Teorema lui Borsuk

Teorema lui Borsuk este o teoremă a matematicii și mai exact a topologiei algebrice . Are ca o consecință importantă teorema Borsuk-Ulam .

Afirmație

Teorema lui Borsuk afirmă următorul fapt.

Nu există aplicații continue $f:S^{2}\to S^{1}$ ${\ displaystyle f: S ^ {2} \ to S ^ {1}}$ ${\ displaystyle f: S ^ {2} \ to S ^ {1}}$ din sfera însăși astfel încât $f(-x)=-f(x)$ ${\ displaystyle f (-x) = - f (x)}$ ${\ displaystyle f (-x) = - f (x)}$ pentru fiecare punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a sferei.

Demonstrație

Este $f:S^{2}\to S^{1}$ ${\ displaystyle f: S ^ {2} \ to S ^ {1}}$ ${\ displaystyle f: S ^ {2} \ to S ^ {1}}$ o aplicație continuă, vrem să dovedim că există x ₀ ∈ S ² astfel încât $f(-x_{0})$ ${\ displaystyle f (-x_ {0})}$ ${\ displaystyle f (-x_ {0})}$ diferit de - $f(x_{0})$ ${\ displaystyle f (x_ {0})}$ $f (x_0)$ .

Să luăm în considerare acoperirea universală $e:\mathbb {R} \to S^{1}$ ${\ displaystyle e: \ mathbb {R} \ to S ^ {1}}$ ${\ displaystyle e: \ mathbb {R} \ to S ^ {1}}$ ; pentru un corolar legat de teorema de ridicare a homotopiei există o aplicație continuă $g:S^{2}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle g: S ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle g: S ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$ care ridică $\,f\;$ ${\ displaystyle \, f \;}$ ${\ displaystyle \, f \;}$ , adică astfel încât $e|g=f$ ${\ displaystyle e | g = f}$ ${\ displaystyle e | g = f}$ .

Pentru o lemă a teoriei topologice există un punct x ₀ aparținând lui S ² astfel încât $\,g(x_{0})=\,g(-x_{0})\;$ ${\ displaystyle \, g (x_ {0}) = \, g (-x_ {0}) \;}$ ${\ displaystyle \, g (x_ {0}) = \, g (-x_ {0}) \;}$ si in consecinta: $\,f(x_{0})=f(-x_{0})\;$ ${\ displaystyle \, f (x_ {0}) = f (-x_ {0}) \;}$ ${\ displaystyle \, f (x_ {0}) = f (-x_ {0}) \;}$ ; în special $\,f(-x_{0})\neq f(x_{0})\;$ ${\ displaystyle \, f (-x_ {0}) \ neq f (x_ {0}) \;}$ ${\ displaystyle \, f (-x_ {0}) \ neq f (x_ {0}) \;}$ , cvd

Aplicații

Același subiect în detaliu: teorema lui Borsuk-Ulam .

Teorema Borsuk-Ulam este o aplicație importantă a teoremei. Acesta afirmă că pentru fiecare aplicație continuă $\,g\;$ ${\ displaystyle \, g \;}$ ${\ displaystyle \, g \;}$ : S ² → R ² există un punct $\,x\;$ ${\ displaystyle \, x \;}$ ${\ displaystyle \, x \;}$ aparținând S ² astfel încât $\,g(x)\;$ ${\ displaystyle \, g (x) \;}$ ${\ displaystyle \, g (x) \;}$ = $\,g(-x)\;$ ${\ displaystyle \, g (-x) \;}$ ${\ displaystyle \, g (-x) \;}$ .

Elemente conexe

Karol Borsuk

linkuri externe

V · D · M

Topologie

Concepte de topologie generală

Spațiu topologic · Bază · Prebază · Acoperire ·Axiome de închidere a lui Kuratowski · topologic invariant · raport de finețe · Partiție de unitate · proprietate de intersecție peste
Subseturi	Interval · Deschis · Aproximativ · Închis · Împreună închis local · închis-deschis Împreună · În interior · Închidere · Frontieră · Împreună derivat · Limită Împreună · Perfect Împreună · dens Împreună · Împreună tot mai dens
Puncte	Punct izolat · Punct de acumulare · Punct de adeziune
Funcții	Funcția continuă · homeomorphism · Funcția deschisă · Funcție închis · funcția proprie · Contracția · Retractare · Funcția Germeni · Funcția de suport compact
Succesiuni	Limită · Limita unei secvențe · Succesiune · Rețea · Convergență · Succesiunea lui Cauchy
Teoreme	Weierstrass teorema · Heine-Borel · Tichonov · tub Lema · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punct fix · Borsuk Teorema · Borsuk-Ulam teorema · Teorema lui Jordan · Riemann Mapping Teorema
Aplicații	Topologia de spațiu-timp · Teoria cuantică a câmpurilor topologice · Topologie de rețea · topologiei de control · topologie moleculara

Proprietate

Numerabilitate	Axioma numărabilității · Primul spațiu numărabil · Spațiul separabil · Spațiul secvențial
Separare	Separarea axiomelor · Spațiul T0 · Spațiul T1 · Spațiul Hausdorff · Spațiul regulat · Spațiul Tikhonov · spațiul normal
Compacitate	Compact Space · spațiu paracompact · spațiu local compact · de Lindelof Space · Subspatiul relativ compact · Diving compact
Conexiune	Spațiu conectat · Spațiu conectat simplu
Metrizabilitate	Metric spațiu · spațiu metric complet · spațiu metrizabil · spațiu ultrametric · spațiu pseudometrico · polonez spațiu · normata spațiu · spațiu total limitat
Alte	Spațiul Baire · Spațiul noetherian spațial · spațiul omogen