor pe un set constă în compararea diferitelor topologii cu care poate fi echipat un set dat X. Aceste topologii formează un set parțial ordonat , iar această relație de ordine , numită relație de finețe , poate fi utilizată pentru a compara două diferite topologii.
Definiție
Un spațiu topologic constă dintr-un set X și o topologie T. Topologia T este o colecție de subseturi de X, numite deschise . Dacă două topologii T 1 și T 2 sunt astfel încât T 1 este conținut în T 2 (cu alte cuvinte, seturile deschise ale T 1 sunt, de asemenea, deschise din T 2 ), atunci se spune că T 2 este mai fin decât T 1 . [1]
Clasa topologiilor este astfel parțial ordonată .
Topologii zăbrele
Setul topologiilor de pe X are un minim absolut, dat de topologia banală (care este mai puțin fină decât orice altă topologie) și un maxim absolut, dat de topologia discretă (care este mai fină decât orice altă topologie).
Setul de topologii este o rețea : fiecare colecție de topologii are un minim comun (intersecțiile lor) și un maxim comun (generat de uniunile lor).
Exemple
Un spațiu funcțional admite adesea câteva topologii diferite. De exemplu, spațiul funcțiilor continue definit pe intervalul [0, 1] poate fi dotat cu topologia convergenței punctuale sau a convergenței uniforme : aceasta din urmă este mai fină decât prima.
În lista următoare, fiecare topologie este mai fină decât precedenta: topologie trivială · Cofinita · Zariski · Euclidean · din Sorgenfrey · Târg .
Notă
- ^ M. Manetti , p. 39 .
Bibliografie
- Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .
