Spațiu paracompact

În topologie , o ramură a matematicii , un spațiu paracompact este o ușoară generalizare a conceptului de spațiu compact , adică un spațiu ale cărui puncte sunt „apropiate” unele de altele.

Definiție

Un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este paracompact dacă fiecare capac este deschis ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ admite un rafinament local finit, adică dacă există un capac deschis ${\mathcal {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$ ${\ mathcal {G}}$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât:

fiecare $G\in {\mathcal {G}}$ ${\ displaystyle G \ in {\ mathcal {G}}}$ ${\ displaystyle G \ in {\ mathcal {G}}}$ este cuprins într-un element de ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ ;
fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ admite un cartier $U_{x}$ ${\ displaystyle U_ {x}}$ $U_x$ care intersectează doar un număr finit de elemente ale ${\mathcal {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$ ${\ mathcal {G}}$ .

În unele cazuri, cererea care este, de asemenea, adăugată $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu Hausdorff .

Exemple

Fiecare spațiu compact este paracompact: de fapt, un sub acoperire este, de asemenea, un rafinament, iar fiecare sub acoperire finit este, de asemenea, local finit.
Deschis și închis de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ sunt paracompacte.
Fiecare varietate topologică este paracompactă.
Mai general, fiecare spațiu metrizabil este paracompact (teorema lui Stone ).
Mulțimea numerelor reale cu topologia limită inferioară ( linia Sorgenfrey ) este paracompactă.
Fiecare spațiu obișnuit Lindelöf este paracompact.

Proprietate

Fiecare spațiu Hausdorff paracompact este normal (teorema Dieudonné ).
Fiecare subspatiu inchis al unui paracompact este paracompact.
Produsul topologic al unui spațiu paracompact și al unui spațiu compact este paracompact, dar nu este neapărat produsul a două paracompacte: un celebru contraexemplu este dat de produsul liniei Sorgenfrey cu sine ( planul Sorgenfrey ).
A fi un spațiu paracompact este o condiție necesară pentru existența partițiilor unitare .

Bibliografie

( EN ) Ryszard Engelking, Topologie generală , Berlin, Heldermann, 1989, ISBN 3-88538-006-4 .
Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .
( EN ) Ernest Arthur Michael, Paracompact Spaces , în Klaas Pieter Hart, Jun-iti Nagata și Jerry E. Vaughan (eds), Enciclopedia topologiei generale , Elsevier, 2003, ISBN 978-0-444-50355-8 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AV Arkhangel'skii, Paracompact space , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

V · D · M

Topologie

Concepte de topologie generală

Spațiu topologic · Baza · Prebază · Acoperire ·Axiome de închidere a lui Kuratowski · topologic invariant · raport de finețe · Partiție de unitate · proprietate de intersecție peste
Subseturi	Interval · Deschis · Aproximativ · Închis · Împreună închis local · închis-deschis Împreună · În interior · Închidere · Frontieră · Împreună derivat · Limită Împreună · Perfect Împreună · dens Împreună · Împreună tot mai dens
Puncte	Punct izolat · Punct de acumulare · Punct de adeziune
Funcții	Funcția continuă · homeomorphism · Funcția deschisă · Funcție închis · funcția proprie · Contracția · Retractare · Funcția Germeni · Funcția de suport compact
Succesiuni	Limită · Limita unei secvențe · Succesiune · Rețea · Convergență · Succesiunea lui Cauchy
Teoreme	Weierstrass teorema · Heine-Borel · Tichonov · tub Lema · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punct fix · Borsuk Teorema · Borsuk-Ulam teorema · Teorema lui Jordan · Riemann Mapping Teorema
Aplicații	Topologia de spațiu-timp · Teoria cuantică a câmpurilor topologice · Topologie de rețea · topologiei de control · topologie moleculara

Proprietate

Numerabilitate	Axioma numărabilității · Primul spațiu numărabil · Spațiul separabil · Spațiul secvențial
Separare	Separarea axiomelor · Spațiul T0 · Spațiul T1 · Spațiul Hausdorff · Spațiul regulat · Spațiul Tikhonov · spațiul normal
Compacitate	Compact Space · spațiu paracompact · spațiu local compact · de Lindelof Space · Subspatiul relativ compact · Diving compact
Conexiune	Spațiu conectat · Spațiu conectat simplu
Metrizabilitate	Metric spațiu · spațiu metric complet · spațiu metrizabil · spațiu ultrametric · spațiu pseudometrico · polonez spațiu · normata spațiu · spațiu total limitat
Alte	Spațiul Baire · Spațiul noetherian spațial · spațiul omogen