Funcția proprie

În topologie, o funcție continuă între spațiile topologice este adecvată dacă imaginea contorului fiecărui set compact este compactă.

Definiție

O funcție continuă

f\colon X\to Y

{\ displaystyle f \ colon X \ to Y}

{\ displaystyle f \ colon X \ to Y}

între spațiile topologice este adecvat dacă imaginea contra $f^{-1}(K)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (K)}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (K)}$ a oricărui subset compact $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ din $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este un set compact în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Secvențe divergente

O definiție echivalentă este următoarea. O succesiune divergentă într-un spațiu topologic este o succesiune de puncte care ies din orice set compact. O funcție este adecvată dacă și numai dacă trimite secvențe divergente în secvențe divergente.

Exemple

Ofuncție strict convexă care admite un minim este adecvată. De exemplu parabola $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}, \ f (x) = x ^ {2}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}, \ f (x) = x ^ {2}}$ este potrivit. Imaginea contra unui compact conectat $[-a^{2},b^{2}]$ ${\ displaystyle [-a ^ {2}, b ^ {2}]}$ ${\ displaystyle [-a ^ {2}, b ^ {2}]}$ este de fapt compactul $[0,b]$ ${\ displaystyle [0, b]}$ ${\ displaystyle [0, b]}$ .

O funcție limitată $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ nu este niciodată propriu.

Indiferent dacă este sau nu corect, depinde nu numai de expresia funcției, ci de domeniu și / sau interval. De exemplu funcția $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=e^{x}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}, \ f (x) = e ^ {x}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}, \ f (x) = e ^ {x}}$ , de fapt, contra-imaginea intervalului nu este corectă $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0, 1]$ , care este un compact, este $(-\infty ,0]$ ${\ displaystyle (- \ infty, 0]}$ ${\ displaystyle (- \ infty, 0]}$ care nu este un compact. Pe de altă parte, rețineți că funcția $f\colon [0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=e^{x}$ ${\ displaystyle f \ colon [0, + \ infty) \ rightarrow \ mathbb {R}, \ f (x) = e ^ {x}}$ ${\ displaystyle f \ colon [0, + \ infty) \ rightarrow \ mathbb {R}, \ f (x) = e ^ {x}}$ este potrivit.

Proprietate

Fiecare hartă continuă de la un spațiu compact la un spațiu Hausdorff închis și propriu.
Fiecare hartă proprie admite un grad topologic .

Bibliografie

( EN ) Nicolas Bourbaki , Topologie generală. Capitolele 5-10 , Elements of Mathematics, Berlin, New York, Springer-Verlag , 1998, ISBN 978-3-540-64563-4 , MR 1726872 .
( EN ) Peter Johnstone, Sketches of an elephant: a topos theory compendium , Oxford, Oxford University Press , 2002, ISBN 0-19-851598-7 . , secțiunea C3.2 „Hărți adecvate”
(EN) Ronald Brown, Topologie și grupoizi, N. Carolina, Booksurge , 2006, ISBN 1-4196-2722-8 . , p. 90 „Hărți adecvate”.
( EN ) Brown, R. "Hărți adecvate secvențial și o compactificare secvențială", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică