Cuantificarea câmpului electromagnetic

În fizică , cuantizarea câmpului electromagnetic este descrierea câmpului electromagnetic , responsabil pentru undele electromagnetice , în formalismul mecanicii cuantice . Tratamentul este, în unele privințe, asemănătoare cu cea a oscilatorului armonic , deși mai complicată , având în vedere o mai mare complexitate a ecuațiilor care descriu câmpul.

Ecuațiile lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic

Același subiect în detaliu: ecuațiile lui Maxwell .

ecuațiile lui Maxwell permit de a găsi câmpul electromagnetic în fiecare punct al spațiului, având în vedere sursele:

\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} ,t)

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ rho (\ mathbf {r}, t)}

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ rho (\ mathbf {r}, t)}

\nabla \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=0

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = 0}

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = 0}

\nabla \times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)

{\ Displaystyle \ nabla \ ori \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = - {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) }

{\ Displaystyle \ nabla \ ori \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = - {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) }

\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+{\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}\mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)

{\ Displaystyle \ nabla \ ori \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) + {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0} c ^ {2}}} \ mathbf {j} (\ mathbf {r}, t)}

{\ Displaystyle \ nabla \ ori \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) + {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0} c ^ {2}}} \ mathbf {j} (\ mathbf {r}, t)}

Din aceste ecuații rezultă că există un potențial vector $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t)}$ și un potențial scalar $V(\mathbf {r} ,t)$ ${\ V displaystyle (\ mathbf {r}, t)}$ ${\ V displaystyle (\ mathbf {r}, t)}$ astfel încât:

\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)

{\ Displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = \ nabla \ mathbf ori \ {A} (\ mathbf {r}, t)}

{\ Displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = \ nabla \ mathbf ori \ {A} (\ mathbf {r}, t)}

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)-\nabla V(\mathbf {r} ,t)

{\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = - {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) - \ nabla V (\ mathbf {r}, t)}

{\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = - {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) - \ nabla V (\ mathbf {r}, t)}

Unele proprietăți ale transformatei Fourier

Același subiect în detaliu: Transformata Fourier .

Înainte de a efectua cuantizarea câmpului, este recomandabil să treacă în spațiul reciproc prin aplicarea transformata Fourier a ecuatiile lui Maxwell. ^[1]

În acest scop, am enumera aici unele proprietăți ale transformare în ceea ce privește operatorii diferențiale, care urmează direct din definiția transformării Fourier.

Este ${\mathcal {F}}_{n}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$ de transformare a unei funcții $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ urca, atunci:

\nabla F\leftrightarrow i\mathbf {k} _{n}{\mathcal {F}}_{n}

{\ Displaystyle \ nabla F \ leftrightarrow i \ mathbf {k} _ {n} {\ mathcal {F}} _ {n}}

{\ Displaystyle \ nabla F \ leftrightarrow i \ mathbf {k} _ {n} {\ mathcal {F}} _ {n}}

De sine $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ este o funcție vectorială avem:

\nabla \cdot \mathbf {F} \leftrightarrow i\mathbf {k} _{n}\cdot {\mathcal {F}}_{n}

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ leftrightarrow i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot {\ mathcal {F}} _ {n}}

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ leftrightarrow i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot {\ mathcal {F}} _ {n}}

\nabla \times \mathbf {F} \leftrightarrow i\mathbf {k} _{n}\times {\mathcal {F}}_{n}

{\ Displaystyle \ nabla \ ori \ mathbf {F} \ leftrightarrow i \ mathbf {k} _ {n} \ ori {\ mathcal {F}} _ {n}}

{\ Displaystyle \ nabla \ ori \ mathbf {F} \ leftrightarrow i \ mathbf {k} _ {n} \ ori {\ mathcal {F}} _ {n}}

Este demn de amintit că, dacă $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ este un vector, atunci, de asemenea, ${\mathcal {F}}_{n}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$ acesta va fi: componentele vectorului sunt, prin urmare, transformatelor componentelor respective ale vectorului $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ , Pentru care produsul scalar și produsul vectorial între $\mathbf {k} _{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {n}}$ Și ${\mathcal {F}}_{n}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$ acestea sunt definite.

Ecuațiile lui Maxwell în spațiu reciproc

Motivul pentru utilizarea transformata Fourier în electromagnetice se află procesul de cuantificare câmp în faptul că operatorii de vector ( divergență și rotor ) sunt transformate de la operatori diferențiali operatorilor algebrice, mult mai ușor de manevrat.

Ecuațiile în spațiu reciproc , își amintesc proprietățile paragrafului anterior sunt, prin urmare:

i\mathbf {k} _{n}\cdot {\mathcal {E}}_{n}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho _{n}

{\ Displaystyle i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot {\ mathcal {E}} _ {n} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ rho _ {n}}

{\ Displaystyle i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot {\ mathcal {E}} _ {n} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ rho _ {n}}

\mathbf {k} _{n}\cdot {\mathcal {B}}_{n}=0

{\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {n} \ cdot {\ mathcal {B}} _ {n} = 0}

{\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {n} \ cdot {\ mathcal {B}} _ {n} = 0}

i\mathbf {k} _{n}\times {\mathcal {E}}_{n}=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathcal {B}}_{n}

{\ Displaystyle i \ mathbf {k} _ {n} \ ori {\ mathcal {E}} _ {n} = - {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} {\ mathcal {B}} _ { n}}

{\ Displaystyle i \ mathbf {k} _ {n} \ ori {\ mathcal {E}} _ {n} = - {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} {\ mathcal {B}} _ { n}}

i\mathbf {k} _{n}\times {\mathcal {B}}_{n}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathcal {E}}_{n}+{\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}j_{n}

{\ Displaystyle i \ mathbf {k} _ {n} \ ori {\ mathcal {B}} _ {n} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ t parțial}} {\ mathcal {E}} _ {n} + {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0} c ^ {2}}} j_ {n}}

{\ Displaystyle i \ mathbf {k} _ {n} \ ori {\ mathcal {B}} _ {n} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ t parțial}} {\ mathcal {E}} _ {n} + {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0} c ^ {2}}} j_ {n}}

Puteți comenta unele consecințe, înainte de a trece la cuantizarea actuale.

În primul rând din a doua ecuație rezultă că ${\mathcal {B}}_{n}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {n}}$ este ortogonală la $\mathbf {k} _{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {n}}$ , Prin urmare, este util să se efectueze descompunerea ${\mathcal {E}}_{n}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {n}}$ într-o normală și o componentă paralelă (a $\mathbf {k} _{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {n}}$ ).

Din prima ecuație, vedem că componenta paralelă a ${\mathcal {E}}_{n}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {n}}$ este legată de densitatea de încărcare, prin urmare, la câmpul creat instantaneu de taxe la punctul $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ .

Din a treia ecuație vedea că componenta normală a ${\mathcal {E}}_{n}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {n}}$ este legată de componenta normală a ${\mathcal {B}}_{n}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {n}}$ , În plus, din a patra ecuație obținem că:

{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathcal {E}}_{n\bot }=ic^{2}\mathbf {k} _{n}\times {\mathcal {B}}_{n\bot }-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}j_{n\bot }

{\ Displaystyle {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} {\ mathcal {E}} _ {n \ bot} = ic ^ {2} \ mathbf {k} _ {n} \ ori {\ mathcal { B}} _ {n \ bot} - {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} j_ {n \ bot}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} {\ mathcal {E}} _ {n \ bot} = ic ^ {2} \ mathbf {k} _ {n} \ ori {\ mathcal { B}} _ {n \ bot} - {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} j_ {n \ bot}}

Introducerea, de asemenea, de transformare a potențialului vectorial avem:

{\mathcal {B}}_{n\bot }=i\mathbf {k} _{n}\times {\mathcal {A}}_{n\bot }

{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {n \ bot} = i \ mathbf {k} _ {n} \ ori {\ mathcal {A}} _ {n \ bot}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {n \ bot} = i \ mathbf {k} _ {n} \ ori {\ mathcal {A}} _ {n \ bot}}

și din a treia ecuație obținem imediat că:

{\mathcal {E}}_{n\bot }=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\mathcal {A}}_{n\bot }

{\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {n \ bot} = - {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} {\ mathcal {A}} _ {n \ bot}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {n \ bot} = - {\ frac {\ parțial} {\ t parțial}} {\ mathcal {A}} _ {n \ bot}}

Cuantificarea câmpului electromagnetic

Pentru a efectua cuantizarea este necesar să se cunoască expresia hamiltonianul unui sistem.

Pentru câmpul electromagnetic clasic se aplică:

H={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \left[|\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)|^{2}+|c\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)|^{2}\right]d^{3}\mathbf {r}

{\ Displaystyle H = {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {2}} \ int \ stânga [| \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) | ^ {2} + | c \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) | ^ {2} \ right] d ^ {3} \ mathbf {r}}

{\ Displaystyle H = {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {2}} \ int \ stânga [| \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) | ^ {2} + | c \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) | ^ {2} \ right] d ^ {3} \ mathbf {r}}

și, trecând pe la spațiul reciproc:

H={\frac {\varepsilon _{0}}{2L^{3}}}\sum _{n}\left[|{\mathcal {E}}_{n}(t)|^{2}+|c{\mathcal {B}}_{n}(t)|^{2}\right]

{\ Displaystyle H = {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {2l ^ {3}}} \ sum _ {n} \ stânga [| {\ mathcal {E}} _ {n} (t) | ^ {2} + | c {\ mathcal {B}} _ {n} (t) | ^ {2} \ right]}

{\ Displaystyle H = {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {2l ^ {3}}} \ sum _ {n} \ stânga [| {\ mathcal {E}} _ {n} (t) | ^ {2} + | c {\ mathcal {B}} _ {n} (t) | ^ {2} \ right]}

În special, la fel ca în cazul clasic, hamiltonianul poate fi separat într - o normală și o parte paralelă, ^[2] , în special partea normală, este în valoare de :

H_{\perp }={\frac {\varepsilon _{0}}{2L^{3}}}\sum _{n}\left[|{\mathcal {E}}_{\perp n}(t)|^{2}+|c{\mathcal {B}}_{\perp n}(t)|^{2}\right]

{\ H displaystyle _ {\ făptașul} = {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {2l ^ {3}}} \ sum _ {n} \ stânga [| {\ mathcal {E}} _ {\ făptașul n} (t) | ^ {2} + | c {\ mathcal {B}} _ {\ făptașul n} (t) | ^ {2} \ right]}

{\ H displaystyle _ {\ făptașul} = {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {2l ^ {3}}} \ sum _ {n} \ stânga [| {\ mathcal {E}} _ {\ făptașul n} (t) | ^ {2} + | c {\ mathcal {B}} _ {\ făptașul n} (t) | ^ {2} \ right]}

Având în vedere relația dintre frecvență și vectorul de undă:

\omega _{n}=c|\mathbf {k} _{n}|

{\ Displaystyle \ omega _ {n} = c | \ mathbf {k} _ {n} |}

{\ Displaystyle \ omega _ {n} = c | \ mathbf {k} _ {n} |}

și relația dintre ${\mathcal {B}}_{n}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {n}}$ și ${\mathcal {A}}_{n}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {n}}$ hamiltonianul poate fi, de asemenea, scris în felul următor:

H_{\perp }={\frac {\varepsilon _{0}}{2L^{3}}}\sum _{n}\left[|{\mathcal {E}}_{\perp n}(t)|^{2}+|\omega _{n}{\mathcal {A}}_{\perp n}(t)|^{2}\right]

{\ H displaystyle _ {\ făptașul} = {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {2l ^ {3}}} \ sum _ {n} \ stânga [| {\ mathcal {E}} _ {\ făptașul n} (t) | ^ {2} + | \ omega _ {n} {\ mathcal {A}} _ {\ făptașul n} (t) | ^ {2} \ right]}

{\ H displaystyle _ {\ făptașul} = {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {2l ^ {3}}} \ sum _ {n} \ stânga [| {\ mathcal {E}} _ {\ făptașul n} (t) | ^ {2} + | \ omega _ {n} {\ mathcal {A}} _ {\ făptașul n} (t) | ^ {2} \ right]}

Acest Hamiltonian poate fi comparată cu cea a oscilatorului armonic și este identificat în ea , dacă identificăm următorii termeni:

{\mbox{pulsazione}}\to \omega _{n}

{\ Displaystyle {\ mbox {puls}} \ a \ omega _ {n}}

{\ Displaystyle {\ mbox {puls}} \ a \ omega _ {n}}

{\mbox{massa}}\ m\to {\frac {\varepsilon _{0}}{L^{3}}}

{\ Displaystyle {\ mbox {massa}} \ m \ to {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {L ^ {3}}}}

{\ Displaystyle {\ mbox {massa}} \ m \ to {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {L ^ {3}}}}

${\mbox{posizione}}\ {\hat {x}}\to {\hat {\mathcal {A}}}_{\perp n}$ ${\ Displaystyle {\ mbox {position}} \ {\ hat {x}} \ to {\ hat {\ mathcal {A}}} _ {\ făptașul n}}$ ${\ Displaystyle {\ mbox {position}} \ {\ hat {x}} \ to {\ hat {\ mathcal {A}}} _ {\ făptașul n}}$

{\mbox{impulso}}\ {\hat {p}}\to -{\frac {\varepsilon _{0}}{L^{3}}}{\hat {\mathcal {E}}}_{\perp n}

{\ Displaystyle {\ mbox {impuls}} \ {\ hat {p}} \ to - {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {L ^ {3}}} {\ hat {\ mathcal {E}} } _ {\ făptașul n}}

{\ Displaystyle {\ mbox {impuls}} \ {\ hat {p}} \ to - {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {L ^ {3}}} {\ hat {\ mathcal {E}} } _ {\ făptașul n}}

În mod similar, cei doi operatori pot fi introduse $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și $a^{+}$ ${\ Displaystyle a ^ {+}}$ ${\ Displaystyle a ^ {+}}$ definit astfel:

a={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{2\hslash \omega _{n}L^{3}}}}\left[\omega _{n}{\hat {\mathcal {A}}}_{\perp n}+i{\hat {\mathcal {E}}}_{\perp n}\right]

{\ Displaystyle a = {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {2 \ hslash \ omega _ {n} L ^ {3}}}} \ stânga [\ omega _ {n} {\ hat { \ mathcal {A}}} _ {\ făptașul n} + i {\ hat {\ mathcal {E}}} _ {\ făptașul n} \ right]}

{\ Displaystyle a = {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {2 \ hslash \ omega _ {n} L ^ {3}}}} \ stânga [\ omega _ {n} {\ hat { \ mathcal {A}}} _ {\ făptașul n} + i {\ hat {\ mathcal {E}}} _ {\ făptașul n} \ right]}

a^{+}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{2\hslash \omega _{n}L^{3}}}}\left[\omega _{n}{\hat {\mathcal {A}}}_{\perp n}-i{\hat {\mathcal {E}}}_{\perp n}\right]

{\ Displaystyle a ^ {+} = {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {2 \ hslash \ omega _ {n} L ^ {3}}}} \ stânga [\ omega _ {n} {\ hat {\ mathcal {A}}} _ {\ făptașul n} {-i \ hat {\ mathcal {E}}} _ {\ făptașul n} \ right]}

{\ Displaystyle a ^ {+} = {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon _ {0}} {2 \ hslash \ omega _ {n} L ^ {3}}}} \ stânga [\ omega _ {n} {\ hat {\ mathcal {A}}} _ {\ făptașul n} {-i \ hat {\ mathcal {E}}} _ {\ făptașul n} \ right]}

Rețineți că , în această secțiune pălării operatorului au fost păstrate pentru claritate și la confuzii cu transformatelor a evita câmp.

operatorii $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și $a^{+}$ ${\ Displaystyle a ^ {+}}$ ${\ Displaystyle a ^ {+}}$ acestea operează numai pe modul de oscilație n și, în mod similar cu cazul oscilatorului, ipoteza se face ca:

[a_{n},a_{m}^{+}]=\delta _{mn}

{\ Displaystyle [a_ {n}, a_ {m} ^ {+}] = \ delta _ {mn}}

{\ Displaystyle [a_ {n}, a_ {m} ^ {+}] = \ delta _ {mn}}

Observați diferența care există între cele două cazuri: în oscilatorul există doar un singur mod de oscilație, aici există n, operatorii care acționează în două moduri diferite de a comuta. ^[3]

Prin urmare, Hamiltonianul câmpului electromagnetic este scris:

H_{\perp \;em}=\sum _{n}\hslash \omega _{n}\left(a^{+}a+{1 \over 2}\right)

{\ H displaystyle _ {\ făptașul \; em} = \ sum _ {n} \ hslash \ omega _ {n} \ stânga (a ^ {+} a + {1 \ peste 2} \ dreapta)}

{\ H displaystyle _ {\ făptașul \; em} = \ sum _ {n} \ hslash \ omega _ {n} \ stânga (a ^ {+} a + {1 \ peste 2} \ dreapta)}

adică, ca suma n unidimensional armonice independente oscilatoare, fiecare oscilant cu pulsații $\omega _{n}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {n}}$ .

Comentarii

Notă în primul rând că, din moment ce doar normele de vectori apar în hamiltonianul ${\mathcal {E}}_{n}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {n}}$ și ${\mathcal {A}}_{n}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {n}}$ , Hamiltonianul poate implica termeni complexe de tipul $e^{i\mathbf {k} _{n}\cdot \mathbf {r} }$ ${\ Displaystyle e ^ {i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot \ mathbf {r}}}$ ${\ Displaystyle e ^ {i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot \ mathbf {r}}}$ , Care au o normă unitară, spre deosebire de cazul oscilatorului care implică variabile doar reale.

Mai mult decât atât, cuantificați hamiltonianul nu depinde în mod explicit la timp, astfel încât hamiltonianul modului de oscilație n este staționară, chiar dacă acesta este destinat să descrie o stare de oscilație în timp, la fel ca și stările corespunzătoare ale operatorului sunt staționare în timp. Acest aparent paradox este rezolvată prin introducerea unui stat special, numit un stat coerent.

Rămâne de văzut ce este expresia operatorilor ${\hat {E}}_{\perp },\;{\hat {A}}_{\perp }$ ${\ Displaystyle {\ hat {E}} _ {\ făptașul} \; {\ hat {A}} _ {\ făptașul}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {E}} _ {\ făptașul} \; {\ hat {A}} _ {\ făptașul}}$ Și ${\hat {B}}_{\perp }$ ${\ Displaystyle {\ hat {B}} _ {\ făptașul}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {B}} _ {\ făptașul}}$ , În funcție de operatorii spațiului reciproc.

Aici apare problema faza menționată mai devreme: avem doar normele, deci nu avem nici un mijloc de a găsi fazele.

Cu toate acestea, se poate demonstra că:

{\hat {E}}_{n}=i\sum _{n}{\mathcal {F}}_{n}\left(a_{n}e^{i\mathbf {k} _{n}\cdot \mathbf {r} }-a_{n}^{+}e^{-i\mathbf {k} _{n}\cdot \mathbf {r} }\right)\mathbf {\varepsilon } _{n}

{\ Displaystyle {\ hat {E}} _ {n} = i \ suma _ {n} {\ mathcal {F}} _ {n} \ stânga (a_ {n} e ^ {i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot \ mathbf {r}} -a_ {n} ^ {+} e ^ {- i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot \ mathbf {r}} \ dreapta) \ mathbf {\ varepsilon } _ {n}}

{\ Displaystyle {\ hat {E}} _ {n} = i \ suma _ {n} {\ mathcal {F}} _ {n} \ stânga (a_ {n} e ^ {i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot \ mathbf {r}} -a_ {n} ^ {+} e ^ {- i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot \ mathbf {r}} \ dreapta) \ mathbf {\ varepsilon } _ {n}}

{\hat {A}}_{n}=\sum _{n}{\frac {{\mathcal {F}}_{n}}{\omega _{n}}}\left(a_{n}e^{i\mathbf {k} _{n}\cdot \mathbf {r} }+a_{n}^{+}e^{-i\mathbf {k} _{n}\cdot \mathbf {r} }\right)\mathbf {\varepsilon } _{n}

{\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {n} = \ sum _ {n} {\ frac {{\ mathcal {F}} _ {n}} {\ omega _ {n}}} \ stânga (a_ {n} e ^ {i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot \ mathbf {r}} + a_ {n} ^ {+} e ^ {- i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot \ mathbf {r}} \ dreapta) \ mathbf {\ varepsilon} _ {n}}

{\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {n} = \ sum _ {n} {\ frac {{\ mathcal {F}} _ {n}} {\ omega _ {n}}} \ stânga (a_ {n} e ^ {i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot \ mathbf {r}} + a_ {n} ^ {+} e ^ {- i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot \ mathbf {r}} \ dreapta) \ mathbf {\ varepsilon} _ {n}}

{\hat {B}}_{n}=i\sum _{n}{\mathcal {F}}_{n}{\frac {\mathbf {k} _{n}\times \mathbf {\varepsilon } _{n}}{\omega _{n}}}\left(a_{n}e^{i\mathbf {k} _{n}\cdot \mathbf {r} }-a_{n}^{+}e^{-i\mathbf {k} _{n}\cdot \mathbf {r} }\right)

{\ Displaystyle {\ hat {B}} _ {n} = i \ suma _ {n} {\ mathcal {}} _ {n} {\ frac {\ mathbf {} _ {n} \ ori \ mathbf k F {\ varepsilon} _ {n}} {\ omega _ {n}}} \ stânga (a_ {n} e ^ {i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot \ mathbf {r}} -a_ {n } ^ {+} e ^ {- i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot \ mathbf {r}} \ dreapta)}

{\ Displaystyle {\ hat {B}} _ {n} = i \ suma _ {n} {\ mathcal {}} _ {n} {\ frac {\ mathbf {} _ {n} \ ori \ mathbf k F {\ varepsilon} _ {n}} {\ omega _ {n}}} \ stânga (a_ {n} e ^ {i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot \ mathbf {r}} -a_ {n } ^ {+} e ^ {- i \ mathbf {k} _ {n} \ cdot \ mathbf {r}} \ dreapta)}

Rețineți că numai operatorii din expresiile de mai sus sunt $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și $a^{+}$ ${\ Displaystyle a ^ {+}}$ ${\ Displaystyle a ^ {+}}$ , cantitatea $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ mathbf {r}}$ este o variabilă de spațiul real; vectorul $\mathbf {\varepsilon } _{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ varepsilon} _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ varepsilon} _ {n}}$ este vectorul de polarizare a câmpului electric și cantitatea ${\mathcal {F}}_{n}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$ se numește câmpul de oscilație în vid și este:

{\mathcal {F}}_{n}={\sqrt {\frac {\hslash \omega _{n}}{2\varepsilon _{0}L^{3}}}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} = {\ sqrt {\ frac {\ hslash \ omega _ {n}} {2 \ varepsilon _ {0} L ^ {3}}}}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} = {\ sqrt {\ frac {\ hslash \ omega _ {n}} {2 \ varepsilon _ {0} L ^ {3}}}}}

fotonii

Având în vedere forma hamiltonianul, toate rezultatele găsite pentru oscilatorul rămân valabile.

În special, statele Hamiltonianul sunt de tip $|w_{1},w_{2},.....\rangle$ ${\ Displaystyle | w_ {1}, w_ {2}, ..... \ rangle}$ ${\ Displaystyle | w_ {1}, w_ {2}, ..... \ rangle}$ cu $w_{1},\;w_{2},....$ ${\ Displaystyle w_ {1} \; w_ {2}, ....}$ ${\ Displaystyle w_ {1} \; w_ {2}, ....}$ numere întregi pozitive.

Aceste stări sunt obținute pornind de la starea gol sau la sol $|0_{1},\;0_{2},\;...\rangle$ ${\ Displaystyle | 0_ {1} \; 0_ {2}, \; ... \ rangle}$ ${\ Displaystyle | 0_ {1} \; 0_ {2}, \; ... \ rangle}$ prin intermediul aplicației operatorul de creare:

|w_{1},\;w_{2},\;...\rangle ={\frac {(a_{1}^{+})^{w_{1}}(a_{2}^{+})^{w_{2}}\;...}{\sqrt {w_{1}!w_{2}!\;...}}}|0_{1},\;0_{2},\;...\rangle

{\ Displaystyle | w_ {1} \; w_ {2}, \; ... \ rangle = {\ frac {(a_ {1} ^ {+}) ^ {w_ {1}} (a_ {2} ^ {+}) ^ {w_ {2}} \; ...} {\ sqrt {w_ {1} w_ {2} \;!! ...}}} | 0_ {1}, \; 0_ { 2}, \; ... \ rangle}

{\ Displaystyle | w_ {1} \; w_ {2}, \; ... \ rangle = {\ frac {(a_ {1} ^ {+}) ^ {w_ {1}} (a_ {2} ^ {+}) ^ {w_ {2}} \; ...} {\ sqrt {w_ {1} w_ {2} \;!! ...}}} | 0_ {1}, \; 0_ { 2}, \; ... \ rangle}

Deoarece cuanta de energie a câmpului electromagnetic se numesc fotoni , atunci numărul de ocupare al nivelului n este identificat cu numărul de fotoni de modul n. ^[4] Rețineți că , deoarece nu există nici o limită pentru populația de moduri, aceste particule trebuie să fie bosoni .

Energia statului generic este dată de:

E=\sum _{n}\left(w_{n}+{\frac {1}{2}}\right)\hslash \omega _{n}

{\ Displaystyle E = \ sum _ {n} \ stânga (w_ {n} + {\ frac {1} {2}} \ dreapta) \ hslash \ omega _ {n}}

{\ Displaystyle E = \ sum _ {n} \ stânga (w_ {n} + {\ frac {1} {2}} \ dreapta) \ hslash \ omega _ {n}}

Care poate fi văzută ca suma a două componente:

E_{fotone}=\sum _{n}w_{n}\hslash \omega _{n}

{\ E_ displaystyle {foton} = \ sum _ {n} w_ {n} \ hslash \ omega _ {n}}

{\ E_ displaystyle {foton} = \ sum _ {n} w_ {n} \ hslash \ omega _ {n}}

E_{vuoto}={\frac {1}{2}}\sum _{n}\hslash \omega _{n}

{\ E_ displaystyle {golească} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n} \ hslash \ omega _ {n}}

{\ E_ displaystyle {golească} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n} \ hslash \ omega _ {n}}

Deoarece frecvențele cuantificați, în principiu sunt infinite, ne aflăm cu o absurditate: am introdus cuantizarea frecvențele câmpului tocmai pentru a evita divergențele și vom găsi o energie de vid, care este divergenta.

Acest paradox, de fapt , doar aparent, se rezolvă cu Feynman teoria renormalizare .

stare consistentă

Să luăm în considerare, pentru simplitate, o cavitate care autorizează un singur mod de oscilație, starea coerentă a sistemului este definită în felul următor:

|\alpha \rangle =\sum _{m}e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}{\frac {\alpha ^{m}}{\sqrt {m!}}}|m\rangle

{\ Displaystyle | \ alpha \ rangle = \ sum _ {m} e ^ {- {| \ alpha | ^ {2} \ peste 2}} {\ frac {\ alpha ^ {m}} {\ sqrt {m! }}} | m \ rangle}

{\ Displaystyle | \ alpha \ rangle = \ sum _ {m} e ^ {- {| \ alpha | ^ {2} \ peste 2}} {\ frac {\ alpha ^ {m}} {\ sqrt {m! }}} | m \ rangle}

În această stare aveți o șansă $p_{m}$ ${\ Displaystyle P_ {m}}$ ${\ Displaystyle P_ {m}}$ pentru a găsi m fotoni în cavitatea, dată de:

\langle m|\alpha \rangle =e^{-|\alpha |^{2}}{\frac {|\alpha |^{2m}}{m!}}

{\ Displaystyle \ Langle m | \ alpha \ rangle = e ^ {- |! \ Alpha | ^ {2}} {\ frac {| \ alpha | ^ {2m}} {m}}}

{\ Displaystyle \ Langle m | \ alpha \ rangle = e ^ {- |! \ Alpha | ^ {2}} {\ frac {| \ alpha | ^ {2m}} {m}}}

Legea lui Poisson este recunoscută în această probabilitate: această lege clasică dă probabilitatea de a găsi m fotoni în cavitatea, când se știe că numărul lor medie este $|\alpha |^{2}$ ${\ Displaystyle | \ alpha | ^ {2}}$ ${\ Displaystyle | \ alpha | ^ {2}}$ . ^[5] Statul $|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$ ${\ Displaystyle | \ alpha \ rangle}$ acesta este un stat în conformitate cu dreptul unitar:

\sum _{m}p_{m}=e^{-|\alpha |^{2}}\sum _{m}{\frac {|\alpha |^{2m}}{m!}}=e^{-|\alpha |^{2}}e^{+|\alpha |^{2}}=1

{\ Displaystyle \ sum _ {m} P_ {m} = e ^ {- | \ alpha | ^ {2}} \ sum _ {m} {\ frac {| \ alpha | ^ {2m}} {m}! } = e ^ {- | \ alpha | ^ {2}} e ^ {+ | \ alpha | ^ {2}} = 1}

{\ Displaystyle \ sum _ {m} P_ {m} = e ^ {- | \ alpha | ^ {2}} \ sum _ {m} {\ frac {| \ alpha | ^ {2m}} {m}! } = e ^ {- | \ alpha | ^ {2}} e ^ {+ | \ alpha | ^ {2}} = 1}

Evoluția unui astfel de stat de-a lungul timpului este următorul; să presupunem că statul $|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$ ${\ Displaystyle | \ alpha \ rangle}$ definit anterior este starea la = 0, la momentul t generica avem:

|\alpha (t)\rangle =\sum _{m}e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}{\frac {\alpha ^{m}}{\sqrt {m!}}}e^{-{\frac {iE_{m}t}{\hslash }}}|m\rangle =\sum _{m}e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}{\frac {\alpha ^{m}}{\sqrt {m!}}}e^{-i\omega \left(m+{\frac {1}{2}}\right)t}|m\rangle

{\ Displaystyle | \ alpha (t) \ rangle = \ sum _ {m} e ^ {- {| \ alpha | ^ {2} \ peste 2}} {\ frac {\ alpha ^ {m}} {\ sqrt {m!}}} e ^ {- {\ frac {iE_ {m} t} {\ hslash}}} | m \ rangle = \ sum _ {m} e ^ {- {| \ alpha | ^ {2} \ peste 2}} {\ frac {\ alpha ^ {m}} {! \ sqrt {m}}} e ^ {- i \ omega \ stânga (m + {\ frac {1} {2}} \ dreapta) t} | m \ rangle}

{\ Displaystyle | \ alpha (t) \ rangle = \ sum _ {m} e ^ {- {| \ alpha | ^ {2} \ peste 2}} {\ frac {\ alpha ^ {m}} {\ sqrt {m!}}} e ^ {- {\ frac {iE_ {m} t} {\ hslash}}} | m \ rangle = \ sum _ {m} e ^ {- {| \ alpha | ^ {2} \ peste 2}} {\ frac {\ alpha ^ {m}} {! \ sqrt {m}}} e ^ {- i \ omega \ stânga (m + {\ frac {1} {2}} \ dreapta) t} | m \ rangle}

care poate fi scrisă: ^[6]

|\alpha (t)\rangle =e^{-{\frac {i\omega t}{2}}}\sum _{n}e^{-{\frac {|\alpha e^{-i\omega t}|^{2}}{2}}}{\frac {\left(\alpha e^{-i\omega t}\right)^{m}}{\sqrt {m!}}}|m\rangle

{\ Displaystyle | \ alpha (t) \ rangle = e ^ {- {\ frac {i \ omega t} {2}}} \ sum _ {n} e ^ {- {\ frac {| \ alpha e ^ { -i \ omega t} | ^ {2}} {2}}} {\ frac {\ stânga (\ alpha e ^ {- i \ omega t} \ dreapta) ^ {m}} {\ sqrt {m}! }} | m \ rangle}

{\ Displaystyle | \ alpha (t) \ rangle = e ^ {- {\ frac {i \ omega t} {2}}} \ sum _ {n} e ^ {- {\ frac {| \ alpha e ^ { -i \ omega t} | ^ {2}} {2}}} {\ frac {\ stânga (\ alpha e ^ {- i \ omega t} \ dreapta) ^ {m}} {\ sqrt {m}! }} | m \ rangle}

Deoarece fiecare predicție cu privire la o stare fizică este independentă de faza pe care această stare poate avea, putem scrie că:

|\alpha (t)\rangle =|\alpha e^{-i\omega t}\rangle

{\ Displaystyle | \ alpha (t) \ rangle = | \ alpha e ^ {- i \ omega t} \ rangle}

{\ Displaystyle | \ alpha (t) \ rangle = | \ alpha e ^ {- i \ omega t} \ rangle}

Adică, statul fluctuează în timp.

Vedem din nou o proprietate a statului coerent, înainte de a calcula valoarea medie a câmpului electric pe această stare.

De fapt, se poate demonstra că:

a|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \qquad \langle \alpha |a^{+}=\alpha ^{*}\langle \alpha |

{\ Displaystyle a | \ alpha \ rangle = \ alpha | \ alpha \ rangle \ prototipurilor \ Langle \ alpha | a ^ {+} = \ alpha ^ {*} \ Langle \ alpha |}

{\ Displaystyle a | \ alpha \ rangle = \ alpha | \ alpha \ rangle \ prototipurilor \ Langle \ alpha | a ^ {+} = \ alpha ^ {*} \ Langle \ alpha |}

Rețineți că a doua relație este conjugat din prima, asa ca am dovedi doar prima expresie. Avem:

a|\alpha \rangle =\sum _{m=0}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{2}}}{\frac {\alpha ^{m}}{\sqrt {m!}}}a|m\rangle =\sum _{m=1}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{2}}}{\frac {\alpha ^{m}}{\sqrt {(m-1)!}}}|m-1\rangle

{\ Displaystyle a | \ alpha \ rangle = \ sum _ {m = 0} e ^ {- {\ frac {| \ alpha | ^ {2}} {2}}} {\ frac {\ alpha ^ {m} } {\ sqrt {m!}}} a | m \ rangle = \ sum _ {m = 1} e ^ {- {\ frac {| \ alpha | ^ {2}} {2}}} {\ frac { \ alfa ^ {m}} {\ sqrt {(m-1)!}}} | m-1 \ rangle}

{\ Displaystyle a | \ alpha \ rangle = \ sum _ {m = 0} e ^ {- {\ frac {| \ alpha | ^ {2}} {2}}} {\ frac {\ alpha ^ {m} } {\ sqrt {m!}}} a | m \ rangle = \ sum _ {m = 1} e ^ {- {\ frac {| \ alpha | ^ {2}} {2}}} {\ frac { \ alfa ^ {m}} {\ sqrt {(m-1)!}}} | m-1 \ rangle}

Rețineți că prima sumă începe de la m = 0, în timp ce al doilea pornește de la m = 1, ca aplicarea operatorului $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ în stare goală dă un rezultat nul.

Am pus-m 1 = n obținem:

\sum _{n=0}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{2}}}{\frac {\alpha ^{n+1}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle =\alpha |\alpha \rangle

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} e ^ {- {\ frac {| \ alpha | ^ {2}} {2}}} {\ frac {\ alpha ^ {n + 1}} {\ sqrt { n}}} |! n \ rangle = \ alpha | \ alpha \ rangle}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} e ^ {- {\ frac {| \ alpha | ^ {2}} {2}}} {\ frac {\ alpha ^ {n + 1}} {\ sqrt { n}}} |! n \ rangle = \ alpha | \ alpha \ rangle}

Valoarea medie a câmpului electric asupra stării $|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$ ${\ Displaystyle | \ alpha \ rangle}$ este valabil:

i{\mathcal {F}}\langle \alpha |\left(ae^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-a^{+}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right)|\alpha \rangle \mathbf {\varepsilon _{n}}

{\ Displaystyle i {\ mathcal {F}} \ Langle \ alpha | \ stanga (ae ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} -a ^ {+} e ^ {- i \ mathbf { k} \ cdot \ mathbf {r}} \ dreapta) | \ alpha \ rangle \ mathbf {\ varepsilon _ {n}}}

{\ Displaystyle i {\ mathcal {F}} \ Langle \ alpha | \ stanga (ae ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} -a ^ {+} e ^ {- i \ mathbf { k} \ cdot \ mathbf {r}} \ dreapta) | \ alpha \ rangle \ mathbf {\ varepsilon _ {n}}}

și, folosind proprietățile tocmai au demonstrat obținem:

\langle \mathbf {E} _{\perp }\rangle =i{\mathcal {F}}\left(\alpha e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-\alpha ^{*}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right)\mathbf {\varepsilon _{n}}

{\ Displaystyle \ Langle \ mathbf {E} _ {\ făptașul} \ rangle = i {\ mathcal {F}} \ stânga (\ alpha e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} - \ alfa ^ {*} e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} \ dreapta) \ mathbf {\ varepsilon _ {n}}}

{\ Displaystyle \ Langle \ mathbf {E} _ {\ făptașul} \ rangle = i {\ mathcal {F}} \ stânga (\ alpha e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} - \ alfa ^ {*} e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} \ dreapta) \ mathbf {\ varepsilon _ {n}}}

presupunând $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ reală și introducerea dependența temporală a statului $|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$ ${\ Displaystyle | \ alpha \ rangle}$ se obține pentru valoarea medie a câmpului electric:

\mathbf {E} _{\perp }=2{\mathcal {F}}\alpha \sin {\left(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t\right)}\mathbf {\varepsilon } _{n}

{\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {\ făptașul} = 2 {\ mathcal {F}} \ alpha \ păcătui {\ stânga (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t \ dreapta)} \ mathbf {\ varepsilon} _ {n}}

{\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {\ făptașul} = 2 {\ mathcal {F}} \ alpha \ păcătui {\ stânga (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t \ dreapta)} \ mathbf {\ varepsilon} _ {n}}

Notă

^ Pentru a evita problemele de convergență, definiția transformatei utilizată în acest paragraf este puțin diferită de formularea tradițională, deoarece volumul de integrare este limitat la un cub pe fiecare parte $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ . Vectorul $\mathbf {k}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ Mathbf k$ , Care este folosit pentru a face transformarea, este cuantizată și componentele sunt în valoare de :
$k_{nx}=n_{x}{\frac {\pi }{L}}\qquad \qquad k_{ny}=n_{y}{\frac {\pi }{L}}\qquad \qquad k_{nz}=n_{z}{\frac {\pi }{L}}$ ${\ Displaystyle k_ {nx} = n_ {x} {\ frac {\ pi} {L}} \ prototipurilor \ prototipurilor k_ {ny} = n_ {y} {\ frac {\ pi} {L}} \ prototipurilor \ prototipurilor k_ {nz} = n_ {z} {\ frac {\ pi} {L}}}$ ${\ Displaystyle k_ {nx} = n_ {x} {\ frac {\ pi} {L}} \ prototipurilor \ prototipurilor k_ {ny} = n_ {y} {\ frac {\ pi} {L}} \ prototipurilor \ prototipurilor k_ {nz} = n_ {z} {\ frac {\ pi} {L}}}$
obținem astfel un vector paș $k_{n}$ ${\ Displaystyle k_ {n}}$ ${\ Displaystyle k_ {n}}$ in marime $[L]^{-1}$ ${\ Displaystyle [L] ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle [L] ^ {- 1}}$ .
^ Deoarece nu este un vector, perpendiculara înseamnă o parte o parte a Hamiltonianului format prin suma componentelor perpendiculare ale câmpurilor, iar mijloacele parțiale paralele, suma componentelor paralele.
^ De fapt, în cazul în care comparația se face cu un n - oscilator armonic dimensional, analogia este aproape perfect: în acest caz , nivelurile de energie sunt niciodată degenerate, deoarece frecvențele de oscilație ale diferitelor moduri sunt diferite, în oscilatorul nivelurile ei sunt degenerate , deoarece frecvențele de oscilație ale diferitelor moduri sunt identice.
^ Cu o terminologie similară cu cea a oscilatorului, operatorul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este numit operatorul de distrugere, deoarece distruge un foton, în timp ce operatorul $a^{+}$ ${\ Displaystyle a ^ {+}}$ ${\ Displaystyle a ^ {+}}$ este numit un operator de creație , deoarece creează un foton.
^ Rețineți că numărul $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este, a priori, complexă, din acest motiv ne indică întotdeauna modulele de numărul în exponențială, în caz contrar avem o cantitate oscilantă.
^ Rețineți că $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\alpha e^{-i\omega t}$ ${\ Displaystyle \ alpha e ^ {- i \ omega t}}$ ${\ Displaystyle \ alpha e ^ {- i \ omega t}}$ ele au aceeași formă.

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] Pentru a evita problemele de convergență, definiția transformatei utilizată în acest paragraf este puțin diferită de formularea tradițională, deoarece volumul de integrare este limitat la un cub pe fiecare parte $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ . Vectorul $\mathbf {k}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ Mathbf k$ , Care este folosit pentru a face transformarea, este cuantizată și componentele sunt în valoare de :
$k_{nx}=n_{x}{\frac {\pi }{L}}\qquad \qquad k_{ny}=n_{y}{\frac {\pi }{L}}\qquad \qquad k_{nz}=n_{z}{\frac {\pi }{L}}$ ${\ Displaystyle k_ {nx} = n_ {x} {\ frac {\ pi} {L}} \ prototipurilor \ prototipurilor k_ {ny} = n_ {y} {\ frac {\ pi} {L}} \ prototipurilor \ prototipurilor k_ {nz} = n_ {z} {\ frac {\ pi} {L}}}$ ${\ Displaystyle k_ {nx} = n_ {x} {\ frac {\ pi} {L}} \ prototipurilor \ prototipurilor k_ {ny} = n_ {y} {\ frac {\ pi} {L}} \ prototipurilor \ prototipurilor k_ {nz} = n_ {z} {\ frac {\ pi} {L}}}$
obținem astfel un vector paș $k_{n}$ ${\ Displaystyle k_ {n}}$ ${\ Displaystyle k_ {n}}$ in marime $[L]^{-1}$ ${\ Displaystyle [L] ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle [L] ^ {- 1}}$ .

[2] Deoarece nu este un vector, perpendiculara înseamnă o parte o parte a Hamiltonianului format prin suma componentelor perpendiculare ale câmpurilor, iar mijloacele parțiale paralele, suma componentelor paralele.

[3] De fapt, în cazul în care comparația se face cu un n - oscilator armonic dimensional, analogia este aproape perfect: în acest caz , nivelurile de energie sunt niciodată degenerate, deoarece frecvențele de oscilație ale diferitelor moduri sunt diferite, în oscilatorul nivelurile ei sunt degenerate , deoarece frecvențele de oscilație ale diferitelor moduri sunt identice.

[4] Cu o terminologie similară cu cea a oscilatorului, operatorul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este numit operatorul de distrugere, deoarece distruge un foton, în timp ce operatorul $a^{+}$ ${\ Displaystyle a ^ {+}}$ ${\ Displaystyle a ^ {+}}$ este numit un operator de creație , deoarece creează un foton.

[5] Rețineți că numărul $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este, a priori, complexă, din acest motiv ne indică întotdeauna modulele de numărul în exponențială, în caz contrar avem o cantitate oscilantă.

[6] Rețineți că $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\alpha e^{-i\omega t}$ ${\ Displaystyle \ alpha e ^ {- i \ omega t}}$ ${\ Displaystyle \ alpha e ^ {- i \ omega t}}$ ele au aceeași formă.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]