Contra exemplu

În logică și, mai general, în matematică și filozofie , un contraexemplu este un fapt special care dovedește că o anumită conjectură generală este falsă.

Construirea explicită a unui contraexemplu este cea mai naturală și eficientă metodă de respingere a teoremelor . De exemplu, luați în considerare următoarea afirmație: „toate pisicile sunt negre”. Această afirmație este, fără îndoială, falsă, dar cum o dovedim? Pur și simplu arătând lumii existența unei pisici de altă culoare.

Acest exemplu, la prima vedere banal, se extinde la toate domeniile matematicii, la diferite niveluri. De exemplu, multe conjecturi celebre sunt afirmații care dețin o oarecare generalitate: de exemplu , conjectura lui Fermat (dovedită de Andrew Wiles în 1995 ) susține că:

nu există soluții întregi pozitive la ecuație:

a^{n}+b^{n}=c^{n}

${\ displaystyle a ^ {n} + b ^ {n} = c ^ {n}}$ $a ^ {n} + b ^ {n} = c ^ {n}$ pentru

n>2

${\ displaystyle n> 2}$ $n> 2$ .

Un contraexemplu pentru această presupunere ar fi un triplet de numere $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , și un alt întreg $n>2$ ${\ displaystyle n> 2}$ $n> 2$ care satisfac această relație.

Matematicienii care se confruntă cu o presupunere, sau mai general o problemă a cărei soluție nu o cunosc, au în general două căi în față: să încerce să o demonstreze sau să caute un contraexemplu (și în acest caz utilizarea intensivă a computerelor poate fi de mare ajutor). Chiar și pentru unii matematicieni (așa-numiții intuiționisti ), un contraexemplu este singura modalitate de a demonstra falsitatea unei teoreme în care configurațiile posibile care trebuie verificate sunt infinite.

Exemplu

Să încercăm, de exemplu, să arătăm că:

pentru fiecare număr real pozitiv pe care îl deține

2^{n}+n^{3}\geq n^{n}

${\ displaystyle 2 ^ {n} + n ^ {3} \ geq n ^ {n}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n} + n ^ {3} \ geq n ^ {n}}$

este fals. Cu $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ propunerea este adevărată, dar, dacă încercăm un alt număr, cum ar fi $n=10$ ${\ displaystyle n = 10}$ ${\ displaystyle n = 10}$ , noi obținem:

2^{10}+10^{3}\geq 10^{10}\ \ \Rightarrow \ \ 2024\geq 10000000000

{\ displaystyle 2 ^ {10} + 10 ^ {3} \ geq 10 ^ {10} \ \ \ Rightarrow \ \ 2024 \ geq 10000000000}

{\ displaystyle 2 ^ {10} + 10 ^ {3} \ geq 10 ^ {10} \ \ \ Rightarrow \ \ 2024 \ geq 10000000000}

ceea ce este evident fals. Contraexemplul ne spune că teorema, în general (adică extinderea conceptului la întreg) , nu este valabilă pentru toate numerele reale pozitive.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică