Operatorul momentului cinetic

Operatorul impuls unghiular L“(cunoscut și ca moment unghiular orbital) este același cuantum al momentului cinetic al mecanicii clasice , și anume momentul impulsului . Este generatorul de rotații în spațiu.

Definiție

momentului cinetic este momentul de impuls. Prin urmare, este definit ca:

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ ori \ mathbf {p}}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ ori \ mathbf {p}}

unde este $\times$ ${\ Displaystyle \ ori}$ $\ ori$ Acesta este produsul vectorial . Are componente clasic carteziene :

{\begin{cases}L_{x}=yp_{z}-zp_{y}\\L_{y}=zp_{x}-xp_{z}\\L_{z}=xp_{y}-yp_{x}\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} L_ {x} = yp_ {z} -zp_ {y} \\ L_ {y} = zp_ {x} -xp_ {z} \\ L_ {z} = xp_ {y} -yp_ {x} \ end {cazuri}}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} L_ {x} = yp_ {z} -zp_ {y} \\ L_ {y} = zp_ {x} -xp_ {z} \\ L_ {z} = xp_ {y} -yp_ {x} \ end {cazuri}}}

În mecanica cuantică momentul cinetic este reprezentat de operatorul dat de:

L_{x}=-i\hbar \left(y{\partial  \over \partial z}-z{\partial  \over \partial y}\right)

{\ Displaystyle L_ {x} = - i \ hbar \ stânga (y {\ parțial \ peste \ parțială z} -z {\ parțial \ y peste \ parțială} \ dreapta)}

{\ Displaystyle L_ {x} = - i \ hbar \ stânga (y {\ parțial \ peste \ parțială z} -z {\ parțial \ y peste \ parțială} \ dreapta)}

L_{y}=-i\hbar \left(z{\partial  \over \partial x}-x{\partial  \over \partial z}\right)

{\ Displaystyle L_ {y} = - i \ hbar \ stânga (z {\ parțial \ x peste \ parțial} -x {\ parțial \ z peste \ parțial} \ dreapta)}

{\ Displaystyle L_ {y} = - i \ hbar \ stânga (z {\ parțial \ x peste \ parțial} -x {\ parțial \ z peste \ parțial} \ dreapta)}

L_{z}=-i\hbar \left(x{\partial  \over \partial y}-y{\partial  \over \partial x}\right)

{\ L_ displaystyle {z} = - i \ hbar \ stânga (x {\ parțial \ y peste \ parțiale} -y {\ parțial \ x peste \ parțială} \ dreapta)}

{\ L_ displaystyle {z} = - i \ hbar \ stânga (x {\ parțial \ y peste \ parțiale} -y {\ parțial \ x peste \ parțială} \ dreapta)}

sau rescrierea componentelor carteziene clasice prin intermediul " Pulse Operator :

\mathbf {p} =-i\hbar \nabla

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = -i \ hbar \ nabla}

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = -i \ hbar \ nabla}

scrisă în baza coordonatelor.

rotațiile

În mecanica clasică o rotație cu un unghi $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , În jurul unei axe (de exemplu, z) este descrisă de o matrice ortogonală :

R_{z}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle R_ {z} (\ alpha) = {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha & - \ păcat \ alpha & 0 \\\ păcat \ alpha & \ cos \ alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle R_ {z} (\ alpha) = {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha & - \ păcat \ alpha & 0 \\\ păcat \ alpha & \ cos \ alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

în mod similar, pentru celelalte axe. In general, o rotație în spațiu este descrisă de compoziția trei rotații unice pe axele:

R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \gamma &\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \gamma &-\sin \beta \cos \gamma \\-\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\sin \beta \sin \gamma \\\cos \alpha \sin \beta &\sin \alpha \sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}

{\ Displaystyle R_ {xyz} (\ alpha, \ beta, \ gamma) = {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha \ cos \ beta \ cos \ gamma - \ păcatul \ alpha \ păcat \ gamma & \ păcat \ alpha \ cos \ beta \ cos \ gamma + \ cos \ alpha \ păcat \ gamma & - \ păcatul \ beta \ cos \ gamma \\ - \ cos \ alpha \ cos \ beta \ păcatul \ gamma & - \ păcat \ alpha \ cos \ beta \ păcat \ gamma + \ cos \ alpha \ cos \ gamma & \ păcatul \ beta \ păcat \ gamma \\\ cos \ alpha \ păcat \ beta & \ păcat \ alpha \ păcat \ beta & \ cos \ beta \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle R_ {xyz} (\ alpha, \ beta, \ gamma) = {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha \ cos \ beta \ cos \ gamma - \ păcatul \ alpha \ păcat \ gamma & \ păcat \ alpha \ cos \ beta \ cos \ gamma + \ cos \ alpha \ păcat \ gamma & - \ păcatul \ beta \ cos \ gamma \\ - \ cos \ alpha \ cos \ beta \ păcatul \ gamma & - \ păcat \ alpha \ cos \ beta \ păcat \ gamma + \ cos \ alpha \ cos \ gamma & \ păcatul \ beta \ păcat \ gamma \\\ cos \ alpha \ păcat \ beta & \ păcat \ alpha \ păcat \ beta & \ cos \ beta \ end {pmatrix}}}

matricea $R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )$ ${\ Displaystyle R_ {xyz} (\ alpha, \ beta, \ gamma)}$ ${\ Displaystyle R_ {xyz} (\ alpha, \ beta, \ gamma)}$ este o matrice reală și ortogonală specială, care este

R=R^{*}\quad ;\quad R^{T}=R^{-1}\quad ;\quad \det R=1

{\ Displaystyle R = R ^ {*} \ quad; \ quad R ^ {T} = R ^ {- 1} \ quad; \ quad \ det R = 1}

{\ Displaystyle R = R ^ {*} \ quad; \ quad R ^ {T} = R ^ {- 1} \ quad; \ quad \ det R = 1}

.

Rotațiile infinitezimale

Considerăm că rotațiile infinitezimale un unghi $\varepsilon$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ pe fiecare dintre cele trei axe:

R_{z}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon &0\\\varepsilon &1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle R_ {z} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon & 0 \\\ varepsilon & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle R_ {z} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon & 0 \\\ varepsilon & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

R_{x}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon \\0&\varepsilon &1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle R_ {x} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon \\ 0 & \ varepsilon & 1- {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle R_ {x} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon \\ 0 & \ varepsilon & 1- {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} \ end {pmatrix}}}

R_{y}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&0&-\varepsilon \\0&1&0\\\varepsilon &0&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle R_ {y} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & 0 & - \ varepsilon \\ 0 & 1 & 0 \\ \ varepsilon & 0 & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle R_ {y} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & 0 & - \ varepsilon \\ 0 & 1 & 0 \\ \ varepsilon & 0 & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} \ end {pmatrix}}}

infinitezimal unghiuri pe care le - am dezvoltat în serie de puteri. Acum, să compun rotații x, y:

R_{x}(\varepsilon )\cdot R_{y}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&0&-\varepsilon \\-\varepsilon ^{2}&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon \\\varepsilon &\varepsilon &1-\varepsilon ^{2}\end{pmatrix}}

{\ R_ displaystyle {x} (\ varepsilon) \ cdot R_ {y} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & 0 & - \ varepsilon \ \ - \ varepsilon ^ {2} & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon \\\ varepsilon & \ varepsilon & 1- \ varepsilon ^ {2} \ end {pmatrix}}}

{\ R_ displaystyle {x} (\ varepsilon) \ cdot R_ {y} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & 0 & - \ varepsilon \ \ - \ varepsilon ^ {2} & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon \\\ varepsilon & \ varepsilon & 1- \ varepsilon ^ {2} \ end {pmatrix}}}

Și

R_{y}(\varepsilon )\cdot R_{x}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon ^{2}&-\varepsilon \\0&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon \\\varepsilon &\varepsilon &1-\varepsilon ^{2}\end{pmatrix}}

{\ R_ displaystyle {y} (\ varepsilon) \ cdot R_ {x} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon ^ {2} & - \ varepsilon \\ 0 & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon \\\ varepsilon & \ varepsilon & 1- \ varepsilon ^ {2} \ end {pmatrix}}}

{\ R_ displaystyle {y} (\ varepsilon) \ cdot R_ {x} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon ^ {2} & - \ varepsilon \\ 0 & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon \\\ varepsilon & \ varepsilon & 1- \ varepsilon ^ {2} \ end {pmatrix}}}

Să vedem aceste două comutatorul cantități:

R_{y}(\varepsilon )\cdot R_{x}(\varepsilon )-R_{x}(\varepsilon )\cdot R_{y}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}0&-\varepsilon ^{2}&0\\\varepsilon ^{2}&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}=R_{z}(\varepsilon ^{2})-{\hat {I}}

{\ R_ displaystyle {y} (\ varepsilon) \ cdot R_ {x} (\ varepsilon) -R_ {x} (\ varepsilon) \ cdot R_ {y} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ varepsilon ^ {2} & 0 \\\ varepsilon ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} = R_ {z} (\ varepsilon ^ {2}) - {\ hat {I}}}

{\ R_ displaystyle {y} (\ varepsilon) \ cdot R_ {x} (\ varepsilon) -R_ {x} (\ varepsilon) \ cdot R_ {y} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ varepsilon ^ {2} & 0 \\\ varepsilon ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} = R_ {z} (\ varepsilon ^ {2}) - {\ hat {I}}}

Ei bine, componentele momentelor unghiulare pe diferite axe nu fac naveta.

Momentul cinetic ca un generator de rotații în spațiu

De sine ${\hat {R}}_{z}(\alpha )$ ${\ Displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ alpha)}$ ${\ Displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ alpha)}$ Este operatorul de rotație în jurul axei z și se aplică la o funcția de undă $\psi (x,y,z)$ ${\ Displaystyle \ psi (x, y, z)}$ $\ Psi (x, y, z)$ noi obținem:

{\hat {R}}_{z}(\alpha )\psi (x,y,z)=\psi (x\cos \alpha +y\sin \alpha ,-x\sin \alpha +y\cos \alpha ,z)

{\ Displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ alpha) \ psi (x, y, z) = \ psi (x \ cos \ alpha + y \ păcat \ alpha, -x \ păcat \ alpha + y \ cos \ alpha, z)}

{\ Displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ alpha) \ psi (x, y, z) = \ psi (x \ cos \ alpha + y \ păcat \ alpha, -x \ păcat \ alpha + y \ cos \ alpha, z)}

Considerând loc o rotație infinitezimal, de exemplu, de-a lungul axei z:

{\hat {R}}_{z}(\varepsilon )\psi (x,y,z)\simeq \psi (x+\varepsilon y,-\varepsilon x+y,z)\simeq \psi (x,y,z)+\varepsilon \left(y{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-x{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\right)

{\ Displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ varepsilon) \ psi (x, y, z) \ simeq \ psi (x + \ varepsilon y, - \ varepsilon x + y, z) \ simeq \ psi (x, y, z) + \ varepsilon \ stânga (y {\ frac {\ parțial \ psi} {\ x parțial}} - x {\ frac {\ parțial \ psi} {\ y parțial}} \ dreapta) }

{\ Displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ varepsilon) \ psi (x, y, z) \ simeq \ psi (x + \ varepsilon y, - \ varepsilon x + y, z) \ simeq \ psi (x, y, z) + \ varepsilon \ stânga (y {\ frac {\ parțial \ psi} {\ x parțial}} - x {\ frac {\ parțial \ psi} {\ y parțial}} \ dreapta) }

categoric:

{\hat {R}}_{z}(\varepsilon )\psi (x,y,z)\simeq \left({\hat {I}}-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon {\hat {L}}_{z}\right)\psi (x,y,z)

{\ Displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ varepsilon) \ psi (x, y, z) \ simeq \ stânga ({\ hat {I}} - {\ frac {i} {\ hbar} } \ varepsilon {\ hat {L}} _ {z} \ dreapta) \ psi (x, y, z)}

{\ Displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ varepsilon) \ psi (x, y, z) \ simeq \ stânga ({\ hat {I}} - {\ frac {i} {\ hbar} } \ varepsilon {\ hat {L}} _ {z} \ dreapta) \ psi (x, y, z)}

Apoi, operatorul de rotație infinitezimal este tocmai factorul între paranteze care, după cum putem vedea, conține componenta de-a lungul axei ${\hat {z}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ Hat z}$ momentului unghiular, astfel încât operatorul ${\hat {L}}_{z}$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ Hat L} _ {z}$ este generatorul de rotație în jurul axei ${\hat {z}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ Hat z}$ . Deoarece o rotație finită poate fi obținută ca suma $Nu.$ ${\ N} displaystyle$ $Nu.$ rotațiile infinitezimale: $d\alpha ={\frac {\alpha }{N}}$ ${\ Displaystyle d \ alpha = {\ frac {\ alpha} {N}}}$ ${\ Displaystyle d \ alpha = {\ frac {\ alpha} {N}}}$ , asa de:

\psi (\mathbf {r} +d\mathbf {r} )=\left({\hat {I}}+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\alpha }{N}}{\hat {\mathbf {L} }}\right)^{N}\psi (\mathbf {r} )

{\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r} + d \ mathbf {r}) = \ stânga ({\ hat {I}} + {\ frac {i} {\ hbar}} {\ frac {\ alpha} { N}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ dreapta) ^ {N} \ psi (\ mathbf {r})}

{\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r} + d \ mathbf {r}) = \ stânga ({\ hat {I}} + {\ frac {i} {\ hbar}} {\ frac {\ alpha} { N}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ dreapta) ^ {N} \ psi (\ mathbf {r})}

în cazul în care am folosit notația tridimensională. Facem limita $N\to \infty$ ${\ N displaystyle \ la \ infty}$ $N \ a \ infty$ din această expresie:

\psi (\mathbf {r} ')=\exp {\left(\alpha {\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}\psi (\mathbf {r} )

{\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r} „) = \ exp {\ stânga (\ alpha {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ dreapta)} \ psi (\ mathbf {r})}

{\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r} „) = \ exp {\ stânga (\ alpha {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ dreapta)} \ psi (\ mathbf {r})}

Pentru a confirma acest lucru, teorema Noether pentru Lagrangianului statele care pentru orice simetrie a Lagrangianului, în acest caz , invarianta să se rotească în raport cu o axă, de exemplu axa j, există o cantitate conservată egal cu

Q^{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\delta q^{j}

{\ Q displaystyle ^ {j} = {\ frac {\ parțial {\ mathcal {L}}} {\ parțial {\ dot {q}} ^ {i}}} \ delta q ^ {j}}

{\ Q displaystyle ^ {j} = {\ frac {\ parțial {\ mathcal {L}}} {\ parțial {\ dot {q}} ^ {i}}} \ delta q ^ {j}}

Această cantitate conservată generează transformarea responsabilă de simetrie. În cazul unei rotații, transformarea este

\mathbf {x} \longrightarrow \mathbf {x'} =\mathbf {x} +\delta \mathbf {x}

{\ Displaystyle \ mathbf {x} \ longrightarrow \ mathbf {x „} = \ mathbf {x} + \ delta \ mathbf {x}}

{\ Displaystyle \ mathbf {x} \ longrightarrow \ mathbf {x „} = \ mathbf {x} + \ delta \ mathbf {x}}

și că avem

\delta \mathbf {x^{j}} ={-\varepsilon x^{k} \choose \varepsilon x^{i}}=\delta q

{\ Displaystyle \ delta \ mathbf {x ^ {j}} = {- \ varepsilon x ^ {k} \ alege \ varepsilon x ^ {i}} = \ delta q}

{\ Displaystyle \ delta \ mathbf {x ^ {j}} = {- \ varepsilon x ^ {k} \ alege \ varepsilon x ^ {i}} = \ delta q}

prin urmare:

Q^{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{i}}}\delta x^{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{i}}}{-\varepsilon x^{k} \choose \varepsilon x^{i}}=-p^{i}\varepsilon x^{k}+p^{k}\varepsilon x^{i}=\varepsilon (x^{i}p^{k}-x^{k}p^{i})=\varepsilon L^{j}\

{\ Q displaystyle ^ {j} = {\ frac {\ parțial {\ mathcal {L}}} {\ parțial {\ dot {x}} ^ {i}}} \ delta x ^ {j} = {\ frac {\ parțial {\ mathcal {L}}} {\ parțial {\ dot {x}} ^ {i}}} {- \ varepsilon x ^ {k} \ alege \ varepsilon x ^ {i}} = - p ^ {i} \ varepsilon x ^ {k} + p ^ {k} \ varepsilon x ^ {i} = \ varepsilon (x ^ {i} p ^ {k} -x ^ {k} p ^ {i}) = \ varepsilon L ^ {j} \}

{\ Q displaystyle ^ {j} = {\ frac {\ parțial {\ mathcal {L}}} {\ parțial {\ dot {x}} ^ {i}}} \ delta x ^ {j} = {\ frac {\ parțial {\ mathcal {L}}} {\ parțial {\ dot {x}} ^ {i}}} {- \ varepsilon x ^ {k} \ alege \ varepsilon x ^ {i}} = - p ^ {i} \ varepsilon x ^ {k} + p ^ {k} \ varepsilon x ^ {i} = \ varepsilon (x ^ {i} p ^ {k} -x ^ {k} p ^ {i}) = \ varepsilon L ^ {j} \}

Proprietățile momentului cinetic

Pe baza proprietăților rotații în spațiu, operatorul de rotație

\exp {\left(\alpha {\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}

{\ Displaystyle \ exp {\ stânga (\ alpha {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ dreapta)}}

{\ Displaystyle \ exp {\ stânga (\ alpha {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ dreapta)}}

acesta trebuie să aibă proprietatea de a reproduce aceeași rotație de rotații de identitate, adică $\alpha \to 0$ ${\ Displaystyle \ alpha \ la 0}$ ${\ Displaystyle \ alpha \ la 0}$ :

\lim _{\alpha \to 0}\exp {\left(\alpha {\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}={\hat {I}}

{\ Displaystyle \ lim _ {\ alpha \ la 0} \ exp {\ stânga (\ alpha {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ dreapta)} = {\ hat {I}}}

{\ Displaystyle \ lim _ {\ alpha \ la 0} \ exp {\ stânga (\ alpha {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ dreapta)} = {\ hat {I}}}

în plus, următoarele rotațiile trebuie să poată scriere:

\exp {\left(\alpha _{1}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}\exp {\left(\alpha _{2}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}=\exp {\left[(\alpha _{1}+\alpha _{2}){\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right]}

{\ Displaystyle \ exp {\ stânga (\ alpha _ {1} {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ dreapta)} \ exp {\ stânga (\ alpha _ {2} {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ dreapta)} = \ exp {\ stânga [(\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} ) {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right]}}

{\ Displaystyle \ exp {\ stânga (\ alpha _ {1} {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ dreapta)} \ exp {\ stânga (\ alpha _ {2} {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ dreapta)} = \ exp {\ stânga [(\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} ) {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right]}}

Mai mult decât atât, prin aplicarea unui directă și o rotație inversă a același unghi, trebuie să revină la starea inițială:

\exp {\left(\alpha _{1}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}\exp {\left(-\alpha _{1}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}={\hat {I}}

{\ Displaystyle \ exp {\ stânga (\ alpha _ {1} {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ dreapta)} \ exp {\ stânga (- \ alpha _ {1} {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ dreapta)} = {\ hat {I}}}

{\ Displaystyle \ exp {\ stânga (\ alpha _ {1} {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ dreapta)} \ exp {\ stânga (- \ alpha _ {1} {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ dreapta)} = {\ hat {I}}}

proprietăţi de comutare

Același subiect în detaliu: comutator (matematică) .

Comutatorul între cele două componente ale momentului cinetic este după cum urmează:

{\begin{aligned}\left[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}\right]&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]+{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{x}]+[{\hat {y}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{z}+[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]+[{\hat {y}},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]{\hat {p}}_{z}+{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]+[{\hat {z}},{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]{\hat {p}}_{y}\\&={\hat {y}}{\hat {z}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {p}}_{x}]+{\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{x}+{\hat {z}}[{\hat {y}},{\hat {p}}_{x}]{\hat {p}}_{z}+[{\hat {y}},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{x}{\hat {p}}_{z}+{\hat {z}}{\hat {x}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z}]+{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{z}+{\hat {x}}[{\hat {z}},{\hat {p}}_{z}]{\hat {p}}_{y}+[{\hat {z}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{z}{\hat {p}}_{y}\\&={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{x}+{\hat {x}}[{\hat {z}},{\hat {p}}_{z}]{\hat {p}}_{y}\\&=i\hbar ({\hat {x}}{\hat {p}}_{y}-{\hat {y}}{\hat {p}}_{x})=i\hbar L_{z}\\\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} \ stânga [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {L}} _ {y} \ right] & = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {x} - {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z}] \\ & = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {x}] + {\ hat {zn}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {p}} _ {x}] + [{\ hat {y }}, {\ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {z} + [{\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z}] \\ & = {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {x}] + [{\ hat {y}}, {\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {x}] {\ hat {p}} _ {z} + {\ hat { z}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z}] + [{\ hat {zn}}, {\ hat {x }} {\ hat {p}} _ {z}] {\ hat {p}} _ {y} \\ & = {\ hat {y}} {\ hat {zn}} [{\ hat {p} } _ {z}, {\ hat {p}} _ {x}] + {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {zn}}] {\ hat {p}} _ {x} + {\ hat {zn}} [{\ hat {y}}, {\ hat {p}} _ {x}] {\ hat {p}} _ {z} + [ {\ hat {y}}, {\ hat {zn}}] {\ hat {p}} _ {x} {\ hat {p}} _ {z} + {\ hat {zn}} {\ hat { x}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {p}} _ {z}] + {\ hat {zn}} [{\ hat {p}} _ {y}, { \ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {z} + {\ hat {x}} [{\ hat {zn}}, {\ hat {p}} _ {z}] {\ hat {p}} _ {y} + [{\ hat {zn}}, {\ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {z} {\ hat {p}} _ {y} \\ & = {\ h la {y}} [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {zn}}] {\ hat {p}} _ {x} + {\ hat {x}} [{\ hat { z}}, {\ hat {p}} _ {z}] {\ hat {p}} _ {y} \\ & = i \ hbar ({\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {x}) = i \ hbar L_ {z} \\\ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} \ stânga [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {L}} _ {y} \ right] & = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {x} - {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z}] \\ & = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {x}] + {\ hat {zn}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {p}} _ {x}] + [{\ hat {y }}, {\ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {z} + [{\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z}] \\ & = {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {x}] + [{\ hat {y}}, {\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {x}] {\ hat {p}} _ {z} + {\ hat { z}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z}] + [{\ hat {zn}}, {\ hat {x }} {\ hat {p}} _ {z}] {\ hat {p}} _ {y} \\ & = {\ hat {y}} {\ hat {zn}} [{\ hat {p} } _ {z}, {\ hat {p}} _ {x}] + {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {zn}}] {\ hat {p}} _ {x} + {\ hat {zn}} [{\ hat {y}}, {\ hat {p}} _ {x}] {\ hat {p}} _ {z} + [ {\ hat {y}}, {\ hat {zn}}] {\ hat {p}} _ {x} {\ hat {p}} _ {z} + {\ hat {zn}} {\ hat { x}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {p}} _ {z}] + {\ hat {zn}} [{\ hat {p}} _ {y}, { \ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {z} + {\ hat {x}} [{\ hat {zn}}, {\ hat {p}} _ {z}] {\ hat {p}} _ {y} + [{\ hat {zn}}, {\ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {z} {\ hat {p}} _ {y} \\ & = {\ h la {y}} [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {zn}}] {\ hat {p}} _ {x} + {\ hat {x}} [{\ hat { z}}, {\ hat {p}} _ {z}] {\ hat {p}} _ {y} \\ & = i \ hbar ({\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {x}) = i \ hbar L_ {z} \\\ end {aliniat}}}

unde comută între componentele ${\hat {r}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {r}}}$ ${\ Hat r}$ Și ${\hat {p}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {p}}}$ ${\ Hat p}$ toate sunt nule, cu excepția cazului $[{\hat {j}},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar$ ${\ Displaystyle [{\ hat {j}}, {\ hat {p}} _ {j}] = i \ hbar}$ ${\ Displaystyle [{\ hat {j}}, {\ hat {p}} _ {j}] = i \ hbar}$ cu $j=x,y,z$ ${\ Displaystyle j = x, y, z}$ ${\ Displaystyle j = x, y, z}$ .

Prin analogie ne găsim pe ceilalți, rezumând:

[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {L}} _ {y}] = i \ hbar {\ hat {L}} _ {z}}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {L}} _ {y}] = i \ hbar {\ hat {L}} _ {z}}

[{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}]=i\hbar {\hat {L}}_{x}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {y}, {\ hat {L}} _ {z}] = i \ hbar {\ hat {L}} _ {x}}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {y}, {\ hat {L}} _ {z}] = i \ hbar {\ hat {L}} _ {x}}

[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]=i\hbar {\hat {L}}_{y}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {x}] = i \ hbar {\ hat {L}} _ {y}}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {x}] = i \ hbar {\ hat {L}} _ {y}}

Operatorul poate fi construit ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}}$ ${\ Hat {{\ mathbf {L}}}} ^ {2}$ , Care este operatorul:

{\begin{aligned}{\hat {\mathbf {L} }}^{2}&=({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})^{2}=[({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})_{x}]^{2}+[({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})_{y}]^{2}+[({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})_{z}]^{2}\\&={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} & = ({\ hat {\ mathbf {r}}} \ ori {\ hat {\ mathbf {p}} }) ^ {2} = [({\ hat {\ mathbf {r}}} \ ori {\ hat {\ mathbf {p}}}) _ {x}] ^ {2} + [({\ hat { \ mathbf {r}}} \ ori {\ hat {\ mathbf {p}}}) _ {y}] ^ {2} + [({\ hat {\ mathbf {r}}} \ ori {\ hat { \ mathbf {p}}}) _ {z}] ^ {2} \\ & = {\ hat {L}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {y} ^ { 2} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2} \ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} & = ({\ hat {\ mathbf {r}}} \ ori {\ hat {\ mathbf {p}} }) ^ {2} = [({\ hat {\ mathbf {r}}} \ ori {\ hat {\ mathbf {p}}}) _ {x}] ^ {2} + [({\ hat { \ mathbf {r}}} \ ori {\ hat {\ mathbf {p}}}) _ {y}] ^ {2} + [({\ hat {\ mathbf {r}}} \ ori {\ hat { \ mathbf {p}}}) _ {z}] ^ {2} \\ & = {\ hat {L}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {y} ^ { 2} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2} \ end {aliniat}}}

Acest operator comută cu componentele momentului unghiular, de fapt:

{\begin{aligned}\left[{\hat {L}}_{z},{\hat {\mathbf {L} }}^{2}\right]&=[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}]\\&=[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}^{2}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{y}^{2}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{z}^{2}]\\&={\hat {L}}_{x}[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]{\hat {L}}_{x}+{\hat {L}}_{y}[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{y}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{y}]{\hat {L}}_{y}\\&=i\hbar {\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{y}+i\hbar {\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{x}-i\hbar {\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{x}-i\hbar {\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{y}\\&=0\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} \ stânga [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} \ right] & = [{\ hat {L }} _ {z}, {\ hat {L}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2}] \\ & = [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {x} ^ {2}] + [{\ hat {L}} _ {z }, {\ hat {L}} _ {y} ^ {2}] + [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {z} ^ {2}] \\ & = {\ hat {L}} _ {x} [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {x}] + [{\ hat {L}} _ {z }, {\ hat {L}} _ {x}] {\ hat {L}} _ {x} + {\ hat {L}} _ {y} [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {y}] + [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {y}] {\ hat {L}} _ {y} \ \ & = i \ hbar {\ hat {L}} _ {x} {\ hat {L}} _ {y} + i \ hbar {\ hat {L}} _ {y} {\ hat {L}} _ {x} -i \ hbar {\ hat {L}} _ {y} {\ hat {L}} _ {x} -i \ hbar {\ hat {L}} _ {x} {\ hat {L }} _ {y} \\ & = 0 \ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} \ stânga [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} \ right] & = [{\ hat {L }} _ {z}, {\ hat {L}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2}] \\ & = [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {x} ^ {2}] + [{\ hat {L}} _ {z }, {\ hat {L}} _ {y} ^ {2}] + [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {z} ^ {2}] \\ & = {\ hat {L}} _ {x} [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {x}] + [{\ hat {L}} _ {z }, {\ hat {L}} _ {x}] {\ hat {L}} _ {x} + {\ hat {L}} _ {y} [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {y}] + [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {y}] {\ hat {L}} _ {y} \ \ & = i \ hbar {\ hat {L}} _ {x} {\ hat {L}} _ {y} + i \ hbar {\ hat {L}} _ {y} {\ hat {L}} _ {x} -i \ hbar {\ hat {L}} _ {y} {\ hat {L}} _ {x} -i \ hbar {\ hat {L}} _ {x} {\ hat {L }} _ {y} \\ & = 0 \ end {aliniat}}}

și în mod similar:

[{\hat {L}}_{x},{\hat {\mathbf {L} }}^{2}]=0

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}] = 0}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}] = 0}

[{\hat {L}}_{y},{\hat {\mathbf {L} }}^{2}]=0

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {y}, {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}] = 0}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {y}, {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}] = 0}

adică, componentele navetei momentului unghiular cu operatorul ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}}$ ${\ Hat {{\ mathbf {L}}}} ^ {2}$ .

Să vedem cum se comportă cu momentele cinetice a operatorilor de poziție și impuls .

[{\hat {L}}_{x},{\hat {x}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {x}}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {x}}]-[{\hat {z}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{y}-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]+[{\hat {z}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{y}=0

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {x}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {zn }} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {x}} ] - [{\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}}] = {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z} , {\ hat {x}}] - [{\ hat {zn}}, {\ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {zn}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}}] + [{\ hat {zn}}, {\ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {y} = 0}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {x}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {zn }} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {x}} ] - [{\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}}] = {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z} , {\ hat {x}}] - [{\ hat {zn}}, {\ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {zn}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}}] + [{\ hat {zn}}, {\ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {y} = 0}

[{\hat {L}}_{x},{\hat {y}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {y}}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {y}}]-[{\hat {z}},{\hat {y}}]{\hat {p}}_{y}-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]+[{\hat {z}},{\hat {y}}]{\hat {p}}_{y}=-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]=i\hbar {\hat {z}}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {y}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {zn }} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {y}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {y}} ] - [{\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {y}}] = {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z} , {\ hat {y}}] - [{\ hat {zn}}, {\ hat {y}}] {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {zn}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {y}}] + [{\ hat {zn}}, {\ hat {y}}] {\ hat {p}} _ {y} = - {\ hat {z}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {y}}] = i \ hbar {\ hat {z}}}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {y}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {zn }} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {y}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {y}} ] - [{\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {y}}] = {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z} , {\ hat {y}}] - [{\ hat {zn}}, {\ hat {y}}] {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {zn}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {y}}] + [{\ hat {zn}}, {\ hat {y}}] {\ hat {p}} _ {y} = - {\ hat {z}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {y}}] = i \ hbar {\ hat {z}}}

[{\hat {L}}_{x},{\hat {z}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}]={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]-[{\hat {z}},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{y}-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}]+[{\hat {z}},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{y}=-{\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]=-i\hbar {\hat {y}}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {z}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {zn }} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {zn}} ] - [{\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}}] = {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z} , {\ hat {z}}] - [{\ hat {zn}}, {\ hat {zn}}] {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {zn}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}}] + [{\ hat {zn}}, {\ hat {zn}}] {\ hat {p}} _ {y} = - {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}}] = - i \ hbar {\ hat {y}}}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {z}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {zn }} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {zn}} ] - [{\ hat {zn}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}}] = {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z} , {\ hat {z}}] - [{\ hat {zn}}, {\ hat {zn}}] {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {zn}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}}] + [{\ hat {zn}}, {\ hat {zn}}] {\ hat {p}} _ {y} = - {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}}] = - i \ hbar {\ hat {y}}}

De asemenea ${\hat {L}}_{y}$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {y}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {y}}$ Și ${\hat {L}}_{z}$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ Hat L} _ {z}$ , În general, avem că componenta a momentului cinetic pe o axă comuta numai cu coordonate acestei axe, într-o formă compactă:

[{\hat {L}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {x}}_{k}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {i}, {\ hat {x}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {x}} _ {k}}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {i}, {\ hat {x}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {x}} _ {k}}

unde este ${\hat {x}}_{j}=({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})$ ${\ Displaystyle {\ hat {x}} _ {j} = ({\ hat {x}}, {\ hat {y}}, {\ hat {z}})}$ ${\ Displaystyle {\ hat {x}} _ {j} = ({\ hat {x}}, {\ hat {y}}, {\ hat {z}})}$ Și $\varepsilon _{ijk}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ $\ Varepsilon_ {ijk}$ este simbolul Levi-Civita , care este egală cu +1 pentru permutări egale cu indici, -1 pentru permutări impare și 0 dacă doi indici sunt egale.

În ceea ce comutațiile cu momente, exact același lucru este valabil:

[{\hat {L}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {p}} _ {k}}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {p}} _ {k}}

Spectrul momentului cinetic

Același subiect în detaliu: Spectrum (matematică) .

Componentele momentului cinetic nu se fac naveta unul cu altul, dar toate fac naveta în mod individual cu momentul unghiular pătrat operatorului. Putem alege doar o singură componentă, pentru simplitate ${\hat {L}}_{z}$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ Hat L} _ {z}$ . Ecuațiile sunt valori proprii:

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l\rangle =a|l\rangle

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} | l \ rangle = a | l \ rangle}

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} | l \ rangle = a | l \ rangle}

{\hat {L}}_{z}|m\rangle =b|m\rangle

{\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z} | m \ rangle = b | m \ rangle}

{\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z} | m \ rangle = b | m \ rangle}

De cand ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}}$ ${\ Hat {{\ mathbf {L}}}} ^ {2}$ întrerupătoare cu ${\hat {L}}_{z}$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ Hat L} _ {z}$ , Ele au o bază comună de eigenstates, și, prin urmare, eigenstates $|l\rangle$ ${\ Displaystyle | l \ rangle}$ ${\ Displaystyle | l \ rangle}$ Și $|m\rangle$ ${\ Displaystyle | m \ rangle}$ ${\ Displaystyle | m \ rangle}$ coincid și sunt indicate cu $|l,m\rangle$ ${\ Displaystyle | l, m \ rangle}$ ${\ Displaystyle | l, m \ rangle}$ .

Trebuie să găsim ceea ce sunt valorile proprii $L$ ${\ L displaystyle}$ $L$ , $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , Uneori, notată cu $L$ ${\ L displaystyle}$ $L$ , $l_{z}$ ${\ Displaystyle l_ {z}}$ ${\ Displaystyle l_ {z}}$ , Sau cu) simultană a acestor operatori:

\left\{{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =a|l,m\rangle \\{\hat {L}}_{z}|l,m\rangle =b|l,m\rangle \end{matrix}}\right.

{\ Displaystyle \

din

stânga \ {{\ begin {matrix} {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} | l, m \ rangle = a | l, m \ rangle \\ {\ hat {L} } _ {z} | l, m \ rangle = b

.

| l, m \ rangle \ end {matrix}} \ dreapta}

{\ Displaystyle \ din stânga \ {{\ begin {matrix} {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} | l, m \ rangle = a | l, m \ rangle \\ {\ hat {L} } _ {z} | l, m \ rangle = b. | l, m \ rangle \ end {matrix}} \ dreapta}

Pentru a face acest lucru sunt de intrare la doi operatori, astfel de operatori la scară sau operatori scara :

{\hat {L}}_{\pm }={\hat {L}}_{x}\pm i{\hat {L}}_{y}

{\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {\ pm} = {\ hat {L}} _ {x} \ i pm {\ hat {L}} _ {y}}

{\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {\ pm} = {\ hat {L}} _ {x} \ i pm {\ hat {L}} _ {y}}

care sunt conjugate reciproc complexe și nu sunt Hermitian . Acești operatori au proprietăți:

[{\hat {L}}_{+},{\hat {L}}_{-}]=2\hbar {\hat {L}}_{z}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {+}, {\ hat {L}} _ {-}] = 2 \ hbar {\ hat {L}} _ {z}}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {+}, {\ hat {L}} _ {-}] = 2 \ hbar {\ hat {L}} _ {z}}

[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{\pm }]=\pm \hbar {\hat {L}}_{\pm }

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {\ pm}] = \ pm \ hbar {\ hat {L}} _ {\ pm}}

{\ Displaystyle [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {\ pm}] = \ pm \ hbar {\ hat {L}} _ {\ pm}}

[{\hat {\mathbf {L} }}^{2},{\hat {L}}_{\pm }]=0

{\ Displaystyle [{\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}, {\ hat {L}} _ {\ pm}] = 0}

{\ Displaystyle [{\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}, {\ hat {L}} _ {\ pm}] = 0}

Operatorul ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}}$ ${\ Hat {{\ mathbf {L}}}} ^ {2}$ poate fi exprimată în termeni de ${\hat {L}}_{z}$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ Hat L} _ {z}$ și operatorii de scară:

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}={\hat {L}}_{+}{\hat {L}}_{-}+{\hat {L}}_{z}^{2}-\hbar {\hat {L}}_{z}={\hat {L}}_{-}{\hat {L}}_{+}+{\hat {L}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {L}}_{z}

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} = {\ hat {L}} _ {+} {\ hat {L}} _ {-} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2} - \ hbar {\ hat {L}} _ {z} = {\ hat {L}} _ {-} {\ hat {L}} _ {+} + {\ hat {L }} _ {z} ^ {2} + \ hbar {\ hat {L}} _ {z}}

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} = {\ hat {L}} _ {+} {\ hat {L}} _ {-} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2} - \ hbar {\ hat {L}} _ {z} = {\ hat {L}} _ {-} {\ hat {L}} _ {+} + {\ hat {L }} _ {z} ^ {2} + \ hbar {\ hat {L}} _ {z}}

Pentru a vedea ce sensul ${\hat {L}}_{\pm }$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {\ pm}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {\ pm}}$ Să vedem cum ${\hat {L}}_{z}$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ Hat L} _ {z}$ Acesta acționează asupra statului ${\hat {L}}_{\pm }|l,l_{z}\rangle$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {\ pm} | l, l_ {z} \ rangle}$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {\ pm} | l, l_ {z} \ rangle}$ :

{\hat {L}}_{z}\left({\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle \right)=\left([{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{\pm }]+{\hat {L}}_{\pm }{\hat {L}}_{z}\right)|l,m\rangle =(b\pm \hbar )\left({\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle \right)

{\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z} \ stânga ({\ hat {L}} _ {\ pm} | l, m \ rangle \ dreapta) = \ stânga ([{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {\ pm}] + {\ hat {L}} _ {\ pm} {\ hat {L}} _ {z} \ dreapta) | l, m \ rangle = (b \ pm \ hbar) \ stânga ({\ hat {L}} _ {\ pm} | l, m \ rangle \ dreapta)}

{\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z} \ stânga ({\ hat {L}} _ {\ pm} | l, m \ rangle \ dreapta) = \ stânga ([{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {\ pm}] + {\ hat {L}} _ {\ pm} {\ hat {L}} _ {z} \ dreapta) | l, m \ rangle = (b \ pm \ hbar) \ stânga ({\ hat {L}} _ {\ pm} | l, m \ rangle \ dreapta)}

adică prin aplicarea ${\hat {L}}_{+}$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {+}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {+}}$ , Valorii proprii de ${\hat {L}}_{z}$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ Hat L} _ {z}$ crește cu $\hbar$ ${\ Displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ , Vice-versa prin aplicarea ${\hat {L}}_{-}$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {-}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {-}}$ , Valorii proprii de ${\hat {L}}_{z}$ ${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ Hat L} _ {z}$ scade cu $\hbar$ ${\ Displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ , De unde și numele operatorilor la scară. In schimb:

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}\left({\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle \right)={\hat {L}}_{\pm }{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =a{\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} \ stânga ({\ hat {L}} _ {\ pm} | l, m \ rangle \ dreapta) = {\ hat {L}} _ {\ pm} {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} | l, m \ rangle = a {\ hat {L}} _ {\ pm} | l, m \ rangle}

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}\left({\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle \right)={\hat {L}}_{\pm }{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =a{\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle

cioè l'applicazione degli operatori ${\hat {L}}_{\pm }$ ${\hat {L}}_{\pm }$ ${\hat {L}}_{\pm }$ cambiano gli autovalori di ${\hat {L}}_{z}$ ${\hat {L}}_{z}$ ${\hat L}_{z}$ , ma non di ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {{\mathbf {L}}}}^{2}$ .

Per ovvi motivi di proiezione, la relazione che lega ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {{\mathbf {L}}}}^{2}$ ed ${\hat {L}}_{z}$ ${\hat {L}}_{z}$ ${\hat L}_{z}$ è:

\langle l,m|({\hat {\mathbf {L} }}^{2}-{\hat {L}}_{z}^{2})|l,m\rangle =\langle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}-{\hat {L}}_{z}^{2}\rangle \geq 0

\langle l,m|({\hat {\mathbf {L} }}^{2}-{\hat {L}}_{z}^{2})|l,m\rangle =\langle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}-{\hat {L}}_{z}^{2}\rangle \geq 0

\langle l,m|({\hat {\mathbf {L} }}^{2}-{\hat {L}}_{z}^{2})|l,m\rangle =\langle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}-{\hat {L}}_{z}^{2}\rangle \geq 0

ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:

-a\leq b\leq a

-a\leq b\leq a

-a\leq b\leq a

cioè gli autovalori della proiezione del momento angolare non possono superare quelli di ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {{\mathbf {L}}}}^{2}$ : fisicamente ciò significa che b assume il suo valore massimo quando ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {{\mathbf {L}}}}^{2}$ coincide con la direzione dell'asse z , così la sua proiezione ${\hat {L}}_{z}$ ${\hat {L}}_{z}$ ${\hat L}_{z}$ coincide con ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {{\mathbf {L}}}}^{2}$ , in tal caso $a=b$ ${\displaystyle a=b}$ $a=b$ . Quindi l'autovalore di ${\hat {L}}_{z}$ ${\hat {L}}_{z}$ ${\hat L}_{z}$ è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {{\mathbf {L}}}}^{2}$ .

Siano $b_{min}$ $b_{min}$ $b_{{min}}$ il valore minimo e $b_{max}$ $b_{max}$ $b_{{max}}$ il valore massimo che può assumere ${\hat {L}}_{z}$ ${\hat {L}}_{z}$ ${\hat L}_{z}$ . Applicando successivamente gli operatori di scala ${\hat {L}}_{+},{\hat {L}}_{-}$ ${\hat {L}}_{+},{\hat {L}}_{-}$ ${\hat {L}}_{+},{\hat {L}}_{-}$ , si capisce che deve essere:

{\hat {L}}_{+}|a,b_{max}\rangle =0

{\hat {L}}_{+}|a,b_{max}\rangle =0

{\hat {L}}_{+}|a,b_{max}\rangle =0

{\hat {L}}_{-}|a,b_{min}\rangle =0

{\hat {L}}_{-}|a,b_{min}\rangle =0

{\hat {L}}_{-}|a,b_{min}\rangle =0

Ora applichiamo

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|a,b_{max}\rangle =({\hat {L}}_{-}{\hat {L}}_{+}+{\hat {L}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {L}}_{z})|a,b_{max}\rangle =(b_{max}^{2}\hbar ^{2}+b_{max}\hbar ^{2})|a,b_{max}\rangle

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|a,b_{max}\rangle =({\hat {L}}_{-}{\hat {L}}_{+}+{\hat {L}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {L}}_{z})|a,b_{max}\rangle =(b_{max}^{2}\hbar ^{2}+b_{max}\hbar ^{2})|a,b_{max}\rangle

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|a,b_{max}\rangle =({\hat {L}}_{-}{\hat {L}}_{+}+{\hat {L}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {L}}_{z})|a,b_{max}\rangle =(b_{max}^{2}\hbar ^{2}+b_{max}\hbar ^{2})|a,b_{max}\rangle

cioè:

a=(b_{max}^{2}+b_{max})\hbar ^{2}=\hbar ^{2}b_{max}(b_{max}+1)

a=(b_{max}^{2}+b_{max})\hbar ^{2}=\hbar ^{2}b_{max}(b_{max}+1)

a=(b_{max}^{2}+b_{max})\hbar ^{2}=\hbar ^{2}b_{max}(b_{max}+1)

Quindi l'autovalore di ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ è $\hbar ^{2}a(a+1)$ $\hbar ^{2}a(a+1)$ $\hbar ^{2}a(a+1)$ , dove a deve essere intero o semintero. Ora per quanto detto:

-a\leq b\leq a

-a\leq b\leq a

-a\leq b\leq a

e anche qui b deve essere intero o semintero, perché tutti i valori di b sono distanti $\hbar$ $\hbar$ $\hbar$ uno dall'altro (ricordiamo che le grandezze quantistiche si misurano in unità di $\hbar$ $\hbar$ $\hbar$ ), dove se k è un intero, fissato a , vi sono (2k+1) valori di b , cioè $b=\{-a,-a+1,\dots ,a\}$ $b=\{-a,-a+1,\dots ,a\}$ $b=\{-a,-a+1,\dots ,a\}$ per cui se a è intero lo è anche b e se a è semintero, lo è anche b . Si può dimostrare che gli autovalori a sono interi e quindi anche b sono interi: con questa scelta otteniamo infine le equazioni agli autovalori di ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {{\mathbf {L}}}}^{2}$ e ${\hat {L}}_{z}$ ${\hat {L}}_{z}$ ${\hat L}_{z}$ :

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)|l,m\rangle

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)|l,m\rangle

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)|l,m\rangle

{\hat {L}}_{z}|l,m\rangle =m\hbar |l,m\rangle

{\hat {L}}_{z}|l,m\rangle =m\hbar |l,m\rangle

{\hat {L}}_{z}|l,m\rangle =m\hbar |l,m\rangle

dove $l=0,1,\dots$ $l=0,1,\dots$ $l=0,1,\dots$ è il numero quantico orbitale ed $m=\{-l,-l+1,\dots ,l\}$ $m=\{-l,-l+1,\dots ,l\}$ $m=\{-l,-l+1,\dots ,l\}$ è il numero quantico magnetico.

Autofunzioni del momento angolare

Lo stesso argomento in dettaglio: Autofunzioni del momento angolare e Armoniche sferiche .

Il momento angolare si introduce quando si affrontano problemi a simmetria sferica mediante l'uso delle coordinate sferiche . Non potendo diagonalizzare le tre componenti, si diagonalizzano simultaneamente (dato che commutano) il suo modulo quadro e la sua componente lungo $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ . La sua rappresentazione spaziale è:

L^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}

L^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}

L^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}

Mentre quella lungo $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ è:

L_{z}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}

L_{z}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}

L_{z}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}

Le autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ e della sua componente lungo $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ sono dette armoniche sferiche, le cui equazioni agli autovalori sono: