Auto-funcționare

În matematică , o funcție proprie este un vector propriu într-un spațiu funcțional . Funcțiile proprii au o mare importanță în mecanica cuantică , unde reprezintă stările proprii ale unui operator pe baza poziției.

Definiție

O funcție proprie a unui operator liniar $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ definită într-un spațiu funcțional este o funcție non-nulă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ astfel încât, dacă este aplicat operatorului în acest spațiu, se întoarce la un factor mai mic decât multiplicator. Adică, ecuația are:

Af=\lambda f\

{\ displaystyle Af = \ lambda f \}

{\ displaystyle Af = \ lambda f \}

unde scalarul particular λ se numește valoarea proprie .

Un exemplu foarte semnificativ în matematică și fizică este cel al funcției de sine:

f_{k}(x)=e^{kx}\

{\ displaystyle f_ {k} (x) = e ^ {kx} \}

{\ displaystyle f_ {k} (x) = e ^ {kx} \}

operatorului diferențial :

{\mathcal {A}}={\frac {d}{dx}}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {d} {dx}}}

{\ mathcal A} = {\ frac {d} {dx}}

pentru fiecare $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , care corespunde unei valori proprii $\lambda =k$ ${\ displaystyle \ lambda = k}$ $\ lambda = k$ . Intr-adevar:

{\mathcal {A}}(e^{kx})=ke^{kx}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} (e ^ {kx}) = ke ^ {kx}}

{\ mathcal A} (e ^ {{kx}}) = ke ^ {{kx}}

pentru regulile uzuale de derivare .

Funcții proprii în mecanica cuantică

În mecanica cuantică , dat un observabil $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și propriul său autostat $|f\rangle$ ${\ displaystyle | f \ rangle}$ ${\ displaystyle | f \ rangle}$ , funcția proprie generică a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este funcția de undă a autostatului, adică autostatul din baza poziției:

\psi _{f}(x)=\langle x|f\rangle

{\ displaystyle \ psi _ {f} (x) = \ langle x | f \ rangle}

{\ displaystyle \ psi _ {f} (x) = \ langle x | f \ rangle}

Dacă operatorul reprezintă un observabil, acesta este Hermitian : funcțiile sale proprii sunt ortogonale, iar statele proprii corespund vectorilor proprii ai matricei Hermitian de dimensiune finită care reprezintă operatorul.

Cele mai cunoscute funcții proprii sunt cele ale energiei. Ecuația Schrödinger :

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\mathcal {H}}\psi

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi = {\ mathcal {H}} \ psi}

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi = {\ mathcal {H}} \ psi}

unde este $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este operatorul hamiltonian , are soluții de formă:

\psi (t)=\sum _{k}e^{-iE_{k}t/\hbar }\phi _{k}(x)

{\ displaystyle \ psi (t) = \ sum _ {k} e ^ {- iE_ {k} t / \ hbar} \ phi _ {k} (x)}

{\ displaystyle \ psi (t) = \ sum _ {k} e ^ {- iE_ {k} t / \ hbar} \ phi _ {k} (x)}

in care:

\phi _{k}(x)=\langle x|k\rangle

{\ displaystyle \ phi _ {k} (x) = \ langle x | k \ rangle}

{\ displaystyle \ phi _ {k} (x) = \ langle x | k \ rangle}

sunt funcții proprii ale $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ cu valori proprii $E_{k}$ ${\ displaystyle E_ {k}}$ $E_ {k}$ . Dacă sistemul este conservator vectorii $|k\rangle$ ${\ displaystyle | k \ rangle}$ ${\ displaystyle | k \ rangle}$ ele reprezintă stările proprii de energie în care sistemul rămâne neschimbat în timp, care sunt utilizate pe scară largă pentru a descrie sistemele atomice și moleculare în condiții stabile.

Funcții de sine proprii și necorespunzătoare

Având în vedere ecuația Schrödinger pentru funcția de undă $u(x)$ ${\ displaystyle u (x)}$ $tu (x)$ referitoare la propriile stări energetice:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}u(x)+V(\mathbf {r} )u(x)=Eu(x)

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} u (x) + V (\ mathbf {r}) u (x) = Eu (x)}

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} u (x) + V (\ mathbf {r}) u (x) = Eu (x)}

există două familii de soluții:

\left\{u_{n}(x)\right\}\quad ;\quad \left\{u_{\lambda }(x)\right\}

{\ displaystyle \ left \ {u_ {n} (x) \ right \} \ quad; \ quad \ left \ {u _ {\ lambda} (x) \ right \}}

{\ displaystyle \ left \ {u_ {n} (x) \ right \} \ quad; \ quad \ left \ {u _ {\ lambda} (x) \ right \}}

Primul este familia funcțiilor proprii corespunzătoare, raportate la valorile proprii proprii $E_{n}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$ care constituie un set discret de valori. Aceste funcții proprii sunt pătrate sumabile și condiția de ortonormalizare este:

\langle u_{n}|u_{n'}\rangle =\int dx\,u_{n}^{*}(x)u_{n'}(x)=\delta _{n,n'}

{\ displaystyle \ langle u_ {n} | u_ {n '} \ rangle = \ int dx \, u_ {n} ^ {*} (x) u_ {n'} (x) = \ delta _ {n, n '}}

{\ displaystyle \ langle u_ {n} | u_ {n '} \ rangle = \ int dx \, u_ {n} ^ {*} (x) u_ {n'} (x) = \ delta _ {n, n '}}

Al doilea este familia funcțiilor proprii necorespunzătoare, referitoare la valorile proprii necorespunzătoare $E_{\lambda }$ ${\ displaystyle E _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle E _ {\ lambda}}$ care constituie un set continuu de valori. Aceste funcții proprii nu sunt sumare pătrate și condiția de ortonormalizare este:

\langle u_{\lambda }|u_{\lambda '}\rangle =\int dx\,u_{\lambda }^{*}(x)u_{\lambda '}(x)=\delta ({\lambda -\lambda '})

{\ displaystyle \ langle u _ {\ lambda} | u _ {\ lambda '} \ rangle = \ int dx \, u _ {\ lambda} ^ {*} (x) u _ {\ lambda'} (x) = \ delta ({\ lambda - \ lambda '})}

{\ displaystyle \ langle u _ {\ lambda} | u _ {\ lambda '} \ rangle = \ int dx \, u _ {\ lambda} ^ {*} (x) u _ {\ lambda'} (x) = \ delta ({\ lambda - \ lambda '})}

Funcțiile proprii adecvate se caracterizează prin faptul că spectrul valorilor energetice accesibile sistemului este discret: este o caracteristică a stărilor legate, caracterizate printr-un potențial pozitiv. Pe de altă parte, funcțiile proprii necorespunzătoare sunt caracterizate printr-un spectru continuu, deoarece ecuația diferențială are o soluție pentru fiecare vector de undă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ . Aceste funcții proprii nu sunt sumare pătrate și sunt indexate de parametru $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ aparținând mulțimii numerelor reale . Se aplică și:

\langle u_{n}|u_{\lambda '}\rangle =\int dx\,u_{n}^{*}(x)u_{\lambda '}(x)=0

{\ displaystyle \ langle u_ {n} | u _ {\ lambda '} \ rangle = \ int dx \, u_ {n} ^ {*} (x) u _ {\ lambda'} (x) = 0}

{\ displaystyle \ langle u_ {n} | u _ {\ lambda '} \ rangle = \ int dx \, u_ {n} ^ {*} (x) u _ {\ lambda'} (x) = 0}

Dacă propriile funcții de sine $u_{n}(x)$ ${\ displaystyle u_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle u_ {n} (x)}$ și necorespunzător $u_{\lambda }(x)$ ${\ displaystyle u _ {\ lambda} (x)}$ ${\ displaystyle u _ {\ lambda} (x)}$ constituie un sistem ortonormal complet generalizat (sonc), atunci produsul scalar este definit de:

\langle g|f\rangle =\sum _{n}{\tilde {g}}_{n}^{*}{\tilde {f}}_{n}+\int d\lambda _{1}\dots \lambda _{k}{\tilde {g}}_{\lambda }^{*}{\tilde {f}}_{\lambda }

{\ displaystyle \ langle g | f \ rangle = \ sum _ {n} {\ tilde {g}} _ {n} ^ {*} {\ tilde {f}} _ {n} + \ int d \ lambda _ {1} \ dots \ lambda _ {k} {\ tilde {g}} _ {\ lambda} ^ {*} {\ tilde {f}} _ {\ lambda}}

{\ displaystyle \ langle g | f \ rangle = \ sum _ {n} {\ tilde {g}} _ {n} ^ {*} {\ tilde {f}} _ {n} + \ int d \ lambda _ {1} \ dots \ lambda _ {k} {\ tilde {g}} _ {\ lambda} ^ {*} {\ tilde {f}} _ {\ lambda}}

și o funcție de undă generică $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ soluția ecuației Schrödinger poate fi exprimată în funcție de funcțiile proprii:

f(x)=\sum _{n}u_{n}(x){\tilde {f}}_{n}+\int d\lambda _{1}\dots \lambda _{k}u_{\lambda }(x){\tilde {f}}_{\lambda }

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n} u_ {n} (x) {\ tilde {f}} _ {n} + \ int d \ lambda _ {1} \ dots \ lambda _ {k} u _ {\ lambda} (x) {\ tilde {f}} _ {\ lambda}}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n} u_ {n} (x) {\ tilde {f}} _ {n} + \ int d \ lambda _ {1} \ dots \ lambda _ {k} u _ {\ lambda} (x) {\ tilde {f}} _ {\ lambda}}

cu:

{\tilde {f}}_{n}=\int dx\,u_{n}^{*}(x)f(x)\quad ;\quad {\tilde {f}}_{\lambda }=\int dx\,u_{\lambda }^{*}(x)f(x)

{\ displaystyle {\ tilde {f}} _ {n} = \ int dx \, u_ {n} ^ {*} (x) f (x) \ quad; \ quad {\ tilde {f}} _ {\ lambda} = \ int dx \, u _ {\ lambda} ^ {*} (x) f (x)}

{\ displaystyle {\ tilde {f}} _ {n} = \ int dx \, u_ {n} ^ {*} (x) f (x) \ quad; \ quad {\ tilde {f}} _ {\ lambda} = \ int dx \, u _ {\ lambda} ^ {*} (x) f (x)}

Particulă liberă

Același subiect în detaliu: particule libere .

Cel mai important exemplu de funcții proprii necorespunzătoare este cazul unui hamiltonian care descrie o particulă liberă, în care funcțiile proprii ale energiei coincid cu funcțiile proprii ale operatorului de impuls , deoarece cei doi operatori ${\hat {H}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat {H}}$ Și ${\hat {p}}$ ${\ displaystyle {\ hat {p}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {p}}}$ fac naveta și, prin urmare, posedă o bază comună a statelor proprii .

Ecuația staționară Schrödinger pentru funcțiile proprii ale particulelor libere este în general

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\phi (x)=E\,\phi (x).

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ phi (x) = E \, \ phi (x ).}

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ phi (x) = E \, \ phi (x ).}

unde este $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este masa particulei și $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ energia statului $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ .

Soluția generală, dependentă de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , poate fi scris sub forma:

\phi _{k}(x)=A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx},

{\ displaystyle \ phi _ {k} (x) = A \, e ^ {ikx} + B \, e ^ {- ikx},}

{\ displaystyle \ phi _ {k} (x) = A \, e ^ {ikx} + B \, e ^ {- ikx},}

cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ coeficienți reali arbitrari care urmează să fie determinați. Se remarcă faptul că această soluție nu este un pătrat sumabil și nu descrie stări legate, prin urmare este o funcție automată necorespunzătoare.

Cea mai generală funcție de undă în cazul unei particule libere este pachetul de undă într-o singură dimensiune:

\psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dp\,\phi (p)e^{i(px-{\frac {p^{2}}{2m}}t)/\hbar }

{\ displaystyle \ psi (x, t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ int dp \, \ phi (p) e ^ {i (px - {\ frac { p ^ {2}} {2m}} t) / \ hbar}}

\ psi (x, t) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}}} \ int dp \, \ phi (p) e ^ {{i (px - {\ frac { p ^ {2}} {2m}} t) / \ hbar}}

Funcția proprie a impulsului este, prin urmare, transformata Fourier a funcției de undă în baza poziției, și invers funcția de undă este antitransforma sa.

Funcțiile proprii ale momentului unghiular orbital

Același subiect în detaliu: funcții proprii ale impulsului unghiular .

Funcțiile proprii ale momentului unghiular orbital sunt funcțiile proprii simultane ale ${\vec {L}}^{2}$ ${\ displaystyle {\ vec {L}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L}} ^ {2}}$ și componenta sa $L_{z}\$ ${\ displaystyle L_ {z} \}$ ${\ displaystyle L_ {z} \}$ . Sunt:

Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=\Theta (\theta )\cdot \Phi (\varphi )=\Theta (\theta )\cdot e^{im\varphi }

{\ displaystyle Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) = \ Theta (\ theta) \ cdot \ Phi (\ varphi) = \ Theta (\ theta) \ cdot e ^ {im \ varphi}}

{\ displaystyle Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) = \ Theta (\ theta) \ cdot \ Phi (\ varphi) = \ Theta (\ theta) \ cdot e ^ {im \ varphi}}

unde este:

\Phi (\varphi )=e^{im\varphi }

{\ displaystyle \ Phi (\ varphi) = e ^ {im \ varphi}}

{\ displaystyle \ Phi (\ varphi) = e ^ {im \ varphi}}

Și:

\Theta _{l,m}=C{\frac {1}{(\sin \theta )^{m}}}\left({\frac {d}{d(\cos \theta )}}\right)^{l-m}(1-\cos ^{2}\theta )^{l}

{\ displaystyle \ Theta _ {l, m} = C {\ frac {1} {(\ sin \ theta) ^ {m}}} \ left ({\ frac {d} {d (\ cos \ theta)} } \ dreapta) ^ {lm} (1- \ cos ^ {2} \ theta) ^ {l}}

{\ displaystyle \ Theta _ {l, m} = C {\ frac {1} {(\ sin \ theta) ^ {m}}} \ left ({\ frac {d} {d (\ cos \ theta)} } \ dreapta) ^ {lm} (1- \ cos ^ {2} \ theta) ^ {l}}

unde încorporăm constantele de normalizare în factor $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ . Deci soluția completă este dată:

Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=C{\frac {e^{im\varphi }}{(\sin \theta )^{m}}}\left({\frac {d}{d(\cos \theta )}}\right)^{l-m}(1-\cos ^{2}\theta )^{l}

{\ displaystyle Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) = C {\ frac {e ^ {im \ varphi}} {(\ sin \ theta) ^ {m}}} \ left ({\ frac { d} {d (\ cos \ theta)}} \ right) ^ {lm} (1- \ cos ^ {2} \ theta) ^ {l}}

{\ displaystyle Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) = C {\ frac {e ^ {im \ varphi}} {(\ sin \ theta) ^ {m}}} \ left ({\ frac { d} {d (\ cos \ theta)}} \ right) ^ {lm} (1- \ cos ^ {2} \ theta) ^ {l}}

aceste soluții sunt bine cunoscute fizicii matematice și se numesc armonici sferice , care depind în mod evident de valorile lui $l=0,1,\dots$ ${\ displaystyle l = 0,1, \ dots}$ ${\ displaystyle l = 0,1, \ dots}$ și $m=-l,-l+1,\dots ,l$ ${\ displaystyle m = -l, -l + 1, \ dots, l}$ ${\ displaystyle m = -l, -l + 1, \ dots, l}$ . Armonicele sferice au proprietăți de paritate importante, inclusiv:

Y_{l,m}(\pi -\theta ,\varphi +\pi )=(-1)^{l}Y_{l,m}

{\ displaystyle Y_ {l, m} (\ pi - \ theta, \ varphi + \ pi) = (- 1) ^ {l} Y_ {l, m}}

{\ displaystyle Y_ {l, m} (\ pi - \ theta, \ varphi + \ pi) = (- 1) ^ {l} Y_ {l, m}}

care are un sens fizic direct, reprezintă inversiunea spațială a coordonatelor polare sferice.

Bibliografie

(EN) Sunny Y. Auyang, How is Quantum Field Theory Possible, Oxford University Press, 1995, ISBN 978-01-95-09344-5 .
(EN) George W. Mackey, Fundamente matematice ale mecanicii cuantice , WA Benjamin, 1963, ISBN 978-08-05-36701-0 .
( EN ) Veeravalli S. Varadarajan, Geometria mecanicii cuantice, vol. 1 și 2 , Springer-Verlag, 1985, ISBN 978-03-87-96124-8 .