Gaura potențială

În mecanica cuantică, putul potențial este un potențial unidimensional care comută între două valori, la un anumit interval $0<x<a$ ${\ displaystyle 0 <x <a}$ ${\ displaystyle 0 <x <a}$ ; cel mai mic dintre cele două niveluri potențiale poate fi întotdeauna setat egal cu zero. O funcție precum:

V(x)={\begin{cases}0&0<x<a\\\infty &x<0;\,x>a\end{cases}}

{\ displaystyle V (x) = {\ begin {cases} 0 & 0 <x <a \\\ infty & x <0; \, x> a \ end {cases}}}

{\ displaystyle V (x) = {\ begin {cases} 0 & 0 <x <a \\\ infty & x <0; \, x> a \ end {cases}}}

constituie un puț cu potențial infinit ^[1] , în timp ce

V(x)={\begin{cases}0&0<x<a\\V_{0}&x<0;\,x>a\end{cases}}

{\ displaystyle V (x) = {\ begin {cases} 0 & 0 <x <a \\ V_ {0} & x <0; \, x> a \ end {cases}}}

{\ displaystyle V (x) = {\ begin {cases} 0 & 0 <x <a \\ V_ {0} & x <0; \, x> a \ end {cases}}}

definește un potențial finit bine .

Schema potențială unidimensională a puțurilor potențiale finite și infinite.

În mod similar, puțurile potențiale pot fi definite în două sau trei dimensiuni.

Groapa potențialului infinit

Ecuația Schrödinger staționară într-o dimensiune este în general

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V(x)\,\psi (x)=E\,\psi (x).

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) + V (x) \, \ psi (x) = E \, \ psi (x).}

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) + V (x) \, \ psi (x) = E \, \ psi (x).}

unde m este masa particulei, E energia stării $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ .

După cum se arată în figură, potențialul împarte regiunea în trei zone: prima pentru $x<0$ ${\ displaystyle x <0}$ ${\ displaystyle x <0}$ , al doilea $0<x<a$ ${\ displaystyle 0 <x <a}$ ${\ displaystyle 0 <x <a}$ iar al treilea pentru $x>a$ ${\ displaystyle x> a}$ ${\ displaystyle x> a}$ ; apoi, problema trebuie tratată în fiecare dintre cele trei zone și soluțiile trebuie apoi conectate la punctele de separare.

Clar în zonă $x<0$ ${\ displaystyle x <0}$ ${\ displaystyle x <0}$ și în zonă $x>a$ ${\ displaystyle x> a}$ ${\ displaystyle x> a}$ singura soluție pentru care $V(x)\to \infty$ ${\ displaystyle V (x) \ to \ infty}$ ${\ displaystyle V (x) \ to \ infty}$ unul are pentru

\psi (x)=0,\qquad x<0,x>a.

{\ displaystyle \ psi (x) = 0, \ qquad x <0, x> a.}

{\ displaystyle \ psi (x) = 0, \ qquad x <0, x> a.}

În zona $0<x<a$ ${\ displaystyle 0 <x <a}$ ${\ displaystyle 0 <x <a}$ , ecuația Schrödinger, pentru $V(x)=0$ ${\ displaystyle V (x) = 0}$ ${\ displaystyle V (x) = 0}$ , coincide cu cea a unei particule libere :

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=E\,\psi (x),

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) = E \, \ psi (x ),}

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) = E \, \ psi (x ),}

unde energiile trebuie să fie pozitive, $E>0$ ${\ displaystyle E> 0}$ ${\ displaystyle E> 0}$ , pentru a avea soluții continue și normalizabile. Astfel, putem introduce vectorul de undă k , astfel încât $k^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}$ ${\ displaystyle k ^ {2} = {\ frac {2mE} {\ hbar ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle k ^ {2} = {\ frac {2mE} {\ hbar ^ {2}}}}$ , pentru a rescrie ecuația Schrödinger ca:

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=-k^{2}\,\psi (x)

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) = - k ^ {2} \, \ psi (x)}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) = - k ^ {2} \, \ psi (x)}

Acesta din urmă are o soluție generală în termeni de exponențiale complexe $e^{\pm ikx}$ ${\ displaystyle e ^ {\ pm ikx}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ pm ikx}}$ :

\psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}

{\ displaystyle \ psi (x) = Ae ^ {ikx} + Be ^ {- ikx}}

{\ displaystyle \ psi (x) = Ae ^ {ikx} + Be ^ {- ikx}}

cu A , B coeficienți reali arbitrari care urmează să fie determinați prin impunerea condițiilor limită. Dar pentru problema noastră nu există state cu $E<0$ ${\ displaystyle E <0}$ ${\ displaystyle E <0}$ . Deci, impunând condițiile la graniță:

\psi (0)=\psi (a)=0

{\ displaystyle \ psi (0) = \ psi (a) = 0}

{\ displaystyle \ psi (0) = \ psi (a) = 0}

noi obținem

\psi (x=0)=A+B=0

{\ displaystyle \ psi (x = 0) = A + B = 0}

{\ displaystyle \ psi (x = 0) = A + B = 0}

acesta este $A=-B$ ${\ displaystyle A = -B}$ ${\ displaystyle A = -B}$

De asemenea pentru

\psi (x=a)=Ae^{ika}+Be^{-ika}=0

{\ displaystyle \ psi (x = a) = Ae ^ {ika} + Be ^ {- ika} = 0}

{\ displaystyle \ psi (x = a) = Ae ^ {ika} + Be ^ {- ika} = 0}

din care înlocuirea expresiilor reale folosind formula lui Euler :

ka=n\pi

{\ displaystyle ka = n \ pi}

{\ displaystyle ka = n \ pi}

Prin urmare, cele două soluții corespund acestei soluții:

\psi (x)=2A\sin {(kx)}

{\ displaystyle \ psi (x) = 2A \ sin {(kx)}}

{\ displaystyle \ psi (x) = 2A \ sin {(kx)}}

unde este $k={\frac {n\pi }{a}}$ ${\ displaystyle k = {\ frac {n \ pi} {a}}}$ ${\ displaystyle k = {\ frac {n \ pi} {a}}}$ la care corespunde o cuantificare a energiei, adică discretizarea energiei particulei în funcție de numărul n = 1, 2, ... număr întreg pozitiv:

k^{2}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\;\;\;\longrightarrow \;\;\;E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n^{2}

{\ displaystyle k ^ {2} = {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {a ^ {2}}} = {\ frac {2mE} {\ hbar ^ {2}}} \ ; \; \; \ longrightarrow \; \; \; E_ {n} = {\ frac {\ pi ^ {2} \ hbar ^ {2}} {2ma ^ {2}}} n ^ {2}}

{\ displaystyle k ^ {2} = {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {a ^ {2}}} = {\ frac {2mE} {\ hbar ^ {2}}} \ ; \; \; \ longrightarrow \; \; \; E_ {n} = {\ frac {\ pi ^ {2} \ hbar ^ {2}} {2ma ^ {2}}} n ^ {2}}

Prin urmare, funcțiile proprii sunt:

\psi _{n}(x)=2A_{n}\sin {(k_{n}x)}

{\ displaystyle \ psi _ {n} (x) = 2A_ {n} \ sin {(k_ {n} x)}}

{\ displaystyle \ psi _ {n} (x) = 2A_ {n} \ sin {(k_ {n} x)}}

Prin impunerea normalizării stărilor, se obține constanta A :

\int _{-\infty }^{+\infty }dx\,{|\psi (x)|}^{2}=1\;\;\;\Longrightarrow \;\;\;\int _{0}^{a}dx\,4{|A_{n}|}^{2}\sin ^{2}{(k_{n}x)}=1

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dx \, {| \ psi (x) |} ^ {2} = 1 \; \; \; \ Longrightarrow \; \; \; \ int _ {0} ^ {a} dx \, 4 {| A_ {n} |} ^ {2} \ sin ^ {2} {(k_ {n} x)} = 1}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dx \, {| \ psi (x) |} ^ {2} = 1 \; \; \; \ Longrightarrow \; \; \; \ int _ {0} ^ {a} dx \, 4 {| A_ {n} |} ^ {2} \ sin ^ {2} {(k_ {n} x)} = 1}

de la care:

2a{|A|}^{2}=1

{\ displaystyle 2a {| A |} ^ {2} = 1}

{\ displaystyle 2a {| A |} ^ {2} = 1}

A={\frac {1}{\sqrt {2a}}}

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {\ sqrt {2a}}}}

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {\ sqrt {2a}}}}

Energia potențială, funcțiile proprii și densitatea probabilității asociate stării fundamentale și a primelor stări excitate ale putului infinit.

Funcțiile proprii normalizate

\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin \left({\frac {n\pi }{a}}x\right)

{\ displaystyle \ psi _ {n} (x) = {\ sqrt {\ frac {2} {a}}} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi} {a}} x \ right)}

{\ displaystyle \ psi _ {n} (x) = {\ sqrt {\ frac {2} {a}}} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi} {a}} x \ right)}

constituie o bază ortonormală pentru spațiul Hilbert ${\mathcal {L}}^{2}(0,a)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {2} (0, a)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {2} (0, a)}$ , fiind:

\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{*}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi _ {n} ^ {*} (x) \ psi _ {m} (x) \, dx = \ delta _ {nm}}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi _ {n} ^ {*} (x) \ psi _ {m} (x) \, dx = \ delta _ {nm}}

Starea de bază corespunde alegerii n = 1 . Urmează stările excitate (vezi figura).

Soluția completă a problemei poate fi exprimată ca dezvoltarea autofuncțiilor energetice:

\Psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\psi _{n}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}{\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin(kx)

{\ displaystyle \ Psi (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} c_ {n} \ psi _ {n} (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} c_ {n} {\ sqrt {\ frac {2} {a}}} \ sin (kx)}

{\ displaystyle \ Psi (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} c_ {n} \ psi _ {n} (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} c_ {n} {\ sqrt {\ frac {2} {a}}} \ sin (kx)}

unde coeficienții $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ sunt date de:

\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{*}(x)\Psi (x)\,dx=\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{*}(x)\psi _{m}(x)\,dx=c_{n}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi _ {n} ^ {*} (x) \ Psi (x) \, dx = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty } c_ {m} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi _ {n} ^ {*} (x) \ psi _ {m} (x) \, dx = c_ {n}}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi _ {n} ^ {*} (x) \ Psi (x) \, dx = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty } c_ {m} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi _ {n} ^ {*} (x) \ psi _ {m} (x) \, dx = c_ {n}}

ale căror module pătrate reprezintă probabilitatea pe care o măsură de energie o dă ca rezultat:

E=E_{n}

{\ displaystyle E = E_ {n}}

{\ displaystyle E = E_ {n}}

Valoarea medie a energiei se obține din:

\langle H\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x)H\Psi (x)\,dx=\sum _{n}c_{n}E_{n}\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x)\psi _{n}(x)\,dx=\sum _{n}|c_{n}|^{2}E_{n}

{\ displaystyle \ langle H \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ Psi ^ {*} (x) H \ Psi (x) \, dx = \ sum _ {n} c_ {n } E_ {n} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ Psi ^ {*} (x) \ psi _ {n} (x) \, dx = \ sum _ {n} | c_ {n } | ^ {2} E_ {n}}

{\ displaystyle \ langle H \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ Psi ^ {*} (x) H \ Psi (x) \, dx = \ sum _ {n} c_ {n } E_ {n} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ Psi ^ {*} (x) \ psi _ {n} (x) \, dx = \ sum _ {n} | c_ {n } | ^ {2} E_ {n}}

Evoluția în timp a funcției de undă este soluția ecuației Schrödinger dependente de timp:

i\hbar {\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=H\Psi (x,t)

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi (x, t)} {\ partial t}} = H \ Psi (x, t)}

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi (x, t)} {\ partial t}} = H \ Psi (x, t)}

și, prin urmare, este:

\Psi (x,t)=\sum _{n}c_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar }\psi _{n}(x)

{\ displaystyle \ Psi (x, t) = \ sum _ {n} c_ {n} e ^ {- iE_ {n} t / \ hbar} \ psi _ {n} (x)}

{\ displaystyle \ Psi (x, t) = \ sum _ {n} c_ {n} e ^ {- iE_ {n} t / \ hbar} \ psi _ {n} (x)}

Gura potențială terminată

Redefinim scala de coordonate astfel încât potențialul să fie simetric pentru reflexii, cum ar fi $x\to -x$ ${\ displaystyle x \ to -x}$ ${\ displaystyle x \ to -x}$ și redefinim scara energiilor pentru a avea:

O gaură potențială terminată în vechea și noua scară a lungimilor și energiilor.

V(x)={\begin{cases}-V_{0}&\vert x\vert <a\\0&\vert x\vert >a\end{cases}}.

{\ displaystyle V (x) = {\ begin {cases} -V_ {0} & \ vert x \ vert <a \\ 0 & \ vert x \ vert> a \ end {cases}}.}

{\ displaystyle V (x) = {\ begin {cases} -V_ {0} & \ vert x \ vert <a \\ 0 & \ vert x \ vert> a \ end {cases}}.}

În acest caz, ecuația Schrödinger în zone $\vert x\vert >a$ ${\ displaystyle \ vert x \ vert> a}$ ${\ displaystyle \ vert x \ vert> a}$ Și $\vert x\vert <a$ ${\ displaystyle \ vert x \ vert <a}$ ${\ displaystyle \ vert x \ vert <a}$ este de tipul:

{\begin{cases}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+|E|\,\psi (x)=0&\,\vert x\vert >a\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)-(V_{0}-|E|)\,\psi (x)=0&\,\vert x\vert <a\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) + | E | \, \ psi (x) = 0 & \, \ vert x \ vert> a \\ - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} { dx ^ {2}}} \ psi (x) - (V_ {0} - | E |) \, \ psi (x) = 0 & \, \ vert x \ vert <a \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) + | E | \, \ psi (x) = 0 & \, \ vert x \ vert> a \\ - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} { dx ^ {2}}} \ psi (x) - (V_ {0} - | E |) \, \ psi (x) = 0 & \, \ vert x \ vert <a \ end {cases}}}

Atâta timp cât

V\left(x\right)=V\left(-x\right),

{\ displaystyle V \ left (x \ right) = V \ left (-x \ right),}

{\ displaystyle V \ left (x \ right) = V \ left (-x \ right),}

operatorul hamiltonian comută cu operatorul de paritate :

\left[H,P\right]=0

{\ displaystyle \ left [H, P \ right] = 0}

{\ displaystyle \ left [H, P \ right] = 0}

Funcțiile de undă soluție ale ecuației Schrödinger sunt funcții proprii de energie și paritate. Să punem cele două cantități reale:

\lambda ^{2}={\frac {2m|E|}{\hbar ^{2}}}

{\ displaystyle \ lambda ^ {2} = {\ frac {2m | E |} {\ hbar ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ lambda ^ {2} = {\ frac {2m | E |} {\ hbar ^ {2}}}}

q^{2}={\frac {2m(V_{0}-|E|)}{\hbar ^{2}}}

{\ displaystyle q ^ {2} = {\ frac {2m (V_ {0} - | E |)} {\ hbar ^ {2}}}}

{\ displaystyle q ^ {2} = {\ frac {2m (V_ {0} - | E |)} {\ hbar ^ {2}}}}

ecuația Schrödinger este rescrisă:

{\begin{cases}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)-\lambda ^{2}\psi (x)=0&\,|x|>a\\{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+q^{2}\psi (x)=0&\,|x|<a\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) - \ lambda ^ {2} \ psi (x) = 0 & \, | x |> a \\ {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) + q ^ {2} \ psi (x) = 0 & \, | x | <a \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) - \ lambda ^ {2} \ psi (x) = 0 & \, | x |> a \\ {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) + q ^ {2} \ psi (x) = 0 & \, | x | <a \ end {cases}}}

Funcțiile de undă sunt date în mod explicit de:

\psi (x)={\begin{cases}e^{i\lambda x}+Be^{-i\lambda x}&\,x<-a\\C\psi ^{+}(x)+D\psi ^{-}(x)&\,-a\leq x\leq a\\De^{i\lambda x}&\,x>a\end{cases}}

{\ displaystyle \ psi (x) = {\ begin {cases} e ^ {i \ lambda x} + Be ^ {- i \ lambda x} & \, x <-a \\ C \ psi ^ {+} ( x) + D \ psi ^ {-} (x) & \, - a \ leq x \ leq a \\ De ^ {i \ lambda x} & \, x> a \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ psi (x) = {\ begin {cases} e ^ {i \ lambda x} + Be ^ {- i \ lambda x} & \, x <-a \\ C \ psi ^ {+} ( x) + D \ psi ^ {-} (x) & \, - a \ leq x \ leq a \\ De ^ {i \ lambda x} & \, x> a \ end {cases}}}

unde funcțiile proprii:

\psi ^{+}\left(x\right)=\psi ^{+}\left(-x\right)

{\ displaystyle \ psi ^ {+} \ left (x \ right) = \ psi ^ {+} \ left (-x \ right)}

{\ displaystyle \ psi ^ {+} \ left (x \ right) = \ psi ^ {+} \ left (-x \ right)}

sunt la egalitate, în timp ce

\psi ^{-}\left(x\right)=-\psi ^{-}\left(-x\right)

{\ displaystyle \ psi ^ {-} \ left (x \ right) = - \ psi ^ {-} \ left (-x \ right)}

{\ displaystyle \ psi ^ {-} \ left (x \ right) = - \ psi ^ {-} \ left (-x \ right)}

sunt pare pare.

Să ne ocupăm de cazul funcțiilor proprii chiar luând exponențiale reale:

\psi ^{+}(x)={\begin{cases}Be^{\lambda x}&\,x<-a\\C\cos(qx)&\,-a\leq x\leq a\\Be^{-\lambda x}&\,x>a\end{cases}}

{\ displaystyle \ psi ^ {+} (x) = {\ begin {cases} Be ^ {\ lambda x} & \, x <-a \\ C \ cos (qx) & \, - a \ leq x \ leq a \\ Be ^ {- \ lambda x} & \, x> a \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ psi ^ {+} (x) = {\ begin {cases} Be ^ {\ lambda x} & \, x <-a \\ C \ cos (qx) & \, - a \ leq x \ leq a \\ Be ^ {- \ lambda x} & \, x> a \ end {cases}}}

pentru paritatea funcțiilor proprii este suficient să se impună condiția de continuitate a funcției de undă și prima sa derivată în $x=-a$ ${\ displaystyle x = -a}$ ${\ displaystyle x = -a}$ pentru ca aceeași condiție să fie îndeplinită în $x=a$ ${\ displaystyle x = a}$ $x = a$ :

\psi ^{+}(x)={\begin{cases}Be^{-\lambda a}=C\cos(qa)\\B\lambda e^{-\lambda a}=Cq\sin(qa)\end{cases}}

{\ displaystyle \ psi ^ {+} (x) = {\ begin {cases} Be ^ {- \ lambda a} = C \ cos (qa) \\ B \ lambda e ^ {- \ lambda a} = Cq \ sin (qa) \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ psi ^ {+} (x) = {\ begin {cases} Be ^ {- \ lambda a} = C \ cos (qa) \\ B \ lambda e ^ {- \ lambda a} = Cq \ sin (qa) \ end {cases}}}

din aceste două obținem:

q\tan(qa)=\lambda

{\ displaystyle q \ tan (qa) = \ lambda}

{\ displaystyle q \ tan (qa) = \ lambda}

Această ecuație poate fi rezolvată grafic. Definim:

y=qa,\qquad y_{0}^{2}={\frac {2mV_{0}a^{2}}{\hbar ^{2}}}

{\ displaystyle y = qa, \ qquad y_ {0} ^ {2} = {\ frac {2mV_ {0} a ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}}}

{\ displaystyle y = qa, \ qquad y_ {0} ^ {2} = {\ frac {2mV_ {0} a ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}}}

de la care:

\lambda ^{2}\,a^{2}=y_{0}^{2}-q^{2}\,a^{2}=y_{0}^{2}-y^{2}{\text{.}}

{\ displaystyle \ lambda ^ {2} \, a ^ {2} = y_ {0} ^ {2} -q ^ {2} \, a ^ {2} = y_ {0} ^ {2} -y ^ {2} {\ text {.}}}

{\ displaystyle \ lambda ^ {2} \, a ^ {2} = y_ {0} ^ {2} -q ^ {2} \, a ^ {2} = y_ {0} ^ {2} -y ^ {2} {\ text {.}}}

Prin graficarea celor doi membri ai ecuației:

\tan y={\frac {\sqrt {y_{0}^{2}-y^{2}}}{y}}\qquad {\mbox{ per }}\quad y^{2}\leq y_{0}^{2}

{\ displaystyle \ tan y = {\ frac {\ sqrt {y_ {0} ^ {2} -y ^ {2}}} {y}} \ qquad {\ mbox {per}} \ quad y ^ {2} \ leq y_ {0} ^ {2}}

{\ displaystyle \ tan y = {\ frac {\ sqrt {y_ {0} ^ {2} -y ^ {2}}} {y}} \ qquad {\ mbox {per}} \ quad y ^ {2} \ leq y_ {0} ^ {2}}

obținem din intersecții soluțiile care corespund nivelurilor discrete de energie.

În mod similar, în cazul funcțiilor proprii ciudate:

\psi ^{-}(x)={\begin{cases}B^{\prime }e^{\lambda x}&\,x<-a\\C^{\prime }\sin(qx)&\,-a\leq x\leq a\\B^{\prime }e^{-\lambda x}&\,x>a\end{cases}}

{\ displaystyle \ psi ^ {-} (x) = {\ begin {cases} B ^ {\ prime} e ^ {\ lambda x} & \, x <-a \\ C ^ {\ prime} \ sin ( qx) & \, - a \ leq x \ leq a \\ B ^ {\ prime} e ^ {- \ lambda x} & \, x> a \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ psi ^ {-} (x) = {\ begin {cases} B ^ {\ prime} e ^ {\ lambda x} & \, x <-a \\ C ^ {\ prime} \ sin ( qx) & \, - a \ leq x \ leq a \\ B ^ {\ prime} e ^ {- \ lambda x} & \, x> a \ end {cases}}}

pentru paritatea funcțiilor proprii este suficient să se impună condiția de continuitate a funcției de undă și prima sa derivată în $x=a$ ${\ displaystyle x = a}$ $x = a$ pentru ca aceeași condiție să fie îndeplinită în $x=-a$ ${\ displaystyle x = -a}$ ${\ displaystyle x = -a}$ :

\psi ^{-}(x)={\begin{cases}B^{\prime }e^{-\lambda a}=-C^{\prime }\sin(qa)\\B^{\prime }\lambda e^{-\lambda a}=C^{\prime }q\cos(qa)\end{cases}}

{\ displaystyle \ psi ^ {-} (x) = {\ begin {cases} B ^ {\ prime} e ^ {- \ lambda a} = - C ^ {\ prime} \ sin (qa) \\ B ^ {\ prime} \ lambda e ^ {- \ lambda a} = C ^ {\ prime} q \ cos (qa) \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ psi ^ {-} (x) = {\ begin {cases} B ^ {\ prime} e ^ {- \ lambda a} = - C ^ {\ prime} \ sin (qa) \\ B ^ {\ prime} \ lambda e ^ {- \ lambda a} = C ^ {\ prime} q \ cos (qa) \ end {cases}}}

din aceste două obținem:

q\cot(qa)=-\lambda

{\ displaystyle q \ cot (qa) = - \ lambda}

{\ displaystyle q \ cot (qa) = - \ lambda}

Soluția acestei ecuații se poate face grafic, reprezentând grafic cei doi membri ai ecuației:

-\cot y={\frac {\sqrt {y_{0}^{2}-y^{2}}}{y}}\qquad {\mbox{ per }}\quad y^{2}\leq y_{0}^{2}

{\ displaystyle - \ cot y = {\ frac {\ sqrt {y_ {0} ^ {2} -y ^ {2}}} {y}} \ qquad {\ mbox {per}} \ quad y ^ {2 } \ leq y_ {0} ^ {2}}

{\ displaystyle - \ cot y = {\ frac {\ sqrt {y_ {0} ^ {2} -y ^ {2}}} {y}} \ qquad {\ mbox {per}} \ quad y ^ {2 } \ leq y_ {0} ^ {2}}

pe care le putem rescrie sub forma:

\tan y=-{\frac {y}{\sqrt {y_{0}^{2}-y^{2}}}}\qquad {\mbox{ per }}\quad y^{2}\leq y_{0}^{2}

{\ displaystyle \ tan y = - {\ frac {y} {\ sqrt {y_ {0} ^ {2} -y ^ {2}}}} \ qquad {\ mbox {per}} \ quad y ^ {2 } \ leq y_ {0} ^ {2}}

{\ displaystyle \ tan y = - {\ frac {y} {\ sqrt {y_ {0} ^ {2} -y ^ {2}}}} \ qquad {\ mbox {per}} \ quad y ^ {2 } \ leq y_ {0} ^ {2}}

Obținem din intersecții soluțiile care corespund nivelurilor discrete de energie.

Energia potențială și densitatea probabilității asociate cu stările proprii ale puțului potențial finit în cazul y ₀ = 6 .

De exemplu, pentru $y_{0}=6$ ${\ displaystyle y_ {0} = 6}$ ${\ displaystyle y_ {0} = 6}$ , soluțiile grafice sunt prezentate în figură. Observăm că fiecare stat propriu este de două ori degenerat.