Oscilator armonic cuantic

În mecanica cuantică , oscilatorul armonic cuantic este tratamentul unui sistem caracterizat de un potențial armonic . Aceasta este una dintre cele mai importante probleme din fizica teoretică , deoarece fiecare potențial poate fi aproximat la un potențial armonic în jurul unui punct de echilibru .

Oscilator armonic cuantic

Energia potențială și densitatea probabilității asociate cu starea de bază și primele stări excitate ale oscilatorului armonic.

Rezolvarea unui sistem în mecanica cuantică înseamnă găsirea stărilor proprii ale operatorului hamiltonian și valorile proprii ale energiei corespunzătoare sau rezolvarea ecuației Schrödinger și găsirea funcției de undă care descrie sistemul . Nu toate soluțiile ecuației lui Schrödinger sunt acceptabile: energia potențială nu poate fi infinită. Aceasta implică faptul că distanța dintre particulele care alcătuiesc oscilatorul nu poate fi niciodată zero sau infinită.

Conform principiului corespondenței , la fel ca în cazul clasic, hamiltonienul sistemului este:

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} { \ hat {x}} ^ {2}}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} { \ hat {x}} ^ {2}}

Unde am presupus că sistemul este unidimensional.

În cazul unui sistem tridimensional, hamiltonienul total poate fi împărțit în suma a trei hamiltonieni independenți, câte unul pentru fiecare dimensiune.

Există două modalități de a rezolva acest sistem: unul analitic , care se bazează pe soluția ecuației Schrödinger și unul algebric , care se bazează exclusiv pe algebra operatorilor ${\hat {p}}$ ${\ displaystyle {\ hat {p}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {p}}}$ și ${\hat {x}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ hat {x}}$ (vezi comutator ), metodă dezvoltată de Paul Adrien Maurice Dirac .

Metoda analitică

Ecuația Schrödinger pentru oscilatorul armonic în reprezentarea coordonatelor este:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\phi (x)}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\phi (x)=E\phi (x)

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} \ phi (x)} {dx ^ {2}}} + {\ frac {1} { 2}} m \ omega ^ {2} x ^ {2} \ phi (x) = E \ phi (x)}

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} \ phi (x)} {dx ^ {2}}} + {\ frac {1} { 2}} m \ omega ^ {2} x ^ {2} \ phi (x) = E \ phi (x)}

care poate fi scris ca:

{\frac {d^{2}\phi (x)}{dx^{2}}}=-{\frac {2m}{\hslash ^{2}}}\left(E-{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}\right)\phi (x)

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ phi (x)} {dx ^ {2}}} = - {\ frac {2m} {\ hslash ^ {2}}} \ left (E- {1 \ over 2} m \ omega ^ {2} x ^ {2} \ right) \ phi (x)}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ phi (x)} {dx ^ {2}}} = - {\ frac {2m} {\ hslash ^ {2}}} \ left (E- {1 \ over 2} m \ omega ^ {2} x ^ {2} \ right) \ phi (x)}

Introducem două variabile adimensionale :

\xi =\left({\frac {m\omega }{\hslash }}\right)^{1 \over 2}x\qquad ;\qquad \varepsilon ={\frac {2E}{\hslash \omega }}

{\ displaystyle \ xi = \ left ({\ frac {m \ omega} {\ hslash}} \ right) ^ {1 \ over 2} x \ qquad; \ qquad \ varepsilon = {\ frac {2E} {\ hslash \ omega}}}

{\ displaystyle \ xi = \ left ({\ frac {m \ omega} {\ hslash}} \ right) ^ {1 \ over 2} x \ qquad; \ qquad \ varepsilon = {\ frac {2E} {\ hslash \ omega}}}

Înlocuind în ecuația Schrödinger avem:

{\frac {d^{2}\phi }{d\xi ^{2}}}=(\xi ^{2}-\varepsilon )\phi (\xi )

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ phi} {d \ xi ^ {2}}} = (\ xi ^ {2} - \ varepsilon) \ phi (\ xi)}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ phi} {d \ xi ^ {2}}} = (\ xi ^ {2} - \ varepsilon) \ phi (\ xi)}

Pentru valori de $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ mari, astfel încât pot fi neglijate $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , cursul asimptotic al funcției trebuie să fie de tipul:

\phi (\xi )\sim \xi ^{n}e^{\pm {\xi ^{2} \over 2}}

{\ displaystyle \ phi (\ xi) \ sim \ xi ^ {n} e ^ {\ pm {\ xi ^ {2} \ over 2}}}

{\ displaystyle \ phi (\ xi) \ sim \ xi ^ {n} e ^ {\ pm {\ xi ^ {2} \ over 2}}}

Semnul + trebuie aruncat deoarece soluțiile nu ar fi normalizabile ^[1] , deci:

\phi (\xi )\sim \xi ^{n}e^{-{\xi ^{2} \over 2}}

{\ displaystyle \ phi (\ xi) \ sim \ xi ^ {n} e ^ {- {\ xi ^ {2} \ over 2}}}

{\ displaystyle \ phi (\ xi) \ sim \ xi ^ {n} e ^ {- {\ xi ^ {2} \ over 2}}}

Deci, să spunem:

\phi (\xi )=H(\xi )e^{-{\xi ^{2} \over 2}}

{\ displaystyle \ phi (\ xi) = H (\ xi) e ^ {- {\ xi ^ {2} \ over 2}}}

{\ displaystyle \ phi (\ xi) = H (\ xi) e ^ {- {\ xi ^ {2} \ over 2}}}

Unde, prin substituire, ajungi $H(\xi )$ ${\ displaystyle H (\ xi)}$ ${\ displaystyle H (\ xi)}$ , următoarea ecuație:

H^{\prime \prime }(\xi )-2\xi H^{\prime }(\xi )+(\varepsilon -1)H(\xi )=0

{\ displaystyle H ^ {\ prime \ prime} (\ xi) -2 \ xi H ^ {\ prime} (\ xi) + (\ varepsilon -1) H (\ xi) = 0}

{\ displaystyle H ^ {\ prime \ prime} (\ xi) -2 \ xi H ^ {\ prime} (\ xi) + (\ varepsilon -1) H (\ xi) = 0}

Pentru a obține soluția generală, extindem funcția în seria de putere $H(\xi )$ ${\ displaystyle H (\ xi)}$ ${\ displaystyle H (\ xi)}$ :

H(\xi )=\sum _{m=0}^{\infty }A_{m}\xi ^{m}

{\ displaystyle H (\ xi) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} A_ {m} \ xi ^ {m}}

{\ displaystyle H (\ xi) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} A_ {m} \ xi ^ {m}}

Înlocuind în ecuația diferențială și grupând termenii cu puteri egale, obținem că:

\sum _{m=0}^{\infty }[(m+2)(m+1)A_{m+2}+(\varepsilon -2m-1)A_{m}]\xi ^{m}=0

{\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} [(m + 2) (m + 1) A_ {m + 2} + (\ varepsilon -2m-1) A_ {m}] \ xi ^ {m} = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} [(m + 2) (m + 1) A_ {m + 2} + (\ varepsilon -2m-1) A_ {m}] \ xi ^ {m} = 0}

Și pentru ca acest lucru să fie adevărat, toți coeficienții trebuie să fie zero:

(m+2)(m+1)A_{m+2}+(\varepsilon -2m-1)A_{m}=0

{\ displaystyle (m + 2) (m + 1) A_ {m + 2} + (\ varepsilon -2m-1) A_ {m} = 0}

{\ displaystyle (m + 2) (m + 1) A_ {m + 2} + (\ varepsilon -2m-1) A_ {m} = 0}

Odată cunoscut $A_{0}$ ${\ displaystyle A_ {0}}$ ${\ displaystyle A_ {0}}$ și $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A _ {{1}}$ , toți ceilalți coeficienți pot fi obținuți din această ecuație $A_{m>1}$ ${\ displaystyle A_ {m> 1}}$ ${\ displaystyle A_ {m> 1}}$ .

În special, avem:

{\frac {A_{m+2}}{A_{m}}}\rightarrow {\frac {2}{m}}

{\ displaystyle {\ frac {A_ {m + 2}} {A_ {m}}} \ rightarrow {\ frac {2} {m}}}

{\ displaystyle {\ frac {A_ {m + 2}} {A_ {m}}} \ rightarrow {\ frac {2} {m}}}

Deci, dintr-un anumit moment, această serie se comportă ca seria:

\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {\xi ^{2m}}{m!}}=e^{\xi ^{2}}

{\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ xi ^ {2m}} {m!}} = e ^ {\ xi ^ {2}}}

{\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ xi ^ {2m}} {m!}} = e ^ {\ xi ^ {2}}}

iar funcția de undă se comportă ca:

\phi (\xi )\sim e^{+\xi ^{2}}e^{-{\frac {\xi ^{2}}{2}}}=e^{+{\frac {\xi ^{2}}{2}}}

{\ displaystyle \ phi (\ xi) \ sim e ^ {+ \ xi ^ {2}} e ^ {- {\ frac {\ xi ^ {2}} {2}}} = e ^ {+ {\ frac {\ xi ^ {2}} {2}}}}

{\ displaystyle \ phi (\ xi) \ sim e ^ {+ \ xi ^ {2}} e ^ {- {\ frac {\ xi ^ {2}} {2}}} = e ^ {+ {\ frac {\ xi ^ {2}} {2}}}}

După cum sa spus deja, o funcție de undă de acest tip nu este normalizabilă, astfel încât singura modalitate de a avea soluții acceptabile fizic este că dezvoltarea în serie a $H(\xi )$ ${\ displaystyle H (\ xi)}$ ${\ displaystyle H (\ xi)}$ este finit și că este, cu alte cuvinte, un polinom . Pentru ca acest lucru să se întâmple, trebuie să existe un număr întreg n , pozitiv sau nul, astfel încât:

\varepsilon =\varepsilon _{n}=2n+1,\qquad A_{n+1}=0.

{\ displaystyle \ varepsilon = \ varepsilon _ {n} = 2n + 1, \ qquad A_ {n + 1} = 0.}

{\ displaystyle \ varepsilon = \ varepsilon _ {n} = 2n + 1, \ qquad A_ {n + 1} = 0.}

De fapt, folosind relația de recurență , obținem:

A_{m}=0,\qquad m>n

{\ displaystyle A_ {m} = 0, \ qquad m> n}

{\ displaystyle A_ {m} = 0, \ qquad m> n}

The $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ sunt cuantificate, prin urmare energiile sunt cuantificate și sunt valabile:

E_{n}=\hslash \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)

{\ displaystyle E_ {n} = \ hslash \ omega \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right)}

{\ displaystyle E_ {n} = \ hslash \ omega \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right)}

Funcția de undă a stării n este, prin urmare:

\phi _{n}(\xi )=H_{n}(\xi )e^{-{\frac {\xi ^{2}}{2}}}

{\ displaystyle \ phi _ {n} (\ xi) = H_ {n} (\ xi) și ^ {- {\ frac {\ xi ^ {2}} {2}}}}

{\ displaystyle \ phi _ {n} (\ xi) = H_ {n} (\ xi) și ^ {- {\ frac {\ xi ^ {2}} {2}}}}

Unde

H_{n}(\xi )=\sum _{m=0}^{n}A_{m}\,\xi ^{m}

{\ displaystyle H_ {n} (\ xi) = \ sum _ {m = 0} ^ {n} A_ {m} \, \ xi ^ {m}}

{\ displaystyle H_ {n} (\ xi) = \ sum _ {m = 0} ^ {n} A_ {m} \, \ xi ^ {m}}

sunt polinoamele hermite .

Metoda de calcul a polinoamelor Hermite

O modalitate de a calcula polinoamele H _n este fixarea coeficienților $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ , $A_{n+1}$ ${\ displaystyle A_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle A_ {n + 1}}$ la valori:

A_{n}=2^{n},\qquad A_{m>n}=0.

{\ displaystyle A_ {n} = 2 ^ {n}, \ qquad A_ {m> n} = 0.}

{\ displaystyle A_ {n} = 2 ^ {n}, \ qquad A_ {m> n} = 0.}

și pentru a utiliza relația de recurență:

A_{m}={\frac {(m+2)(m+1)}{2m+1-\varepsilon }}A_{m+2}={\frac {(m+2)(m+1)}{2\left(m-n\right)}}A_{m+2},\qquad m<n

{\ displaystyle A_ {m} = {\ frac {(m + 2) (m + 1)} {2m + 1- \ varepsilon}} A_ {m + 2} = {\ frac {(m + 2) (m +1)} {2 \ left (mn \ right)}} A_ {m + 2}, \ qquad m <n}

{\ displaystyle A_ {m} = {\ frac {(m + 2) (m + 1)} {2m + 1- \ varepsilon}} A_ {m + 2} = {\ frac {(m + 2) (m +1)} {2 \ left (mn \ right)}} A_ {m + 2}, \ qquad m <n}

pentru a calcula ceilalți coeficienți A _{m <n} .

Deci, de exemplu, pentru $n=0$ ${\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ , găsim:

A_{n>0}=0,\quad A_{0}=2^{0}=1\Rightarrow H_{0}\left(\xi \right)=1{\text{;}}

{\ displaystyle A_ {n> 0} = 0, \ quad A_ {0} = 2 ^ {0} = 1 \ Rightarrow H_ {0} \ left (\ xi \ right) = 1 {\ text {;}}}

{\ displaystyle A_ {n> 0} = 0, \ quad A_ {0} = 2 ^ {0} = 1 \ Rightarrow H_ {0} \ left (\ xi \ right) = 1 {\ text {;}}}

pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , trebuie să întrebăm:

A_{n>1}=0,\quad A_{1}=2^{1}=2\Rightarrow A_{0}={\frac {(0+2)(0+1)}{2\left(0-1\right)}}A_{2}=0\Rightarrow H_{1}\left(\xi \right)=2\xi {\text{;}}

{\ displaystyle A_ {n> 1} = 0, \ quad A_ {1} = 2 ^ {1} = 2 \ Rightarrow A_ {0} = {\ frac {(0 + 2) (0 + 1)} {2 \ left (0-1 \ right)}} A_ {2} = 0 \ Rightarrow H_ {1} \ left (\ xi \ right) = 2 \ xi {\ text {;}}}

{\ displaystyle A_ {n> 1} = 0, \ quad A_ {1} = 2 ^ {1} = 2 \ Rightarrow A_ {0} = {\ frac {(0 + 2) (0 + 1)} {2 \ left (0-1 \ right)}} A_ {2} = 0 \ Rightarrow H_ {1} \ left (\ xi \ right) = 2 \ xi {\ text {;}}}

pentru $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ , noi obținem:

A_{n>2}=0,\quad A_{2}=2^{2}=4\Rightarrow A_{1}={\frac {(1+2)(1+1)}{2\left(1-2\right)}}A_{3}=0,\quad A_{0}={\frac {(0+2)(0+1)}{2\left(0-2\right)}}A_{2}=-2{\text{,}}

{\ displaystyle A_ {n> 2} = 0, \ quad A_ {2} = 2 ^ {2} = 4 \ Rightarrow A_ {1} = {\ frac {(1 + 2) (1 + 1)} {2 \ left (1-2 \ right)}} A_ {3} = 0, \ quad A_ {0} = {\ frac {(0 + 2) (0 + 1)} {2 \ left (0-2 \ right )}} A_ {2} = - 2 {\ text {,}}}

{\ displaystyle A_ {n> 2} = 0, \ quad A_ {2} = 2 ^ {2} = 4 \ Rightarrow A_ {1} = {\ frac {(1 + 2) (1 + 1)} {2 \ left (1-2 \ right)}} A_ {3} = 0, \ quad A_ {0} = {\ frac {(0 + 2) (0 + 1)} {2 \ left (0-2 \ right )}} A_ {2} = - 2 {\ text {,}}}

din care rezultă

H_{2}\left(\xi \right)=4\xi ^{2}-2{\text{.}}

{\ displaystyle H_ {2} \ left (\ xi \ right) = 4 \ xi ^ {2} -2 {\ text {.}}}

{\ displaystyle H_ {2} \ left (\ xi \ right) = 4 \ xi ^ {2} -2 {\ text {.}}}

În cele din urmă, pentru $n=3$ ${\ displaystyle n = 3}$ $n = 3$ , coeficienții

A_{n>3}=0,\quad A_{3}=2^{3}=8

{\ displaystyle A_ {n> 3} = 0, \ quad A_ {3} = 2 ^ {3} = 8}

{\ displaystyle A_ {n> 3} = 0, \ quad A_ {3} = 2 ^ {3} = 8}

generează, prin relația de recurență

A_{2}={\frac {(2+2)(2+1)}{2\left(2-3\right)}}A_{4}=0,\quad A_{1}={\frac {(1+2)(1+1)}{2\left(1-3\right)}}A_{3}=-12,\quad A_{0}={\frac {(0+2)(0+1)}{2\left(0-3\right)}}A_{2}=0{\text{.}}

{\ displaystyle A_ {2} = {\ frac {(2 + 2) (2 + 1)} {2 \ left (2-3 \ right)}} A_ {4} = 0, \ quad A_ {1} = {\ frac {(1 + 2) (1 + 1)} {2 \ left (1-3 \ right)}} A_ {3} = - 12, \ quad A_ {0} = {\ frac {(0+ 2) (0 + 1)} {2 \ left (0-3 \ right)}} A_ {2} = 0 {\ text {.}}}

{\ displaystyle A_ {2} = {\ frac {(2 + 2) (2 + 1)} {2 \ left (2-3 \ right)}} A_ {4} = 0, \ quad A_ {1} = {\ frac {(1 + 2) (1 + 1)} {2 \ left (1-3 \ right)}} A_ {3} = - 12, \ quad A_ {0} = {\ frac {(0+ 2) (0 + 1)} {2 \ left (0-3 \ right)}} A_ {2} = 0 {\ text {.}}}

Prin urmare,

H_{3}\left(\xi \right)=8\xi ^{3}-12\xi {\text{.}}

{\ displaystyle H_ {3} \ left (\ xi \ right) = 8 \ xi ^ {3} -12 \ xi {\ text {.}}}

{\ displaystyle H_ {3} \ left (\ xi \ right) = 8 \ xi ^ {3} -12 \ xi {\ text {.}}}

În mod similar, putem deriva celelalte polinoame hermite .

Funcțiile proprii ale oscilatorului armonic

Deși funcțiile pot fi normalizate $\phi _{n}$ ${\ displaystyle \ phi _ {n}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {n}}$ nu sunt la norma unitară, în timp ce, în general, stările din mecanica cuantică sunt alese la norma unitară. Ceea ce faceți este să introduceți o constantă multiplicativă $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ , în general în funcție de nivel, pentru a asigura norma unitară.

În special, funcțiile stării fundamentale și ale primelor niveluri excitate sunt valabile:

\phi _{0}(x)=c_{0}\,e^{-{\frac {mx^{2}\omega }{2\hbar }}},\qquad c_{0}=\left({\frac {m\omega }{\hbar \,\pi }}\right)^{1/4}

{\ displaystyle \ phi _ {0} (x) = c_ {0} \, e ^ {- {\ frac {mx ^ {2} \ omega} {2 \ hbar}}}, \ qquad c_ {0} = \ left ({\ frac {m \ omega} {\ hbar \, \ pi}} \ right) ^ {1/4}}

{\ displaystyle \ phi _ {0} (x) = c_ {0} \, e ^ {- {\ frac {mx ^ {2} \ omega} {2 \ hbar}}}, \ qquad c_ {0} = \ left ({\ frac {m \ omega} {\ hbar \, \ pi}} \ right) ^ {1/4}}

\phi _{1}(x)=c_{0}{\sqrt {2}}{\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\,e^{-{\frac {m\,x^{2}\omega }{2\hbar }}}

{\ displaystyle \ phi _ {1} (x) = c_ {0} {\ sqrt {2}} {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}} x \, e ^ {- {\ frac {m \, x ^ {2} \ omega} {2 \ hbar}}}}

{\ displaystyle \ phi _ {1} (x) = c_ {0} {\ sqrt {2}} {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}} x \, e ^ {- {\ frac {m \, x ^ {2} \ omega} {2 \ hbar}}}}

\phi _{2}(x)={\frac {c_{0}}{\sqrt {2}}}\,\left({\frac {2mx^{2}\omega }{\hbar }}-1\right)\,e^{-{\frac {mx^{2}\omega }{2\hbar }}}

{\ displaystyle \ phi _ {2} (x) = {\ frac {c_ {0}} {\ sqrt {2}}} \, \ left ({\ frac {2mx ^ {2} \ omega} {\ hbar }} - 1 \ dreapta) \, e ^ {- {\ frac {mx ^ {2} \ omega} {2 \ hbar}}}}

{\ displaystyle \ phi _ {2} (x) = {\ frac {c_ {0}} {\ sqrt {2}}} \, \ left ({\ frac {2mx ^ {2} \ omega} {\ hbar }} - 1 \ dreapta) \, e ^ {- {\ frac {mx ^ {2} \ omega} {2 \ hbar}}}}

\phi _{3}(x)={\frac {c_{0}}{\sqrt {3}}}\,\left(2\left({\frac {m\omega }{\hbar }}\right)^{3/2}x^{3}-3{\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)\,e^{-{\frac {mx^{2}\omega }{2\hbar }}}

{\ displaystyle \ phi _ {3} (x) = {\ frac {c_ {0}} {\ sqrt {3}}} \, \ left (2 \ left ({\ frac {m \ omega} {\ hbar }} \ right) ^ {3/2} x ^ {3} -3 {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}} x \ right) \ și ^ {- {\ frac {mx ^ {2} \ omega} {2 \ hbar}}}}

{\ displaystyle \ phi _ {3} (x) = {\ frac {c_ {0}} {\ sqrt {3}}} \, \ left (2 \ left ({\ frac {m \ omega} {\ hbar }} \ right) ^ {3/2} x ^ {3} -3 {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}} x \ right) \ și ^ {- {\ frac {mx ^ {2} \ omega} {2 \ hbar}}}}

În general, ai

\phi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}n!}}}\left({\frac {m\omega }{\hbar \,\pi }}\right)^{1/4}H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)e^{-{\frac {mx^{2}\omega }{2\hbar }}}

{\ displaystyle \ phi _ {n} (x) = {\ sqrt {\ frac {1} {2 ^ {n} n!}}} \ left ({\ frac {m \ omega} {\ hbar \, \ pi}} \ right) ^ {1/4} H_ {n} \ left ({\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}} x \ right) și ^ {- {\ frac {mx ^ {2} \ omega} {2 \ hbar}}}}

{\ displaystyle \ phi _ {n} (x) = {\ sqrt {\ frac {1} {2 ^ {n} n!}}} \ left ({\ frac {m \ omega} {\ hbar \, \ pi}} \ right) ^ {1/4} H_ {n} \ left ({\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}} x \ right) și ^ {- {\ frac {mx ^ {2} \ omega} {2 \ hbar}}}}

Valorile medii și deviațiile pătrate medii ale poziției și impulsului, pe stările proprii ale Hamiltonianului, se obțin cu integrale Gauss simple.

\langle x\rangle _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,x\,\left\vert \phi _{n}(x)\right\vert ^{2}=0

{\ displaystyle \ langle x \ rangle _ {n} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, x \, \ left \ vert \ phi _ {n} (x) \ right \ vert ^ {2} = 0}

{\ displaystyle \ langle x \ rangle _ {n} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, x \, \ left \ vert \ phi _ {n} (x) \ right \ vert ^ {2} = 0}

\Delta x_{n}^{2}=\langle x^{2}\rangle _{n}-\langle x\rangle _{n}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,x^{2}\,\left\vert \phi _{n}(x)\right\vert ^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),

{\ displaystyle \ Delta x_ {n} ^ {2} = \ langle x ^ {2} \ rangle _ {n} - \ langle x \ rangle _ {n} ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, x ^ {2} \, \ left \ vert \ phi _ {n} (x) \ right \ vert ^ {2} = {\ frac {\ hbar} {m \ omega}} \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right),}

{\ displaystyle \ Delta x_ {n} ^ {2} = \ langle x ^ {2} \ rangle _ {n} - \ langle x \ rangle _ {n} ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, x ^ {2} \, \ left \ vert \ phi _ {n} (x) \ right \ vert ^ {2} = {\ frac {\ hbar} {m \ omega}} \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right),}

\langle p\rangle _{n}=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\phi _{n}(x)\,\phi _{n}^{\prime }(x)=0,

{\ displaystyle \ langle p \ rangle _ {n} = - i \ hbar \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, \ phi _ {n} (x) \, \ phi _ {n} ^ {\ prime} (x) = 0,}

{\ displaystyle \ langle p \ rangle _ {n} = - i \ hbar \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, \ phi _ {n} (x) \, \ phi _ {n} ^ {\ prime} (x) = 0,}

\Delta p_{n}^{2}=\langle p^{2}\rangle _{n}-\langle p\rangle _{n}^{2}=-\hbar ^{2}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\phi _{n}(x)\,\phi _{n}^{\prime \prime }(x)=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).

{\ displaystyle \ Delta p_ {n} ^ {2} = \ langle p ^ {2} \ rangle _ {n} - \ langle p \ rangle _ {n} ^ {2} = - \ hbar ^ {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, \ phi _ {n} (x) \, \ phi _ {n} ^ {\ prime \ prime} (x) = \ hbar m \ omega \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ dreapta).}

{\ displaystyle \ Delta p_ {n} ^ {2} = \ langle p ^ {2} \ rangle _ {n} - \ langle p \ rangle _ {n} ^ {2} = - \ hbar ^ {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, \ phi _ {n} (x) \, \ phi _ {n} ^ {\ prime \ prime} (x) = \ hbar m \ omega \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ dreapta).}

În conformitate cu principiul incertitudinii, găsim

\Delta x_{n}\,\Delta p_{n}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.

{\ displaystyle \ Delta x_ {n} \, \ Delta p_ {n} = \ hbar \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) \ geq {\ frac {\ hbar} {2} }.}

{\ displaystyle \ Delta x_ {n} \, \ Delta p_ {n} = \ hbar \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) \ geq {\ frac {\ hbar} {2} }.}

iar cea mai mică incertitudine apare pentru n = 0.

Metoda algebrică

Pentru simplitate, de aici înainte, deși este obișnuit să indicăm operatorii cu un cappelletto, vom indica operatorii fără acest semn de distincție, deoarece nu există nicio problemă de ambiguitate.

În primul rând, sunt definiți doi noi operatori adimensionali ${\tilde {x}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$ Și ${\tilde {p}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {p}}}$ ${\ tilde {p}}$ , în modul următor:

{\tilde {x}}={\sqrt {\frac {m\omega }{\hslash }}}x,\qquad {\tilde {p}}={\sqrt {\frac {1}{m\hslash \omega }}}p

{\ displaystyle {\ tilde {x}} = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hslash}}} x, \ qquad {\ tilde {p}} = {\ sqrt {\ frac {1} { m \ hslash \ omega}}} p}

{\ displaystyle {\ tilde {x}} = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hslash}}} x, \ qquad {\ tilde {p}} = {\ sqrt {\ frac {1} { m \ hslash \ omega}}} p}

H-ul hamiltonian al sistemului poate fi scris ca:

H=\hslash \omega {\tilde {H}}

{\ displaystyle H = \ hslash \ omega {\ tilde {H}}}

{\ displaystyle H = \ hslash \ omega {\ tilde {H}}}

unde este:

{\tilde {H}}={\frac {1}{2}}({\tilde {x}}^{2}+{\tilde {p}}^{2})

{\ displaystyle {\ tilde {H}} = {\ frac {1} {2}} ({\ tilde {x}} ^ {2} + {\ tilde {p}} ^ {2})}

{\ displaystyle {\ tilde {H}} = {\ frac {1} {2}} ({\ tilde {x}} ^ {2} + {\ tilde {p}} ^ {2})}

Comutarea între ${\tilde {p}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {p}}}$ ${\ tilde {p}}$ este între ${\tilde {x}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$ este valabil:

[{\tilde {x}},{\tilde {p}}]=i

{\ displaystyle [{\ tilde {x}}, {\ tilde {p}}] = i}

{\ displaystyle [{\ tilde {x}}, {\ tilde {p}}] = i}

Apoi sunt introduși alți doi operatori $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și $a^{\dagger }$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ , definit după cum urmează:

a={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\tilde {x}}+i{\tilde {p}})

{\ displaystyle a = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} ({\ tilde {x}} + i {\ tilde {p}})}

{\ displaystyle a = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} ({\ tilde {x}} + i {\ tilde {p}})}

a^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\tilde {x}}-i{\tilde {p}})

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} ({\ tilde {x}} - i {\ tilde {p}})}

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} ({\ tilde {x}} - i {\ tilde {p}})}

Comutarea între $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este între $a^{\dagger }$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ este valabil:

[a,a^{\dagger }]=1

{\ displaystyle [a, a ^ {\ dagger}] = 1}

{\ displaystyle [a, a ^ {\ dagger}] = 1}

Din motive care vor fi clarificate ulterior, operatorul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ se numește operator de distrugere (sau operator de coborâre ), în timp ce operatorul $a^{\dagger }$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ se numește operator de creație (sau operator de elevație ).

Putem calcula produsul între $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și $a^{\dagger }$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ :

a^{\dagger }a={\frac {1}{2}}({\tilde {x}}-i{\tilde {p}})({\tilde {x}}+i{\tilde {p}})={\frac {1}{2}}({\tilde {x}}^{2}+{\tilde {p}}^{2}+i({\tilde {x}}{\tilde {p}}-{\tilde {p}}{\tilde {x}}))

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} a = {\ frac {1} {2}} ({\ tilde {x}} - i {\ tilde {p}}) ({\ tilde {x}} + i { \ tilde {p}}) = {\ frac {1} {2}} ({\ tilde {x}} ^ {2} + {\ tilde {p}} ^ {2} + i ({\ tilde {x }} {\ tilde {p}} - {\ tilde {p}} {\ tilde {x}}))}

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} a = {\ frac {1} {2}} ({\ tilde {x}} - i {\ tilde {p}}) ({\ tilde {x}} + i { \ tilde {p}}) = {\ frac {1} {2}} ({\ tilde {x}} ^ {2} + {\ tilde {p}} ^ {2} + i ({\ tilde {x }} {\ tilde {p}} - {\ tilde {p}} {\ tilde {x}}))}

dar:

{\tilde {x}}{\tilde {p}}-{\tilde {p}}{\tilde {x}}=[{\tilde {x}},{\tilde {p}}]=i

{\ displaystyle {\ tilde {x}} {\ tilde {p}} - {\ tilde {p}} {\ tilde {x}} = [{\ tilde {x}}, {\ tilde {p}}] = i}

{\ displaystyle {\ tilde {x}} {\ tilde {p}} - {\ tilde {p}} {\ tilde {x}} = [{\ tilde {x}}, {\ tilde {p}}] = i}

prin urmare ^[2] :

a^{\dagger }a={\frac {1}{2}}({\tilde {x}}^{2}+{\tilde {p}}^{2})-{\frac {1}{2}}

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} a = {\ frac {1} {2}} ({\ tilde {x}} ^ {2} + {\ tilde {p}} ^ {2}) - {\ frac {1} {2}}}

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} a = {\ frac {1} {2}} ({\ tilde {x}} ^ {2} + {\ tilde {p}} ^ {2}) - {\ frac {1} {2}}}

\Rightarrow {\tilde {H}}=a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}.

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ tilde {H}} = a ^ {\ dagger} a + {\ frac {1} {2}}.}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ tilde {H}} = a ^ {\ dagger} a + {\ frac {1} {2}}.}

Se poate introduce un alt operator nou, numit numărul operatorului $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ , definit după cum urmează:

N=a^{\dagger }a

{\ displaystyle N = a ^ {\ dagger} a}

{\ displaystyle N = a ^ {\ dagger} a}

iar Hamiltonianul devine apoi:

H=\hslash \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)

{\ displaystyle H = \ hslash \ omega \ left (N + {\ frac {1} {2}} \ right)}

{\ displaystyle H = \ hslash \ omega \ left (N + {\ frac {1} {2}} \ right)}

Acum avem toate elementele în mână pentru a rezolva sistemul.

După cum sa menționat în introducere, trebuie să găsim stările sistemului și valorile energetice.

să presupunem că $|\nu \rangle$ ${\ displaystyle | \ nu \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ nu \ rangle}$ este o stare a sistemului cu energie $E_{\nu }$ ${\ displaystyle E _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle E _ {\ nu}}$ , prin urmare, trebuie să rezolvăm ecuația: ^[3]

H|\nu \rangle =E_{\nu }|\nu \rangle

{\ displaystyle H | \ nu \ rangle = E _ {\ nu} | \ nu \ rangle}

{\ displaystyle H | \ nu \ rangle = E _ {\ nu} | \ nu \ rangle}

și pentru a face acest lucru, trebuie să găsim propriile stări ale operatorului $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ :

N|\nu \rangle =\nu |\nu \rangle

{\ displaystyle N | \ nu \ rangle = \ nu | \ nu \ rangle}

{\ displaystyle N | \ nu \ rangle = \ nu | \ nu \ rangle}

Pentru a găsi valorile posibile ale $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ unele proprietăți trebuie demonstrate.

Teorema 1

Valorile proprii ale operatorului $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ sunt pozitive sau nule.

Ecuația anterioară poate fi scrisă, făcându-l explicit $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ :

a^{\dagger }a|\nu \rangle =\nu |\nu \rangle

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} a | \ nu \ rangle = \ nu | \ nu \ rangle}

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} a | \ nu \ rangle = \ nu | \ nu \ rangle}

Proiectarea asupra statului $|\nu \rangle$ ${\ displaystyle | \ nu \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ nu \ rangle}$ avem:

\langle \nu |a^{\dagger }a|\nu \rangle =\nu \langle \nu |\nu \rangle =\nu

{\ displaystyle \ langle \ nu | a ^ {\ dagger} a | \ nu \ rangle = \ nu \ langle \ nu | \ nu \ rangle = \ nu}

{\ displaystyle \ langle \ nu | a ^ {\ dagger} a | \ nu \ rangle = \ nu \ langle \ nu | \ nu \ rangle = \ nu}

Deoarece stările unui sistem au, prin definiție, o normă unitară .

Dar avem și:

\langle \nu |a^{\dagger }a|\nu \rangle =(a|\nu \rangle )^{+}(a|\nu \rangle )=|(a|\nu \rangle )|^{2}

{\ displaystyle \ langle \ nu | a ^ {\ dagger} a | \ nu \ rangle = (a | \ nu \ rangle) ^ {+} (a | \ nu \ rangle) = | (a | \ nu \ rangle ) | ^ {2}}

{\ displaystyle \ langle \ nu | a ^ {\ dagger} a | \ nu \ rangle = (a | \ nu \ rangle) ^ {+} (a | \ nu \ rangle) = | (a | \ nu \ rangle ) | ^ {2}}

Prin urmare:

\nu =|(a|\nu \rangle )|^{2}

{\ displaystyle \ nu = | (a | \ nu \ rangle) | ^ {2}}

{\ displaystyle \ nu = | (a | \ nu \ rangle) | ^ {2}}

Prin urmare, prin definiția normei unui vector avem că $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ ≥0.
CVD.

Teorema 2

De sine $|\nu \rangle$ ${\ displaystyle | \ nu \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ nu \ rangle}$ este un stat propriu al $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ a valorii proprii $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ , asa de $a|\nu \rangle$ ${\ displaystyle a | \ nu \ rangle}$ ${\ displaystyle a | \ nu \ rangle}$ este un stat propriu al $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ a valorii proprii $\nu -1$ ${\ displaystyle \ nu -1}$ ${\ displaystyle \ nu -1}$ .

Avem:

Na|\nu \rangle =(a^{\dagger }a)a|\nu \rangle

{\ displaystyle Na | \ nu \ rangle = (a ^ {\ dagger} a) a | \ nu \ rangle}

{\ displaystyle Na | \ nu \ rangle = (a ^ {\ dagger} a) a | \ nu \ rangle}

Dar, folosind relația de comutare a $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și $a^{\dagger }$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ obținem că:

a^{\dagger }a=aa^{\dagger }-1

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} a = aa ^ {\ dagger} -1}

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} a = aa ^ {\ dagger} -1}

Deci, prin substituirea:

Na|\nu \rangle =(aa^{\dagger }-1)a|\nu \rangle =a(a^{\dagger }a-1)|\nu \rangle =a(N-1)|\nu \rangle =(\nu -1)a|\nu \rangle

{\ displaystyle Na | \ nu \ rangle = (aa ^ {\ dagger} -1) a | \ nu \ rangle = a (a ^ {\ dagger} a-1) | \ nu \ rangle = a (N-1 ) | \ nu \ rangle = (\ nu -1) a | \ nu \ rangle}

{\ displaystyle Na | \ nu \ rangle = (aa ^ {\ dagger} -1) a | \ nu \ rangle = a (a ^ {\ dagger} a-1) | \ nu \ rangle = a (N-1 ) | \ nu \ rangle = (\ nu -1) a | \ nu \ rangle}

CVD.

Teorema 3

De sine $|\nu \rangle$ ${\ displaystyle | \ nu \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ nu \ rangle}$ este un stat propriu al $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ cu valoare proprie $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ , asa de $a^{\dagger }|\nu \rangle$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger} | \ nu \ rangle}$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger} | \ nu \ rangle}$ este un stat propriu al $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ cu valoare proprie $\nu +1$ ${\ displaystyle \ nu +1}$ ${\ displaystyle \ nu +1}$ .

Avem:

Na^{\dagger }|\nu \rangle =(a^{\dagger }a)a^{\dagger }|\nu \rangle =a^{\dagger }(aa^{\dagger })|\nu \rangle =a^{\dagger }(1+a^{\dagger }a)|\nu \rangle =a^{\dagger }(1+N)|\nu \rangle =(1+\nu )a^{\dagger }|\nu \rangle

{\ displaystyle Na ^ {\ dagger} | \ nu \ rangle = (a ^ {\ dagger} a) a ^ {\ dagger} | \ nu \ rangle = a ^ {\ dagger} (aa ^ {\ dagger}) | \ nu \ rangle = a ^ {\ dagger} (1 + a ^ {\ dagger} a) | \ nu \ rangle = a ^ {\ dagger} (1 + N) | \ nu \ rangle = (1+ \ nu) a ^ {\ dagger} | \ nu \ rangle}

{\ displaystyle Na ^ {\ dagger} | \ nu \ rangle = (a ^ {\ dagger} a) a ^ {\ dagger} | \ nu \ rangle = a ^ {\ dagger} (aa ^ {\ dagger}) | \ nu \ rangle = a ^ {\ dagger} (1 + a ^ {\ dagger} a) | \ nu \ rangle = a ^ {\ dagger} (1 + N) | \ nu \ rangle = (1+ \ nu) a ^ {\ dagger} | \ nu \ rangle}

CVD.

Cu ajutorul acestor teoreme putem găsi valorile proprii ale $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ . Să presupunem că valoarea proprie $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ să fie pozitiv, nu nul și nu întreg și să fie n parte integrală a $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ .

Statul $a|\nu \rangle$ ${\ displaystyle a | \ nu \ rangle}$ ${\ displaystyle a | \ nu \ rangle}$ este o stare proprie cu valoare proprie $\nu -1$ ${\ displaystyle \ nu -1}$ ${\ displaystyle \ nu -1}$ , statul $a^{2}|\nu \rangle$ ${\ displaystyle a ^ {2} | \ nu \ rangle}$ ${\ displaystyle a ^ {2} | \ nu \ rangle}$ este o stare proprie cu valoare proprie $\nu -2$ ${\ displaystyle \ nu -2}$ ${\ displaystyle \ nu -2}$ ,..., statul $a^{n}|\nu \rangle$ ${\ displaystyle a ^ {n} | \ nu \ rangle}$ ${\ displaystyle a ^ {n} | \ nu \ rangle}$ este o stare proprie cu valoare proprie $\nu -n$ ${\ displaystyle \ nu -n}$ ${\ displaystyle \ nu -n}$ , un număr care este între 0 și 1.

Aplicând din nou operatorul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ obțineți statutul $a^{n+1}|\nu \rangle$ ${\ displaystyle a ^ {n + 1} | \ nu \ rangle}$ ${\ displaystyle a ^ {n + 1} | \ nu \ rangle}$ , a valorii proprii $\nu -n-1$ ${\ displaystyle \ nu -n-1}$ ${\ displaystyle \ nu -n-1}$ , număr care este negativ. Acest lucru merge împotriva teoremei 1, conform căreia valorile proprii ale $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ sunt pozitive sau nule, de unde și numărul $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ trebuie să fie întreg (pozitiv sau nul, prin teorema 1), astfel încât vectorul $a^{n}|\nu \rangle$ ${\ displaystyle a ^ {n} | \ nu \ rangle}$ ${\ displaystyle a ^ {n} | \ nu \ rangle}$ atât vectorul nul cât și vectorul $a^{n+1}|\nu \rangle$ ${\ displaystyle a ^ {n + 1} | \ nu \ rangle}$ ${\ displaystyle a ^ {n + 1} | \ nu \ rangle}$ nu exista.

De când pleacă de la un stat propriu $|m\rangle$ ${\ displaystyle | m \ rangle}$ ${\ displaystyle | m \ rangle}$ orice alt stat propriu poate fi obținut, prin aplicația adecvată a operatorilor $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și $a^{\dagger }$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ , rezultă că valorile proprii ale $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ sunt toate numere naturale.

Dar valorile proprii ale $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ sunt, de asemenea, cele ale lui H, pentru care energiile statelor proprii ale oscilatorului armonic sunt cuantificate și sunt valabile:

E_{\nu }=\left(n+{1 \over 2}\right)\hslash \omega

{\ displaystyle E _ {\ nu} = \ left (n + {1 \ over 2} \ right) \ hslash \ omega}

{\ displaystyle E _ {\ nu} = \ left (n + {1 \ over 2} \ right) \ hslash \ omega}

iar stările proprii ale energiei sunt stările proprii $|\nu \rangle$ ${\ displaystyle | \ nu \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ nu \ rangle}$ numărul operatorului.

Rețineți că, deși oscilatorul armonic este un sistem oscilant, stările proprii ale operatorului numeric (și, prin urmare, ale energiei) au fost staționare, adică nu evoluează în timp.

Operatori de creație și distrugere

Același subiect în detaliu: operatorii de creație și anihilare și operatorul Ladder .

Să vedem acum cum funcționează operatorii creației și distrugerii $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și $a^{\dagger }$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ .

Din teorema 2 știm că statul $a|n\rangle$ ${\ displaystyle a | n \ rangle}$ ${\ displaystyle a | n \ rangle}$ este un stat propriu al $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ cu valoare proprie $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n - 1$ , și presupunând că nivelurile de energie ale oscilatorului unidimensional nu sunt degenerate, ^[4] avem că:

a|n\rangle =k|n-1\rangle

{\ displaystyle a | n \ rangle = k | n-1 \ rangle}

{\ displaystyle a | n \ rangle = k | n-1 \ rangle}

Norma acestui vector este n, ^[5] prin urmare:

k={\sqrt {n}}

{\ displaystyle k = {\ sqrt {n}}}

{\ displaystyle k = {\ sqrt {n}}}

Și:

a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle

{\ displaystyle a | n \ rangle = {\ sqrt {n}} | n-1 \ rangle}

{\ displaystyle a | n \ rangle = {\ sqrt {n}} | n-1 \ rangle}

În mod absolut identic se poate demonstra că:

a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} | n \ rangle = {\ sqrt {n + 1}} | n + 1 \ rangle}

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} | n \ rangle = {\ sqrt {n + 1}} | n + 1 \ rangle}

Prin urmare, înțelegem terminologia introdusă de Dirac: operatorul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ face ca sistemul să treacă de la starea de energie n la starea de energie n-1, prin urmare, distruge un cuantum de energie; în mod similar operatorul $a^{\dagger }$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ face ca sistemul să treacă de la starea de energie n la starea de energie n + 1, prin urmare, creează o cuantă de energie.

Odată ce starea fundamentală este cunoscută, întreaga bază a statelor proprii a poate fi obținută prin recurență $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ :

|n\rangle ={\frac {(a^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0\rangle

{\ displaystyle | n \ rangle = {\ frac {(a ^ {\ dagger}) ^ {n}} {\ sqrt {n!}}} | 0 \ rangle}

{\ displaystyle | n \ rangle = {\ frac {(a ^ {\ dagger}) ^ {n}} {\ sqrt {n!}}} | 0 \ rangle}

Relațiile utile, adesea folosite în probleme, între operatorii de poziție și de impuls cu a ⁺ și a se obțin prin exprimarea primului în funcție de acesta din urmă:

x={\sqrt {\frac {\hslash }{2m\omega }}}(a^{\dagger }+a)

{\ displaystyle x = {\ sqrt {\ frac {\ hslash} {2m \ omega}}} (a ^ {\ dagger} + a)}

{\ displaystyle x = {\ sqrt {\ frac {\ hslash} {2m \ omega}}} (a ^ {\ dagger} + a)}

p=i{\sqrt {\frac {m\omega \hslash }{2}}}(a^{\dagger }-a)

{\ displaystyle p = i {\ sqrt {\ frac {m \ omega \ hslash} {2}}} (a ^ {\ dagger} -a)}

{\ displaystyle p = i {\ sqrt {\ frac {m \ omega \ hslash} {2}}} (a ^ {\ dagger} -a)}

cu relații analoge pentru x ² și p ² . Aceste expresii ale operatorului sunt adesea folosite deoarece acționează într-un mod simplu asupra schiței proprii a energiei și permit evitarea produselor scalare complicate prin utilizarea funcțiilor de undă în poziția sau în impuls.

Starea fundamentală

Am arătat că energia unui stat $|n\rangle$ ${\ displaystyle | n \ rangle}$ $| n \ rangle$ generic este valabil:

E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hslash \omega

{\ displaystyle E_ {n} = \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) \ hslash \ omega}

{\ displaystyle E_ {n} = \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) \ hslash \ omega}

Prin urmare, energia stării fundamentale deține:

E_{0}={\frac {1}{2}}\hslash \omega

{\ displaystyle E_ {0} = {\ frac {1} {2}} \ hslash \ omega}

{\ displaystyle E_ {0} = {\ frac {1} {2}} \ hslash \ omega}

Contrar cazului clasic, energia stării fundamentale nu este zero și acest lucru este în acord total cu principiul incertitudinii lui Heisenberg .

Să ne punem într-o perspectivă semiclassică. Reamintim că principiul incertitudinii spune că:

\Delta x\Delta p\geq {1 \over 2}\hslash

{\ displaystyle \ Delta x \ Delta p \ geq {1 \ over 2} \ hslash}

{\ displaystyle \ Delta x \ Delta p \ geq {1 \ over 2} \ hslash}

care, pentru starea fundamentală a oscilatorului armonic, este valabil cu semnul egal (indeterminare minimă).

Valoarea medie a hamiltonienului este dată de:

\langle H\rangle ={\frac {\langle p^{2}\rangle }{2m}}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\langle x^{2}\rangle

{\ displaystyle \ langle H \ rangle = {\ frac {\ langle p ^ {2} \ rangle} {2m}} + {1 \ over 2} m \ omega ^ {2} \ langle x ^ {2} \ rangle }

{\ displaystyle \ langle H \ rangle = {\ frac {\ langle p ^ {2} \ rangle} {2m}} + {1 \ over 2} m \ omega ^ {2} \ langle x ^ {2} \ rangle }

și din principiul incertitudinii rezultă că:

\langle p^{2}\rangle ={\frac {\hslash ^{2}}{4\langle x^{2}\rangle }}

{\ displaystyle \ langle p ^ {2} \ rangle = {\ frac {\ hslash ^ {2}} {4 \ langle x ^ {2} \ rangle}}}

{\ displaystyle \ langle p ^ {2} \ rangle = {\ frac {\ hslash ^ {2}} {4 \ langle x ^ {2} \ rangle}}}

Înlocuind valoarea medie a hamiltonienului obținem:

\langle H\rangle ={\frac {\hslash ^{2}}{8m\langle x^{2}\rangle }}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\langle x^{2}\rangle

{\ displaystyle \ langle H \ rangle = {\ frac {\ hslash ^ {2}} {8m \ langle x ^ {2} \ rangle}} + {1 \ over 2} m \ omega ^ {2} \ langle x ^ {2} \ rangle}

{\ displaystyle \ langle H \ rangle = {\ frac {\ hslash ^ {2}} {8m \ langle x ^ {2} \ rangle}} + {1 \ over 2} m \ omega ^ {2} \ langle x ^ {2} \ rangle}

minimul acestei expresii (care este echivalent cu a te pune în starea fundamentală) se obține prin:

\langle x^{2}\rangle ={\frac {\hslash }{2m\omega }}

{\ displaystyle \ langle x ^ {2} \ rangle = {\ frac {\ hslash} {2m \ omega}}}

{\ displaystyle \ langle x ^ {2} \ rangle = {\ frac {\ hslash} {2m \ omega}}}

Valoare pentru care avem:

\langle H\rangle ={1 \over 2}\hslash \omega

{\ displaystyle \ langle H \ rangle = {1 \ over 2} \ hslash \ omega}

{\ displaystyle \ langle H \ rangle = {1 \ over 2} \ hslash \ omega}

Adică energia stării fundamentale.

Legame tra metodo analitico e metodo algebrico

Per trovare il legame tra il metodo analitico e quello algebrico si deve usare l'espressione esplicita degli operatori $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ ed $a^{\dagger }$ $a^{\dagger }$ $a^{\dagger }$ , in rappresentazione di Schroedinger delle coordinate .

Cominciamo dallo stato fondamentale, usando la relazione:

a|0\rangle =0

a|0\rangle =0

a|0\rangle =0

ovvero:

\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hslash }}}x+\hslash {\frac {1}{\sqrt {m\omega \hslash }}}{\frac {d}{dx}}\right)\phi _{0}(x)=0

\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hslash }}}x+\hslash {\frac {1}{\sqrt {m\omega \hslash }}}{\frac {d}{dx}}\right)\phi _{0}(x)=0

\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hslash }}}x+\hslash {\frac {1}{\sqrt {m\omega \hslash }}}{\frac {d}{dx}}\right)\phi _{0}(x)=0

Esplicitando e rimaneggiando un po' l'espressione:

{\frac {m\omega }{\hslash }}x\phi _{0}(x)+{\frac {d}{dx}}\phi _{0}(x)=0

{\frac {m\omega }{\hslash }}x\phi _{0}(x)+{\frac {d}{dx}}\phi _{0}(x)=0

{\frac {m\omega }{\hslash }}x\phi _{0}(x)+{\frac {d}{dx}}\phi _{0}(x)=0

La soluzione di questa equazione è un esponenziale:

\phi _{0}(x)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hslash }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {m\omega }{\hslash }}{\frac {x^{2}}{2}}}

\phi _{0}(x)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hslash }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {m\omega }{\hslash }}{\frac {x^{2}}{2}}}

\phi _{0}(x)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hslash }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {m\omega }{\hslash }}{\frac {x^{2}}{2}}}

Le funzioni che descrivono gli altri stati si trovano per ricorrenza, tramite applicazione dell'operatore $a^{\dagger }$ $a^{\dagger }$ $a^{\dagger }$ , espresso in termini di $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ e $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ alla funzione dello stato fondamentale $\phi _{0}(x)$ $\phi _{0}(x)$ $\phi _{0}(x)$ .

Come si vede, quindi in entrambi i metodi si trova che l'energia è quantizzata, e che assume dei valori dipendenti dal numero quantico n del livello del sistema.

Le espressioni dell'energia sono identiche in entrambi i casi e le funzioni d'onda che si trovano sono le stesse: i due metodi, quindi, sono completamente equivalenti ed usare l'uno o l'altro per risolvere il sistema dipende dal gusto personale.

Note

^ Per norma si intende in questo caso il seguente integrale:
$\int _{-\infty }^{+\infty }\phi ^{2}(\xi )d\xi$ $\int _{-\infty }^{+\infty }\phi ^{2}(\xi )d\xi$ $\int _{-\infty }^{+\infty }\phi ^{2}(\xi )d\xi$
Ovviamente, poiché si ha:
$\lim _{\xi \to \pm \infty }e^{\xi ^{2}}=\infty$ $\lim _{\xi \to \pm \infty }e^{\xi ^{2}}=\infty$ $\lim _{\xi \to \pm \infty }e^{\xi ^{2}}=\infty$
l'integrale non converge, mentre si ha:
$\lim _{\xi \to \pm \infty }\xi ^{n}e^{-\xi ^{2}}=0$ $\lim _{\xi \to \pm \infty }\xi ^{n}e^{-\xi ^{2}}=0$ $\lim _{\xi \to \pm \infty }\xi ^{n}e^{-\xi ^{2}}=0$
e quindi l'integrale della norma converge. Anche intuitivamente è difficile supporre che una particella tenda ad allontanarsi dall'origine quando c'è una forza di richiamo che tende a farla ritornare al punto di partenza.
^ Espressioni del tipo:
$a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}$ $a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}$ $a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}$
vanno intese evidentemente come:
$a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}I,$ $a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}I,$ $a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}I,$
dove $I$ ${\displaystyle I}$ $I$ è l' operatore identità ; Stesso discorso vale per i commutatori, ad esempio, si dovrebbe scrivere:
$[{\tilde {x}},{\tilde {p}}]=iI.$ $[{\tilde {x}},{\tilde {p}}]=iI.$ $[{\tilde {x}},{\tilde {p}}]=iI.$
Tuttavia, per alleggerire la notazione, normalmente, si omette di indicare l'operatore I .
^ In pratica si devono trovare gli autostati e gli autovalori dell'operatore H.
^ Ciò vuol dire che ad ogni valore di energia corrisponde un solo stato quantistico. Si noti che questo è vero solo nel caso dell'oscillatore in una dimensione, gli stati dell'energia nell'oscillatore a due oa tre dimensioni sono degeneri.
^ Vedi la dimostrazione del teorema 1.

Bibliografia

Richard Feynman , La fisica di Feynman , vol. 1, Bologna, Zanichelli, 2001, ISBN 978-88-08-16782-8 . :
- par. 41-3: Equipartizione e l'oscillatore quantistico
David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics , 2ª ed., Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-805326-X .
Liboff, Richard L. , Introductory Quantum Mechanics , Addison-Wesley, 2002, ISBN 0-8053-8714-5 .