Operator de paritate

Definiție

Operatorul de paritate în mecanica cuantică este operatorul care efectuează o transformare a inversării spațiale a coordonatelor sau schimbă semnul fiecăreia dintre ele. Acțiunea sa asupra unui ket arbitrar definit în baza lui x este următoarea:

P\left|\psi \right\rangle =P\int _{-\infty }^{\infty }\left|x\right\rangle \left\langle x\right|\left|\psi \right\rangle dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|-x\right\rangle \left\langle x\right|\left|\psi \right\rangle dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|x'\right\rangle \left\langle -x'\right|\left|\psi \right\rangle dx'

{\ displaystyle P \ left | \ psi \ right \ rangle = P \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | x \ right \ rangle \ left \ langle x \ right | \ left | \ psi \ right \ rangle dx = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | -x \ right \ rangle \ left \ langle x \ right | \ left | \ psi \ right \ rangle dx = \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} \ left | x '\ right \ rangle \ left \ langle -x' \ right | \ left | \ psi \ right \ rangle dx '}

{\ displaystyle P \ left | \ psi \ right \ rangle = P \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | x \ right \ rangle \ left \ langle x \ right | \ left | \ psi \ right \ rangle dx = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | -x \ right \ rangle \ left \ langle x \ right | \ left | \ psi \ right \ rangle dx = \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} \ left | x '\ right \ rangle \ left \ langle -x' \ right | \ left | \ psi \ right \ rangle dx '}

unde este $x'=-x$ ${\ displaystyle x '= - x}$ ${\ displaystyle x '= - x}$ , asa de :

\left\langle x\right|P\left|\psi \right\rangle =\psi (-x)

{\ displaystyle \ left \ langle x \ right | P \ left | \ psi \ right \ rangle = \ psi (-x)}

{\ displaystyle \ left \ langle x \ right | P \ left | \ psi \ right \ rangle = \ psi (-x)}

Având în vedere o stare fizică generică S descrisă de funcția sa de undă atunci:

P^{\dagger }{\vec {x}}P=-{\vec {x}}

{\ displaystyle P ^ {\ dagger} {\ vec {x}} P = - {\ vec {x}}}

{\ displaystyle P ^ {\ dagger} {\ vec {x}} P = - {\ vec {x}}}

P\psi _{s}({\vec {x}})=\psi _{s}(-{\vec {x}})

{\ displaystyle P \ psi _ {s} ({\ vec {x}}) = \ psi _ {s} (- {\ vec {x}})}

{\ displaystyle P \ psi _ {s} ({\ vec {x}}) = \ psi _ {s} (- {\ vec {x}})}

Proprietate

Liniar

P este un operator liniar, deoarece:

P(\psi _{1}({\vec {x}})+\psi _{2}({\vec {x}}))=P\psi _{1}({\vec {x}})+P\psi _{2}({\vec {x}})

{\ displaystyle P (\ psi _ {1} ({\ vec {x}}) + \ psi _ {2} ({\ vec {x}})) = P \ psi _ {1} ({\ vec { x}}) + P \ psi _ {2} ({\ vec {x}})}

{\ displaystyle P (\ psi _ {1} ({\ vec {x}}) + \ psi _ {2} ({\ vec {x}})) = P \ psi _ {1} ({\ vec { x}}) + P \ psi _ {2} ({\ vec {x}})}

Hermitian (autoadjunct)

P este un operator autoadjunct deoarece:

P^{\dagger }=P

{\ displaystyle P ^ {\ dagger} = P}

{\ displaystyle P ^ {\ dagger} = P}

Ceea ce garantează că are valori proprii reale și egale doar cu $\pm 1$ ${\ displaystyle \ pm 1}$ $\ pm 1$ . Acest lucru este ușor de văzut după cum urmează:

$P^{2}\left|x\right\rangle =\left|-(-x)\right\rangle =\left|x\right\rangle$ ${\ displaystyle P ^ {2} \ left | x \ right \ rangle = \ left | - (- x) \ right \ rangle = \ left | x \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle P ^ {2} \ left | x \ right \ rangle = \ left | - (- x) \ right \ rangle = \ left | x \ right \ rangle}$ , de la care $P^{2}=I$ ${\ displaystyle P ^ {2} = I}$ ${\ displaystyle P ^ {2} = I}$ .

Unitar

P este un operator unitar, deoarece:

P^{\dagger }P=PP^{\dagger }=1

{\ displaystyle P ^ {\ dagger} P = PP ^ {\ dagger} = 1}

{\ displaystyle P ^ {\ dagger} P = PP ^ {\ dagger} = 1}

Operatorii de unitate corespund transformărilor care nu modifică produsul punct. Combinația ultimelor două proprietăți corespunde dovezii că inversând spațiul de două ori avem o transformare identică.

Comutatoare

Operatorul de paritate face naveta cu scalari și pseudovectori , și anticomutează cu vectori și pseudoscalari . De exemplu, acțiunea inversiunii spațiale lasă neschimbată energia și impulsul unghiular , în timp ce semnul impulsului și al helicității se schimbă.

[P,{\vec {L}}]=0

{\ displaystyle [P, {\ vec {L}}] = 0}

{\ displaystyle [P, {\ vec {L}}] = 0}

\{P,{\vec {p}}\}=0

{\ displaystyle \ {P, {\ vec {p}} \} = 0}

{\ displaystyle \ {P, {\ vec {p}} \} = 0}

Autostate și valori proprii

Deoarece P este atât unitar cât și hermitian, valorile proprii ale acestuia trebuie să fie în mod normal unitare și reale, deci una și minus una.

În cele din urmă, funcțiile proprii ale operatorului de paritate sunt funcțiile pare și ciudate:

\psi _{p}(-{\vec {x}}')=+\psi _{p}({\vec {x}}')

{\ displaystyle \ psi _ {p} (- {\ vec {x}} ') = + \ psi _ {p} ({\ vec {x}}')}

{\ displaystyle \ psi _ {p} (- {\ vec {x}} ') = + \ psi _ {p} ({\ vec {x}}')}

\psi _{d}(-{\vec {x}}')=-\psi _{d}({\vec {x}}')

{\ displaystyle \ psi _ {d} (- {\ vec {x}} ') = - \ psi _ {d} ({\ vec {x}}')}

{\ displaystyle \ psi _ {d} (- {\ vec {x}} ') = - \ psi _ {d} ({\ vec {x}}')}

Aplicații

Deoarece hamiltonienul unui sistem simetric prin inversare navighează cu Parity, este garantată existența unei baze simultane a stărilor proprii a celor doi operatori. Aceasta înseamnă că avem dreptul să căutăm funcțiile proprii ale hamiltonienului între funcțiile pare și impare. Un exemplu al acestei proceduri este tratarea puțului potențial finit .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica