Operator scară

În algebra liniară (și mecanica cuantică ), un operator de creștere sau scădere (sau creștere și scădere , respectiv, cunoscut colectiv ca operatori de scară ) este un operator care crește sau scade valoarea proprie a unui alt operator. În mecanica cuantică, operatorul de ascensiune este uneori numit operator de creație , iar operatorul de coborâre este operatorul de distrugere . În mecanica cuantică, operatorii scării sunt aplicați în mod notoriu în formalismele oscilatorului cuantic armonic și momentului unghiular .

Terminologie

Există o oarecare confuzie cu privire la relația dintre operatorii scării și operatorii de creație și distrugere utilizați în mod obișnuit în teoria cuantică a câmpului (sau QFT în engleză). Operatorul de creație a _i ^† crește numărul de particule în starea i , în timp ce operatorul de distrugere corespunzător a _i scade numărul de particule în starea i . Acest lucru îndeplinește în mod clar cerințele definiției operatorului de scară de mai sus: creșterea sau scăderea valorii proprii a unui alt operator.

Confuzia apare deoarece termenul operator de scară este de obicei folosit pentru a descrie un operator care acționează pentru a crește sau descrește un număr cuantic care descrie starea unui sistem. Pentru a schimba starea unei particule cu operatorii de creare / distrugere QFT trebuie să utilizați atât un operator de distrugere pentru a elimina o particulă din starea inițială, cât și un operator de creare pentru a adăuga o particulă la starea finală.

Termenul "operator scară" este uneori folosit în matematică, în context în teoria algebrei Lie , și în special pentru algebrele Lie afine, pentru a descrie subalgebrele de pe (2) , din care, folosind operatorii scării, se poate construi sistemul rădăcină și modulele cu cea mai mare greutate . ^[1] În special, cea mai mare greutate este distrusă de ascendenți; restul spațiului rădăcinilor pozitive se obține prin aplicarea repetată a operatorilor de coborâre (un set de operatori de scară prin subalgebră).

Formulare generală

Să presupunem că doi operatori X și N au relația de comutare ,

[N,X]=cX,\quad

{\ displaystyle [N, X] = cX, \ quad}

{\ displaystyle [N, X] = cX, \ quad}

pentru unele alpinism c . De sine $\scriptstyle {|n\rangle }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {| n \ rangle}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {| n \ rangle}}$ este o stare proprie a lui N cu ecuația valorii proprii,

N|n\rangle =n|n\rangle ,\,

{\ displaystyle N | n \ rangle = n | n \ rangle, \,}

{\ displaystyle N | n \ rangle = n | n \ rangle, \,}

atunci operatorul X acționează asupra $\scriptstyle {|n\rangle }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {| n \ rangle}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {| n \ rangle}}$ în așa fel încât să schimbe valoarea proprie a lui c :

{\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} NX | n \ rangle & = (XN + [N, X]) | n \ rangle \\ & = XN | n \ rangle + [N, X] | n \ rangle \\ & = Xn | n \ rangle + cX | n \ rangle \\ & = (n + c) X | n \ rangle. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} NX | n \ rangle & = (XN + [N, X]) | n \ rangle \\ & = XN | n \ rangle + [N, X] | n \ rangle \\ & = Xn | n \ rangle + cX | n \ rangle \\ & = (n + c) X | n \ rangle. \ End {align}}}

Cu alte cuvinte, dacă $\scriptstyle {|n\rangle }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {| n \ rangle}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {| n \ rangle}}$ este o eigenstate de N cu n eigenvalue atunci $\scriptstyle {X|n\rangle }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {X | n \ rangle}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {X | n \ rangle}}$ este starea proprie a lui N cu valoarea proprie n + c sau este zero. Operatorul X crește pentru N dacă c este real și pozitiv, în timp ce scade pentru N dacă c este real și negativ.

Dacă N este un operator hermitian, atunci c trebuie să fie real și Hermitianul adăugat al lui X respectă relația de comutare:

[N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.\quad

{\ displaystyle [N, X ^ {\ dagger}] = - cX ^ {\ dagger}. \ quad}

{\ displaystyle [N, X ^ {\ dagger}] = - cX ^ {\ dagger}. \ quad}

În special, dacă X este un operator de coborâre pentru N, atunci X ^† este un operator de creștere pentru N și invers.

Moment unghiular

O aplicație specială a conceptului de operator scară se găsește în formalismul cuantic al momentului unghiular . Pentru un vector de impuls unghiular generic, J , cu componente, J _x , J _y și J _z definim operatorii de scară, J ₊ și J _- : ^[2]

J_{+}=J_{x}+iJ_{y},\quad

{\ displaystyle J _ {+} = J_ {x} + iJ_ {y}, \ quad}

{\ displaystyle J _ {+} = J_ {x} + iJ_ {y}, \ quad}

J_{-}=J_{x}-iJ_{y},\quad

{\ displaystyle J _ {-} = J_ {x} -iJ_ {y}, \ quad}

{\ displaystyle J _ {-} = J_ {x} -iJ_ {y}, \ quad}

unde i este unitatea imaginară .

Relația de comutare dintre componentele carteziene ale oricărui operator de moment unghiular este dată de

[J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},

{\ displaystyle [J_ {i}, J_ {j}] = i \ hbar \ epsilon _ {ijk} J_ {k},}

{\ displaystyle [J_ {i}, J_ {j}] = i \ hbar \ epsilon _ {ijk} J_ {k},}

unde ε _ijk este simbolul Levi-Civita și fiecare dintre i , j și k poate asuma valorile x , y și z . Din aceasta, relațiile de comutare între scara și operatorii J _z pot fi ușor obținute:

\left[J_{z},J_{\pm }\right]=\pm \hbar J_{\pm }.\quad

{\ displaystyle \ left [J_ {z}, J _ {\ pm} \ right] = \ pm \ hbar J _ {\ pm}. \ quad}

{\ displaystyle \ left [J_ {z}, J _ {\ pm} \ right] = \ pm \ hbar J _ {\ pm}. \ quad}

\left[J_{+},J_{-}\right]=2\hbar J_{z}.\quad

{\ displaystyle \ left [J _ {+}, J _ {-} \ right] = 2 \ hbar J_ {z}. \ quad}

{\ displaystyle \ left [J _ {+}, J _ {-} \ right] = 2 \ hbar J_ {z}. \ quad}

Proprietățile operatorilor scării pot fi determinate observând modul în care modifică acțiunea operatorului J _z asupra unei stări date:

{\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &=\left(J_{\pm }J_{z}+\left[J_{z},J_{\pm }\right]\right)|j\,m\rangle \\&=\left(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm }\right)|j\,m\rangle \\&=\hbar \left(m\pm 1\right)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} J_ {z} J _ {\ pm} | j \, m \ rangle & = \ left (J _ {\ pm} J_ {z} + \ left [J_ {z}, J_ {\ pm} \ right] \ right) | j \, m \ rangle \\ & = \ left (J _ {\ pm} J_ {z} \ pm \ hbar J _ {\ pm} \ right) | j \, m \ rangle \\ & = \ hbar \ left (m \ pm 1 \ right) J _ {\ pm} | j \, m \ rangle. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} J_ {z} J _ {\ pm} | j \, m \ rangle & = \ left (J _ {\ pm} J_ {z} + \ left [J_ {z}, J_ {\ pm} \ right] \ right) | j \, m \ rangle \\ & = \ left (J _ {\ pm} J_ {z} \ pm \ hbar J _ {\ pm} \ right) | j \, m \ rangle \\ & = \ hbar \ left (m \ pm 1 \ right) J _ {\ pm} | j \, m \ rangle. \ end {align}}}

Comparăm rezultatul anterior cu:

J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .\quad

{\ displaystyle J_ {z} | j \, (m \ pm 1) \ rangle = \ hbar (m \ pm 1) | j \, (m \ pm 1) \ rangle. \ quad}

{\ displaystyle J_ {z} | j \, (m \ pm 1) \ rangle = \ hbar (m \ pm 1) | j \, (m \ pm 1) \ rangle. \ quad}

Prin urmare, se concluzionează că $\scriptstyle {J_{\pm }|j\,m\rangle }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {J _ {\ pm} | j \, m \ rangle}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {J _ {\ pm} | j \, m \ rangle}}$ este echivalent cu un anumit scalar multiplicat cu $\scriptstyle {|j\,m\pm 1\rangle }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {| j \, m \ pm 1 \ rangle}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {| j \, m \ pm 1 \ rangle}}$ ,

J_{+}|j\,m\rangle =\alpha |j\,(m+1)\rangle ,\quad

{\ displaystyle J _ {+} | j \, m \ rangle = \ alpha | j \, (m + 1) \ rangle, \ quad}

{\ displaystyle J _ {+} | j \, m \ rangle = \ alpha | j \, (m + 1) \ rangle, \ quad}

J_{-}|j\,m\rangle =\beta |j\,(m-1)\rangle .\quad

{\ displaystyle J _ {-} | j \, m \ rangle = \ beta | j \, (m-1) \ rangle. \ quad}

{\ displaystyle J _ {-} | j \, m \ rangle = \ beta | j \, (m-1) \ rangle. \ quad}

Acest lucru evidențiază caracteristica definitorie a operatorilor de scări în mecanica cuantică: creșterea (sau scăderea) unui număr cuantic, mapând astfel o stare cuantică la alta. Acesta este motivul pentru care sunt adesea cunoscuți ca operatori de creștere și de scădere.

Pentru a obține valorile lui α și β trebuie mai întâi să facem norma fiecărui operator, recunoscând că J ₊ și J _- sunt o pereche de conjugate hermitiene ( $\scriptstyle {J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {J _ {\ pm} = J _ {\ mp} ^ {\ dagger}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {J _ {\ pm} = J _ {\ mp} ^ {\ dagger}}}$ ),

\langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2}

{\ displaystyle \ langle j \, m | J _ {+} ^ {\ dagger} J _ {+} | j \, m \ rangle = \ langle j \, m | J _ {-} J _ {+} | j \, m \ rangle = \ langle j \, (m + 1) | \ alpha ^ {*} \ alpha | j \, (m + 1) \ rangle = | \ alpha | ^ {2}}

{\ displaystyle \ langle j \, m | J _ {+} ^ {\ dagger} J _ {+} | j \, m \ rangle = \ langle j \, m | J _ {-} J _ {+} | j \, m \ rangle = \ langle j \, (m + 1) | \ alpha ^ {*} \ alpha | j \, (m + 1) \ rangle = | \ alpha | ^ {2}}

,

\langle j\,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\beta |^{2}

{\ displaystyle \ langle j \, m | J _ {-} ^ {\ dagger} J _ {-} | j \, m \ rangle = \ langle j \, m | J _ {+} J _ {-} | j \, m \ rangle = \ langle j \, (m-1) | \ beta ^ {*} \ beta | j \, (m-1) \ rangle = | \ beta | ^ {2}}

{\ displaystyle \ langle j \, m | J _ {-} ^ {\ dagger} J _ {-} | j \, m \ rangle = \ langle j \, m | J _ {+} J _ {-} | j \, m \ rangle = \ langle j \, (m-1) | \ beta ^ {*} \ beta | j \, (m-1) \ rangle = | \ beta | ^ {2}}

.

Produsul operatorilor scării poate fi exprimat în termeni de pereche de comutare J ² și J _z ,

J_{-}J_{+}=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},

{\ displaystyle J _ {-} J _ {+} = (J_ {x} -iJ_ {y}) (J_ {x} + iJ_ {y}) = J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2} + i [J_ {x}, J_ {y}] = J ^ {2} -J_ {z} ^ {2} - \ hbar J_ {z},}

{\ displaystyle J _ {-} J _ {+} = (J_ {x} -iJ_ {y}) (J_ {x} + iJ_ {y}) = J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2} + i [J_ {x}, J_ {y}] = J ^ {2} -J_ {z} ^ {2} - \ hbar J_ {z},}

J_{+}J_{-}=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.

{\ displaystyle J _ {+} J _ {-} = (J_ {x} + iJ_ {y}) (J_ {x} -iJ_ {y}) = J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2} -i [J_ {x}, J_ {y}] = J ^ {2} -J_ {z} ^ {2} + \ hbar J_ {z}.}

{\ displaystyle J _ {+} J _ {-} = (J_ {x} + iJ_ {y}) (J_ {x} -iJ_ {y}) = J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2} -i [J_ {x}, J_ {y}] = J ^ {2} -J_ {z} ^ {2} + \ hbar J_ {z}.}

Prin urmare, este posibil să se exprime valorile | α | ² și | β | ² în ceea ce privește valorile proprii ale lui J ² și J _z ,

|\alpha |^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j-m)(j+m+1),

{\ displaystyle | \ alpha | ^ {2} = \ hbar ^ {2} j (j + 1) - \ hbar ^ {2} m ^ {2} - \ hbar ^ {2} m = \ hbar ^ {2 } (jm) (j + m + 1),}

{\ displaystyle | \ alpha | ^ {2} = \ hbar ^ {2} j (j + 1) - \ hbar ^ {2} m ^ {2} - \ hbar ^ {2} m = \ hbar ^ {2 } (jm) (j + m + 1),}

|\beta |^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).

{\ displaystyle | \ beta | ^ {2} = \ hbar ^ {2} j (j + 1) - \ hbar ^ {2} m ^ {2} + \ hbar ^ {2} m = \ hbar ^ {2 } (j + m) (jm + 1).}

{\ displaystyle | \ beta | ^ {2} = \ hbar ^ {2} j (j + 1) - \ hbar ^ {2} m ^ {2} + \ hbar ^ {2} m = \ hbar ^ {2 } (j + m) (jm + 1).}

Fazele α și β nu sunt semnificative fizic, deci pot fi alegeri pozitive și reale (convenția de fază Condon-Shortley). Prin urmare, avem: ^[3]

J_{+}|j\,m\rangle =\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j\,(m+1)\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j\,(m+1)\rangle ,

{\ displaystyle J _ {+} | j \, m \ rangle = \ hbar {\ sqrt {(jm) (j + m + 1)}} | j \, (m + 1) \ rangle = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1) -m (m + 1)}} | j \, (m + 1) \ rangle,}

{\ displaystyle J _ {+} | j \, m \ rangle = \ hbar {\ sqrt {(jm) (j + m + 1)}} | j \, (m + 1) \ rangle = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1) -m (m + 1)}} | j \, (m + 1) \ rangle,}

J_{-}|j\,m\rangle =\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j\,(m-1)\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j\,(m-1)\rangle .

{\ displaystyle J _ {-} | j \, m \ rangle = \ hbar {\ sqrt {(j + m) (j-m + 1)}} | j \, (m-1) \ rangle = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1) -m (m-1)}} | j \, (m-1) \ rangle.}

{\ displaystyle J _ {-} | j \, m \ rangle = \ hbar {\ sqrt {(j + m) (j-m + 1)}} | j \, (m-1) \ rangle = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1) -m (m-1)}} | j \, (m-1) \ rangle.}

Confirmarea faptului că m este delimitat de valoarea lui j ( $\scriptstyle {-j\leq m\leq j}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {-j \ leq m \ leq j}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {-j \ leq m \ leq j}}$ ) avem:

J_{+}|j\,j\rangle =0,\,

{\ displaystyle J _ {+} | j \, j \ rangle = 0, \,}

{\ displaystyle J _ {+} | j \, j \ rangle = 0, \,}

J_{-}|j\,(-j)\rangle =0.\,

{\ displaystyle J _ {-} | j \, (- j) \ rangle = 0. \,}

{\ displaystyle J _ {-} | j \, (- j) \ rangle = 0. \,}

Dovada de mai sus este de fapt construcția coeficienților Clebsch-Gordan .

Oscilator armonic

O altă aplicație a conceptului de operator de scară se găsește în formalismul cuantic al oscilatorului armonic. Puteți fi operatorii de creștere și coborâre ca.

{\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega  \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega  \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a & = {\ sqrt {m \ omega \ over 2 \ hbar}} \ left ({\ hat {x}} + {i \ over m \ omega} {\ hat {p }} \ right) \\ a ^ {\ dagger} & = {\ sqrt {m \ omega \ over 2 \ hbar}} \ left ({\ hat {x}} - {i \ over m \ omega} {\ pălărie {p}} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a & = {\ sqrt {m \ omega \ over 2 \ hbar}} \ left ({\ hat {x}} + {i \ over m \ omega} {\ hat {p }} \ right) \\ a ^ {\ dagger} & = {\ sqrt {m \ omega \ over 2 \ hbar}} \ left ({\ hat {x}} - {i \ over m \ omega} {\ pălărie {p}} \ right) \ end {align}}}

Ele oferă o metodă convenabilă de extragere a valorilor proprii ale energiei fără a fi nevoie să rezolve direct ecuația diferențială a sistemului.

fundal

Multe surse atribuie invenția operatorilor de scări lui Dirac . ^[4] Utilizarea de către Dirac a operatorilor de scări arată că numărul cuantic $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ asociat cu operatorul momentului unghiular total trebuie să fie un seminar multiplu non-negativ al lui ħ.

Notă

^ Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups , Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-48412-X .
^ OL de Lange și RE Raab, Ladder operators for orbital angular momentum , în American Journal of Physics , vol. 54, nr. 4, 1986, pp. 372–375, Bibcode : 1986AmJPh..54..372D , DOI : 10.1119 / 1.14625 .
^ Jun J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics , Delhi, India, Pearson Education, Inc., 1994, p. 192, ISBN 81-7808-006-0 .
^ (EN) Stephen Webb, Oscilatorul armonic cuantic (PDF) pe fisica.net.

Elemente conexe

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică

[1] Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups , Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-48412-X .

[Pena-2] OL de Lange și RE Raab, Ladder operators for orbital angular momentum , în American Journal of Physics , vol. 54, nr. 4, 1986, pp. 372–375, Bibcode : 1986AmJPh..54..372D , DOI : 10.1119 / 1.14625 .

[3] Jun J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics , Delhi, India, Pearson Education, Inc., 1994, p. 192, ISBN 81-7808-006-0 .

[WEBB-4] (EN) Stephen Webb, Oscilatorul armonic cuantic (PDF) pe fisica.net.

[1]

[2]

[3]

[4]