Teorema ridicării homotopiei

Teorema ridicării homotopiei este o teoremă a matematicii și mai precis a topologiei , care conectează noțiunile de acoperire și homotopie .

Definiția lifting

Este $p:E\to X$ ${\ displaystyle p: E \ to X}$ $p: E \ to X$ o acoperire e $f:Y\to X$ ${\ displaystyle f: Y \ to X}$ $f: Y \ to X$ o aplicare continuă între spații topologice . Un lift de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o aplicație continuă $g:Y\to E$ ${\ displaystyle g: Y \ to E}$ $g: Y \ to E$ astfel încât:

f=p\circ g.

{\ displaystyle f = p \ circ g.}

f = p \ circ g.

Enunțarea teoremei

Acoperirea se va da între spații topologice

p:E\to X\,\!

{\ displaystyle p: E \ to X \, \!}

p: E \ to X \, \!

și două aplicații continue

a:I\to E,\quad F:I^{2}\to X

{\ displaystyle a: I \ to E, \ quad F: I ^ {2} \ to X}

a: I \ to E, \ quad F: I ^ 2 \ to X

definit pe interval $I=[0,1]$ ${\ displaystyle I = [0,1]}$ $I = [0,1]$ iar pe piață $I^{2}$ ${\ displaystyle I ^ {2}}$ $Eu ^ {2}$ , astfel încât $p(a(t))=F(t,0)$ ${\ displaystyle p (a (t)) = F (t, 0)}$ $p (a (t)) = F (t, 0)$ pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Apoi, există și este unic, o înălțare

G:I^{2}\to E\,\!

{\ displaystyle G: I ^ {2} \ to E \, \!}

G: I ^ {2} \ to E \, \!

din $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ astfel încât $G(t,0)=a(t)$ ${\ displaystyle G (t, 0) = a (t)}$ $G (t, 0) = a (t)$ pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Demonstrație

Doar dovedește existența: unicitatea rezultă din legătura dintre $I^{2}$ ${\ displaystyle I ^ {2}}$ $Eu ^ {2}$ și prin unicitatea teoremei ridicării .

Construcția liftului $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ se face în schimb prin exploatarea conexiunii simple și a compactității $I^{2}$ ${\ displaystyle I ^ {2}}$ $Eu ^ {2}$ . Datorită compactității există un $N>0$ ${\ displaystyle N> 0}$ $N> 0$ astfel încât fiecare pătrat

Q_{i,j}=\left[{\frac {i}{N}},{\frac {i+1}{N}}\right]\times \left[{\frac {j}{N}},{\frac {j+1}{N}}\right]

{\ displaystyle Q_ {i, j} = \ left [{\ frac {i} {N}}, {\ frac {i + 1} {N}} \ right] \ times \ left [{\ frac {j} {N}}, {\ frac {j + 1} {N}} \ right]}

Q _ {{i, j}} = \ left [{\ frac iN}, {\ frac {i + 1} N} \ right] \ times \ left [{\ frac jN}, {\ frac {j + 1 } N} \ dreapta]

cuprins în $I^{2}$ ${\ displaystyle I ^ {2}}$ $Eu ^ {2}$ (deci cu $i<N,j<M$ ${\ displaystyle i <N, j <M}$ $i <N, j <M$ ) are imagine $F(Q_{i,j})$ ${\ displaystyle F (Q_ {i, j})}$ $F (Q _ {{i, j}})$ conținute într-o deschidere acoperită uniform . De aici și funcția $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , îngustat spre pătrat $Q_{i,j}$ ${\ displaystyle Q_ {i, j}}$ $Q _ {{i, j}}$ , admite un lift. Pătratele $Q_{i,j}$ ${\ displaystyle Q_ {i, j}}$ $Q _ {{i, j}}$ acoperă pătratul $I^{2}$ ${\ displaystyle I ^ {2}}$ $Eu ^ {2}$ : Datorită conexiunii simple, toate aceste ascensoare pot fi apoi „lipite” coerent pentru a forma un lift $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ cu proprietățile necesare.

Corolar

Lasa-i sa fie $p:E\to X$ ${\ displaystyle p: E \ to X}$ $p: E \ to X$ o acoperire e $f:S^{2}\to X$ ${\ displaystyle f: S ^ {2} \ to X}$ $f: S ^ {2} \ to X$ aplicare continuă. Pentru fiecare pereche de puncte y ∈ S ² , e ∈ p ⁻¹ (f (y)) există o ridicare unică g: S ² → E a hărții f astfel încât g (y) = e .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe teorema Homotopy Lift

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică