Renormalizarea

În fizică , renormalizarea este un set de tehnici pentru a face față divergențelor și infinitelor conexe care apar în calculul mărimilor fizice în teoria câmpului cuantic , mecanica statistică și teoria structurilor geometrice auto-similare .

Când spațiul și timpul sunt descrise ca entități continue , construcția anumitor teorii și statistici cuantice este deficitară. Pentru a le trata corect, este necesar să definiți cu atenție o limită continuă adecvată. În această limită există relații non-banale între parametrii care descriu teoria la scări mari și la distanțe comparativ cu cei care descriu cursul aceleiași teorii la distanțe mici.

Renormalizarea a fost dezvoltată pentru a elimina infinitele care apar în integralele dezvoltării perturbative din electrodinamica cuantică . Văzut inițial ca o procedură suspectă chiar de unii dintre creatorii săi, astăzi este considerat un instrument autonom și coerent în multe domenii ale fizicii și matematicii .

Renormalizarea în teoria câmpului cuantic

În teoriile câmpului cuantic, renormalizarea face posibilă stabilirea relațiilor care există între rezultatele măsurătorilor efectuate la diferite scale de lungimi sau echivalent de energii.

În teoria perturbării teoriilor câmpului cuantic, renormalizarea se bazează pe redefinirea constantelor de cuplare și, eventual, și a câmpurilor, pentru a elimina divergențele cel puțin într-o anumită scară de energie luată în considerare.

Divergențele care trebuie eliminate sunt conținute în integralele asociate cu diagramele Feynman . Acestea sunt adesea divergente în limita ultraviolete, adică în limita în care sunt incluse impulsurile integrate care tind spre infinit. Divergențele sunt mai întâi clasificate și eliminate „brutal” prin intermediul unei proceduri explicite de regularizare : adică se realizează o reformulare matematică, adesea nu fizică, a teoriei pentru a face integralele și, prin urmare, cantitățile fizice observabile, nu divergent. Prin urmare, renormalizarea constă în modul precis de eliminare a regularizării introduse și de revenire la teoria originală ( limită la continuum ), având grijă să mențină valorile mărimilor fizice observabile finite.

O procedură obișnuită de regularizare este aceea de a introduce o valoare limită în momentele integrate. Este vorba de excluderea impulsurilor ridicate din integrale prin intermediul unei extreme de integrare superioară (întreruperea, de fapt) introdusă artificial și arbitrar. Divergențele integralei apar, prin urmare, ca puteri sau logaritmi ai cutoff-ului și pot fi eliminate prin redefinirea („renormalizarea”) câmpurilor și constantelor de cuplare, astfel încât acestea să depindă exact de valoarea cutoff-ului, pentru a păstra valorile Din mărimile fizicii observabile finite.

Originea unor cantități infinite

Prezența infinitelor în calculele cantităților din teoriile cuantice este strâns legată de caracteristicile interacțiunilor reciproce dintre particule și câmpuri. De exemplu, chiar și în mecanica clasică, masa totală $m_{t}$ ${\ displaystyle m_ {t}}$ ${\ displaystyle m_ {t}}$ a unei particule încărcate de rază $r_{e}$ ${\ displaystyle r_ {e}}$ $rege}$ și masa în repaus $m_{0}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$ ar trebui să includă și energia câmpului electrostatic generată de el însuși:

m_{t}=m_{0}+\int {1 \over 2}E^{2}\,dV=m_{0}+\int _{r_{e}}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({q \over 4\pi r^{2}}\right)^{2}4\pi r^{2}\,dr=m_{0}+{q^{2} \over 8\pi r_{e}}

{\ displaystyle m_ {t} = m_ {0} + \ int {1 \ over 2} E ^ {2} \, dV = m_ {0} + \ int _ {r_ {e}} ^ {\ infty} { \ frac {1} {2}} \ left ({q \ over 4 \ pi r ^ {2}} \ right) ^ {2} 4 \ pi r ^ {2} \, dr = m_ {0} + { q ^ {2} \ over 8 \ pi r_ {e}}}

{\ displaystyle m_ {t} = m_ {0} + \ int {1 \ over 2} E ^ {2} \, dV = m_ {0} + \ int _ {r_ {e}} ^ {\ infty} { \ frac {1} {2}} \ left ({q \ over 4 \ pi r ^ {2}} \ right) ^ {2} 4 \ pi r ^ {2} \, dr = m_ {0} + { q ^ {2} \ over 8 \ pi r_ {e}}}

Cu toate acestea, dacă luăm în considerare o particulă punctuală, cum ar fi un electron, atunci $r_{e}\rightarrow 0$ ${\ displaystyle r_ {e} \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle r_ {e} \ rightarrow 0}$ iar masa totală $m_{t}$ ${\ displaystyle m_ {t}}$ ${\ displaystyle m_ {t}}$ este infinit fără speranță. Acest rezultat paradoxal poate fi interpretat ca problema definirii interacțiunii dintre câmpul electromagnetic și electron, acesta din urmă fiind încărcat generând un câmp electric, dar în același timp este influențat la rândul său de acest lucru. Cu toate acestea, este posibil să considerăm că numai masa totală $m_{t}$ ${\ displaystyle m_ {t}}$ ${\ displaystyle m_ {t}}$ este accesibil experimentelor și clar terminat, în timp ce nimic nu fixează valoarea masei $m_{0}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$ a electronului luat individual fără câmpul său. Cu alte cuvinte, este imposibil experimental și fizic să separe un electron și să îl izoleze de câmpul electromagnetic pe care îl generează. Valoarea a $m_{0}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$ prin urmare, este liber de orice constrângere și pentru a rezolva paradoxul ar putea fi fixat la o valoare infinit negativă, astfel încât să echilibreze energia pozitivă infinită a câmpului electrostatic. Formalizarea completă a acestei proceduri a dus la nașterea renormalizării.

Regularizare

Același subiect în detaliu: Regularizare (fizică) .

Primul pas pentru a aborda integralele divergente și infinitivele relative care apar în calcularea secțiunilor transversale și a altor mărimi fizice este procedura de regularizare. Cu această procedură, noi parametri sunt introduși în mod artificial în teorie, regulatorii, care au ca efect integrarea teoriei finite. La sfârșitul procedurii de renormalizare, acești parametri non-fizici trebuie eliminați în mod corespunzător. De exemplu, integralul:

\int _{0}^{a}{\frac {1}{z}}dz-\int _{0}^{b}{\frac {1}{z}}dz=\ln a-\ln b+\ln 0-\ln 0=\ln a-\ln b+\infty -\infty

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {1} {z}} dz- \ int _ {0} ^ {b} {\ frac {1} {z}} dz = \ ln a - \ ln b + \ ln 0- \ ln 0 = \ ln a- \ ln b + \ infty - \ infty}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {1} {z}} dz- \ int _ {0} ^ {b} {\ frac {1} {z}} dz = \ ln a - \ ln b + \ ln 0- \ ln 0 = \ ln a- \ ln b + \ infty - \ infty}

rezultatele nedefinite datorită scăderii unor cantități infinite. Cu toate acestea, introducerea a doi parametri $\varepsilon _{a}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {a}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {a}}$ Și $\varepsilon _{b}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {b}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {b}}$ în limitele integralelor:

\int _{\varepsilon _{a}}^{a}{\frac {1}{z}}dz-\int _{\varepsilon _{b}}^{b}{\frac {1}{z}}dz=\ln a-\ln b+\ln {(\varepsilon _{b})}-\ln {(\varepsilon _{a})}=\ln {\left({\frac {a}{b}}\right)}-\ln {\left({\frac {\varepsilon _{a}}{\varepsilon _{b}}}\right)}

{\ displaystyle \ int _ {\ varepsilon _ {a}} ^ {a} {\ frac {1} {z}} dz- \ int _ {\ varepsilon _ {b}} ^ {b} {\ frac {1 } {z}} dz = \ ln a- \ ln b + \ ln {(\ varepsilon _ {b})} - \ ln {(\ varepsilon _ {a})} = \ ln {\ left ({\ frac {a} {b}} \ right)} - ​​\ ln {\ left ({\ frac {\ varepsilon _ {a}} {\ varepsilon _ {b}}} \ right)}}

{\ displaystyle \ int _ {\ varepsilon _ {a}} ^ {a} {\ frac {1} {z}} dz- \ int _ {\ varepsilon _ {b}} ^ {b} {\ frac {1 } {z}} dz = \ ln a- \ ln b + \ ln {(\ varepsilon _ {b})} - \ ln {(\ varepsilon _ {a})} = \ ln {\ left ({\ frac {a} {b}} \ right)} - ​​\ ln {\ left ({\ frac {\ varepsilon _ {a}} {\ varepsilon _ {b}}} \ right)}}

rezultatul este bine definit. În acest moment, cei doi parametri $\varepsilon _{a}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {a}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {a}}$ Și $\varepsilon _{b}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {b}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {b}}$ , introduse arbitrar, pot fi eliminate, făcând ca valoarea lor să tindă la zero, $\varepsilon _{a}\rightarrow 0$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {a} \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {a} \ rightarrow 0}$ Și $\varepsilon _{b}\rightarrow 0$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {b} \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {b} \ rightarrow 0}$ , dar impunând asta în același timp:

{\frac {\varepsilon _{a}}{\varepsilon _{b}}}\rightarrow 1

{\ displaystyle {\ frac {\ varepsilon _ {a}} {\ varepsilon _ {b}}} \ rightarrow 1}

{\ displaystyle {\ frac {\ varepsilon _ {a}} {\ varepsilon _ {b}}} \ rightarrow 1}

obținând ca rezultat final:

\int _{0}^{a}{\frac {1}{z}}dz-\int _{0}^{b}{\frac {1}{z}}dz=\ln \left({\frac {a}{b}}\right)

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {1} {z}} dz- \ int _ {0} ^ {b} {\ frac {1} {z}} dz = \ ln \ stânga ({\ frac {a} {b}} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {1} {z}} dz- \ int _ {0} ^ {b} {\ frac {1} {z}} dz = \ ln \ stânga ({\ frac {a} {b}} \ dreapta)}

Posibilitățile de stabilire a parametrilor de regularizare sunt numeroase, totuși, în prezența unei proceduri coerente, predicțiile finale pe care le oferă în raport cu procesele fizice nu se modifică. Principalele tehnici de regularizare sunt:

Regularizare „cut-off”: doar momentele particulelor mai mici de $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ sunt luate în considerare în integrale, $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ este parametrul de regularizare numit „cut-off”. De fapt, numeroase divergențe în teoriile câmpului apar atunci când considerăm particule cu momente înalte. De exemplu, integralul divergent:

\int {\frac {1}{q^{4}+c}}d^{4}q\propto \int _{}^{\infty }{\frac {1}{q}}dq=\infty

{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {q ^ {4} + c}} d ^ {4} q \ propto \ int _ {} ^ {\ infty} {\ frac {1} {q}} dq = \ infty}

{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {q ^ {4} + c}} d ^ {4} q \ propto \ int _ {} ^ {\ infty} {\ frac {1} {q}} dq = \ infty}

este regularizat în:

\int {\frac {1}{q^{4}+c}}d^{4}q\rightarrow \int _{}^{\Lambda }{\frac {1}{q}}dq=\ln {(\Lambda )}

{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {q ^ {4} + c}} d ^ {4} q \ rightarrow \ int _ {} ^ {\ Lambda} {\ frac {1} {q}} dq = \ ln {(\ Lambda)}}

{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {q ^ {4} + c}} d ^ {4} q \ rightarrow \ int _ {} ^ {\ Lambda} {\ frac {1} {q}} dq = \ ln {(\ Lambda)}}

Regularizarea pe o rețea: spațiul continuu cu patru dimensiuni este discretizat prin introducerea unui pas de rețea $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ . Câmpurile sunt definite numai pe puncte discrete. În acest fel, integralele divergente sunt regularizate ca:

\int {\frac {1}{q^{4}+c}}d^{4}q\rightarrow \int _{}^{\frac {\pi }{a}}{\frac {1}{q}}dq=\ln {\left({\frac {\pi }{a}}\right)}

{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {q ^ {4} + c}} d ^ {4} q \ rightarrow \ int _ {} ^ {\ frac {\ pi} {a}} {\ frac { 1} {q}} dq = \ ln {\ left ({\ frac {\ pi} {a}} \ right)}}

{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {q ^ {4} + c}} d ^ {4} q \ rightarrow \ int _ {} ^ {\ frac {\ pi} {a}} {\ frac { 1} {q}} dq = \ ln {\ left ({\ frac {\ pi} {a}} \ right)}}

Regularizarea dimensională: în acest caz, integralele din spațiul cu patru dimensiuni sunt extinse la un număr real arbitrar de dimensiuni.

Odată ce cantitățile fizice sunt terminate, următorul pas este redefinirea constantelor de cuplare în așa fel încât să se elimine parametrii de regularizare non-fizici introduși artificial. Acest pasaj nu este întotdeauna posibil într-un mod coerent, în acest caz teoria este numită nerenormalizabilă și poate fi considerată doar ca o aproximare cu energie redusă a unei teorii renormalizabile mai fundamentale.

Divergențe în electrodinamica cuantică

(a) Polarizarea vidului. Această buclă are o divergență logaritmică în ultraviolete.

(b) Diagrama autoenergiei în QED

(c) Exemplu de diagramă „pinguin”

În timpul dezvoltării electrodinamicii cuantice din anii 1930, Max Born , Werner Heisenberg , Pascual Jordan și Paul Dirac au descoperit că multe integrale divergente în corecțiile perturbative.

O modalitate de a descrie divergențele datorate corecțiilor teoriei perturbării a fost descoperită în 1947-1949, independent și în ordine cronologică, de Hans Kramers , ^[1] Hans Bethe , ^[2] Julian Schwinger , ^[3] ^[4] ^{[ 5]} ^[6] Richard Feynman , ^[7] ^[8] ^[9] și Shin'ichirō Tomonaga , ^[10] ^[11] ^[12] ^[13] ^[14] ^[15] ^[16] și sistematizate de Freeman Dyson în 1949 ^[17] Divergențele apar în corecțiile radiative, care implică diagrame Feynman cu bucle închise de particule virtuale .

În ciuda faptului că particulele virtuale satisfac conservarea energiei și a impulsului, ele pot avea orice valoare de energie și impuls, chiar și una care nu este permisă de relația relativistă. $E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}\,$ ${\ displaystyle E ^ {2} = (pc) ^ {2} + (m_ {0} c ^ {2}) ^ {2} \,}$ ${\ displaystyle E ^ {2} = (pc) ^ {2} + (m_ {0} c ^ {2}) ^ {2} \,}$ pentru masa observată a particulei (adică $E^{2}-p^{2}$ ${\ displaystyle E ^ {2} -p ^ {2}}$ ${\ displaystyle E ^ {2} -p ^ {2}}$ nu este neapărat masa pătrată a particulei în acel proces, de exemplu pentru un foton ar putea fi diferită de zero). O astfel de particulă se numește off-shell . Când apare o buclă, impulsul particulelor implicate în buclă nu este determinat în mod unic de energiile și impulsul particulelor de intrare și de ieșire. O schimbare a energiei unei particule din buclă poate fi echilibrată printr-o schimbare egală și opusă a energiei unei alte particule din buclă, fără ca aceste modificări să afecteze particulele de intrare și de ieșire. Prin urmare, sunt posibile multe variații, prin urmare, pentru a găsi amplitudinea procesului buclei, este necesar să se integreze toate combinațiile posibile de energie și impuls care pot călători în buclă.

Aceste integrale sunt adesea divergente, adică dau un rezultat infinit. Divergențele semnificative sunt cele „ultraviolete” (UV). O divergență ultravioletă poate fi descrisă ca rezultând din:

regiunea din integrală unde toate particulele din buclă au energie și impuls mare,
în integrala pe căile de câmp, fluctuații la lungime de undă foarte mică sau frecvență foarte mare,
timp foarte mic între emisia și absorbția particulelor, dacă ne gândim la buclă ca la o sumă peste traseele particulelor.

Atunci aceste divergențe sunt fenomene de scurtă durată și de scurtă durată.

Cele trei figuri prezintă trei diagrame divergente cu o buclă de electrodinamică cuantică: ^[18]

(a) Un foton creează o pereche virtuală electron-pozitron care ulterior se anihilează. Aceasta este o diagramă a polarizării vidului .

(b) Un electron emite și reabsorbe rapid un foton virtual. Aceasta este o auto-energie diagrama.

(c) Un electron emite un foton, emite un al doilea și îl reabsorbe pe primul. Acest proces este prezentat în Figura 2 și se numește renormalizarea vertexului. Diagrama Feynman pentru aceasta se mai numește și "diagramă pinguin", deoarece forma sa seamănă de la distanță cu un pinguin.

Aceste trei divergențe corespund celor trei parametri prezenți în teoria în cauză:

Normalizarea câmpului, Z.
Masa electronului.
Sarcina electronului.

O a doua clasă de divergențe, numite divergențe în infraroșu, se datorează particulelor fără masă, cum ar fi fotonul. Orice proces care implică particule încărcate emite un număr infinit de fotoni coerenți cu lungime de undă infinită, iar amplitudinea pentru a emite orice număr finit de fotoni este zero. Pentru fotoni, aceste divergențe sunt bine înțelese. De exemplu, la ordinea unei bucle, funcția de vârf are atât divergențe ultraviolete cât și infraroșii. Spre deosebire de divergențele ultraviolete, divergențele în infraroșu nu necesită renormalizarea unui parametru al teoriei. În diagrama de vârf, divergența în infraroșu este eliminată prin includerea unei diagrame similare cu diagrama de vârf, dar cu o diferență importantă: fotonul care leagă cele două linii de electroni este tăiat și înlocuit cu doi fotoni (reali) de pe coajă (lungime de undă) infinit; această diagramă este echivalentă cu procesul bremsstrahlung . Această diagramă suplimentară trebuie inclusă, deoarece nu există o modalitate fizică de a distinge un foton cu energie zero care curge pe o buclă, cum ar fi la vârf, de fotonii cu energie zero emiși prin bremsstrahlung.

Un exemplu de divergență în buclă

Figura 2. O diagramă a dispersiei electron-electron contribuind în QED. Bucla are o divergență ultravioletă.

Diagrama din Figura 2 prezintă una dintre numeroasele contribuții la o buclă la împrăștierea electron-electron în QED. Electronul din partea stângă a diagramei, reprezentat printr-o linie continuă, începe cu un p cu patru impulsuri și se termină cu un r cu patru impulsuri. Emite un foton virtual pentru a transfera energia și impulsul către celălalt electron. Cu toate acestea, în această diagramă, înainte ca acest lucru să se întâmple, electronul stâng emite un alt foton virtual cu patru impulsuri q (în portocaliu în figură) și îl reabsorbe după ce emite celălalt foton virtual. Conservarea energiei și a impulsului nu fixează cvadrimpulsa fotonului portocaliu, deci fiecare posibilitate este valabilă și trebuie integrată.

Amplitudinea relativă la această diagramă, printre alți termeni, conține acest factor, datorită buclei:

-ie^{3}\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}\gamma ^{\mu }{\frac {i(\gamma ^{\alpha }(r-q)_{\alpha }+m)}{(r-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\rho }{\frac {i(\gamma ^{\beta }(p-q)_{\beta }+m)}{(p-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\nu }{\frac {-ig_{\mu \nu }}{q^{2}+i\epsilon }}.

{\ displaystyle -ie ^ {3} \ int {\ frac {d ^ {4} q} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ gamma ^ {\ mu} {\ frac {i (\ gamma ^ {\ alpha} (rq) _ {\ alpha} + m)} {(rq) ^ {2} -m ^ {2} + i \ epsilon}} \ gamma ^ {\ rho} {\ frac {i (\ gamma ^ {\ beta} (pq) _ {\ beta} + m)} {(pq) ^ {2} -m ^ {2} + i \ epsilon}} \ gamma ^ {\ nu} {\ frac {- ig _ {\ mu \ nu}} {q ^ {2} + i \ epsilon}}.}

{\ displaystyle -ie ^ {3} \ int {\ frac {d ^ {4} q} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ gamma ^ {\ mu} {\ frac {i (\ gamma ^ {\ alpha} (rq) _ {\ alpha} + m)} {(rq) ^ {2} -m ^ {2} + i \ epsilon}} \ gamma ^ {\ rho} {\ frac {i (\ gamma ^ {\ beta} (pq) _ {\ beta} + m)} {(pq) ^ {2} -m ^ {2} + i \ epsilon}} \ gamma ^ {\ nu} {\ frac {- ig _ {\ mu \ nu}} {q ^ {2} + i \ epsilon}}.}

Diverșii factori $\gamma ^{\mu }$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}$ $\ gamma ^ {\ mu}$ în această expresie sunt matrici gamma ca în formularea covariantă a ecuației Dirac ; au de-a face cu rotirea electronului. factorii $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ sunt constantele de cuplare, în timp ce $i\epsilon$ ${\ displaystyle i \ epsilon}$ ${\ displaystyle i \ epsilon}$ oferă o definiție euristică a limitei de integrare în jurul polilor spațiului impulsului. Partea importantă este dependența de $q^{\mu }$ ${\ displaystyle q ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle q ^ {\ mu}}$ dintre cei trei factori, care provin de la propagatorii celor două linii electronice și linia fotonică prezentă în buclă (cele trei linii portocalii din figură).

Un termen al acestei integrale are două puteri de $q^{\mu }$ ${\ displaystyle q ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle q ^ {\ mu}}$ la numeratorul care domină la valori mari de $q^{\mu }$ ${\ displaystyle q ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle q ^ {\ mu}}$ (Pokorski 1987, p. 122):

e^{3}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\beta }\gamma _{\mu }\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{(r-q)^{2}(p-q)^{2}q^{2}}}.

{\ displaystyle e ^ {3} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ rho} \ gamma ^ {\ beta} \ gamma _ {\ mu} \ int {\ frac {d ^ {4} q} {(2 \ pi) ^ {4}}} {\ frac {q _ {\ alpha} q _ {\ beta}} {(rq) ^ {2} (pq) ^ {2} q ^ {2}}}.}

{\ displaystyle e ^ {3} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ rho} \ gamma ^ {\ beta} \ gamma _ {\ mu} \ int {\ frac {d ^ {4} q} {(2 \ pi) ^ {4}}} {\ frac {q _ {\ alpha} q _ {\ beta}} {(rq) ^ {2} (pq) ^ {2} q ^ {2}}}.}

Această integrală este divergentă, cu excepția cazului în care este tăiată la o anumită valoare finită a energiei și a impulsului. Divergențe similare apar în alte teorii cuantice ale câmpului.

Mecanica statistică

Procedura de renormalizare este un instrument util pentru a încerca să studieze comportamentul sistemelor critice, adică comportamentul în jurul tranzițiilor de fază ale lichidelor, gazelor, rețelelor magnetice de rotire etc. În acest caz suntem interesați să determinăm relațiile care există atunci când observăm sisteme la scări de diferite dimensiuni.

Interpretare

Primii constructori ai QED și ai altor teorii de câmp erau de obicei nemulțumiți de structura și formularea renormalizării. Părea ilegitim să scădem infinitele de la infinit într-un mod aparent arbitrar pentru a obține un rezultat finit global.

Criticile lui Paul Dirac au fost cele mai acerbe: ^[19] în 1975, el a spus:

( RO )

„Majoritatea fizicienilor sunt foarte mulțumiți de situație. Ei spun: „Electrodinamica cuantică este o teorie bună și nu mai trebuie să ne facem griji pentru asta”. Trebuie să spun că sunt foarte nemulțumit de situație, deoarece această așa-numită „bună teorie” implică neglijarea infinitelor care apar în ecuațiile sale, neglijarea lor într-un mod arbitrar. Aceasta nu este doar o matematică sensibilă. Matematica sensibilă implică neglijarea unei cantități atunci când este mică - nu neglijarea ei doar pentru că este infinit de grozavă și nu o vrei! "

( IT )

„Mulți fizicieni sunt foarte mulțumiți de starea de fapt. Ei spun: „Electrodinamica cuantică este o teorie bună și nu trebuie să ne facem griji încă despre asta”. Trebuie să spun că sunt foarte nemulțumit de ea, deoarece această așa-numită „bună teorie” implică ignorarea infinităților care apar în ecuațiile sale și ignorarea lor într-un mod arbitrar. Aceasta nu mai este o matematică riguroasă. Matematica sensibilă implică ignorarea unei cantități când este mică, nu ignorarea ei pentru că este infinit de mare și nu o vrei! "

( Paul Dirac ^[20] )

O altă critică majoră a fost făcută de Richard Feynman . În ciuda rolului său crucial în dezvoltarea electrodinamicii cuantice , în 1985 a scris:

( RO )

„Jocul shell pe care îl jucăm ... se numește tehnic„ renormalizare ”. Dar, oricât de inteligent ar fi cuvântul, este tot ceea ce aș numi un proces dippy! A recurge la un astfel de hocus-pocus ne-a împiedicat să dovedim că teoria electrodinamicii cuantice este matematic auto-consistentă. Este surprinzător faptul că teoria încă nu s-a dovedit coerentă într-un fel sau altul până acum; Bănuiesc că renormalizarea nu este legitimă din punct de vedere matematic ".

( IT )

„Inima jocului pe care îl jucăm ... se numește tehnic„ renormalizare ”. Dar, oricât de inteligent este cuvântul, este tot ceea ce aș numi o procedură nebună! A trebui să recurgem la acest joc de mână ne-a împiedicat să dovedim dacă teoria electrodinamicii cuantice este matematică auto-consistentă. Este surprinzător faptul că teoria nu a fost încă dovedită a fi auto-consistentă într-un fel sau altul; Bănuiesc că renormalizarea nu este legitimă din punct de vedere matematic. "

( Richard Feynman ^[21] )

În timp ce critica lui Dirac se bazează pe procedura de renormalizare în sine, critica lui Feynman a fost foarte diferită. Feynman era îngrijorat de faptul că toate teoriile de câmp cunoscute în anii 1960 aveau proprietatea că interacțiunile devin infinit de puternice la scări de distanță suficient de mici. Această proprietate, numită polul Landau , a făcut plauzibil faptul că teoriile cuantice ale câmpului erau toate inconsistente. În 1974, Gross , Politzer și Wilczek au demonstrat că o altă teorie cuantică a câmpului, cromodinamica cuantică , nu are un pol Landau. În acest fel, teoria devine perfect consecventă la toate scările.

Neliniștea generală a fost aproape universală în textele până în anii 1970 și 1980. Începând cu anii 1970, însă, atitudinile au început să se schimbe, în special în rândul tinerilor teoreticieni, din cauza lucrărilor asupra grupului de renormalizare și a teoriilor de câmp eficiente . și alții diferiți, aparținând generației mai în vârstă, nu și-au retras niciodată criticile. Kenneth G. Wilson și alții au arătat că grupul de renormalizare este util în teoria statistică a câmpului aplicată fizicii materiei condensate , unde oferă informații importante despre comportamentul sistemului în jurul tranzițiilor de fază . În fizica materiei condensate, există un adevărat regulator la scară mică (numit și „cut-off”): materia încetează să mai fie un continuum pe scara atomilor . La distanțe scurte, divergențele câmpurilor care descriu materia condensată nu sunt o problemă filosofică, deoarece teoria câmpurilor este doar o descriere eficientă continuă a materiei intrinsec discrete, o reprezentare lină chiar și a structurilor neregulate și discontinue care apar la scări mici. În acest fel, nu există infinități fizice, deoarece „tăiatul” este de fapt întotdeauna finit, la fel ca scara tipică în care descrierea oferită de teorie devine inconsistentă și are sens perfect să considerăm cantități „goale” dependente de tăiere.

Dacă teoria cuantică a câmpului are sens și dincolo de lungimea lui Planck (unde s-ar putea menține teoria corzilor sau altceva), atunci fie nu există probleme reale în divergențele cu rază scurtă de acțiune în fizica particulelor , fie toate acestea. Teoriile câmpului sunt pur și simplu teorii eficiente, utile pentru a descrie fizica fenomenelor doar la anumite scale energetice și deloc. În anumite privințe, această abordare este similară cu atitudinea oamenilor de știință mai în vârstă, conform căreia divergențele din QFT descriu ignoranța umană a funcționării naturii, dar recunoaște, de asemenea, că această ignoranță poate fi cuantificată și că, prin urmare, teoriile efective rezultate rămân utile.

În teoriile câmpului cuantic, valoarea unei constante fizice, în general, depinde de scala aleasă ca punct pentru renormalizare și devine foarte interesant să examinăm modul în care variază constantele fizice ca urmare a modificărilor scalei energetice. Constantele de cuplare din modelul standard de fizică a particulelor variază diferit pe măsură ce scara energetică crește: cuplarea forței nucleare puternice și cuplarea slabă a izospinului a forței electrolabore tind să scadă, în timp ce cuplarea hipercărcării slabe a forței electrolabore tinde a creste. La scara energetică foarte mare de 10 ¹⁵ GeV (mult dincolo de gama de acceleratoare de particule curente), aceste cuplaje devin toate cu aceeași intensitate (Grotz și Klapdor 1990, p. 254), un motiv important pentru speculații cu privire la existența unui mare teorie unificată . În loc să fie doar o problemă îngrijorătoare, renormalizarea a devenit un instrument teoretic important pentru studierea comportamentului teoriilor de câmp în diferite regimuri.

Dacă o teorie renormalizabilă (cum ar fi electrodinamica cuantică ) poate fi interpretată în mod rezonabil doar ca o teorie de câmp eficientă, adică ca o aproximare care reflectă ignoranța umană a funcționării naturii, atunci rămâne problema descoperirii unei teorii mai exacte de care nu suferă aceste probleme de renormalizare. Așa cum a spus Lewis Ryder, "În teoria cuantică, aceste divergențe [clasice] nu dispar, ci mai degrabă par să se înrăutățească. Și în ciuda succesului teoriei renormalizării, rămâne sentimentul că ar trebui să existe un mod mai satisfăcător de a face lucrurile" ^[22] .

Notă

^ Kramers și-a prezentat lucrarea la Conferința Shelter Island din 1947, a repetat-o în 1948 la Conferința Solvay . Acesta din urmă nu a apărut tipărit decât în Proceedings of the Solvay Conference , publicat în 1950 ( Laurie M. Brown (ed.), Renormalization: From Lorentz to Landau (and Beyond) , Springer, 2012, p. 53. ).
^ H. Bethe , Schimbarea electromagnetică a nivelurilor de energie , în Physical Review , vol. 72, nr. 4, 1947, pp. 339–341, Bibcode : 1947PhRv ... 72..339B , DOI : 10.1103 / PhysRev.72.339 .
^ Schwinger, J., Despre electrodinamica cuantică și momentul magnetic al electronului , în Physical Review , vol. 73, nr. 4, 1948, pp. 416–417, Bibcode : 1948PhRv ... 73..416S , DOI : 10.1103 / PhysRev.73.416 .
^ Schwinger, J., I. O formulare covariantă , în Physical Review , Quantum Electrodynamics, vol. 74, nr. 10, 1948, pp. 1439–1461, Bibcode : 1948PhRv ... 74.1439S , DOI : 10.1103 / PhysRev.74.1439 .
^ Schwinger, J., II. Polarizarea sub vid și autoenergia , în Physical Review , Quantod Electrodynamics, vol. 75, nr. 4, 1949, pp. 651–679, Bibcode : 1949PhRv ... 75..651S , DOI : 10.1103 / PhysRev.75.651 .
^ Schwinger, J., III. Proprietățile electromagnetice ale corecțiilor radiative electronice la împrăștiere , în Physical Review , Quantod Electrodynamics, vol. 76, nr. 6, 1949, pp. 790–817, Bibcode : 1949PhRv ... 76..790S , DOI : 10.1103 / PhysRev.76.790 .
^ Richard P. Feynman, Abordarea spațiu-timp a mecanicii cuantice non-relativiste ( PDF ), în Review of Modern Physics , vol. 20, nr. 2, 1948, pp. 367–387, Bibcode : 1948RvMP ... 20..367F , DOI : 10.1103 / RevModPhys.20.367 .
^ Richard P. Feynman, A cut relativ pentru electrodinamica clasică ( PDF ), în Physical Review , vol. 74, nr. 8, 1948, pp. 939–946, Bibcode : 1948PhRv ... 74..939F , DOI : 10.1103 / PhysRev.74.939 .
^ Richard P. Feynman, A cut relativ pentru electrodinamica cuantică ( PDF ), în Physical Review , vol. 74, nr. 10, 1948, pp. 1430–1438, Bibcode : 1948PhRv ... 74.1430F , DOI : 10.1103 / PhysRev.74.1430 .
^ S. Tomonaga, Despre o formulare relativist invariantă a teoriei cuantice a câmpurilor de undă , în curs de desfășurare a fizicii teoretice , vol. 1, nr. 2, Oxford University Press (OUP), 1 august 1946, pp. 27–42, Bibcode : 1946PThPh ... 1 ... 27T , DOI : 10.1143 / ptp.1.27 , ISSN 1347-4081 ( WC ACNP ) .
^ Z. Koba, T. Tati și S.-i. Tomonaga, On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. II: Case of Interacting Electromagnetic and Electron Fields , in Progress of Theoretical Physics , vol. 2, n. 3, Oxford University Press (OUP), 1º ottobre 1947, pp. 101–116, Bibcode : 1947PThPh...2..101K , DOI : 10.1143/ptp/2.3.101 , ISSN 0033-068X ( WC · ACNP ) .
^ Z. Koba, T. Tati e S.-i. Tomonaga, On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. III: Case of Interacting Electromagnetic and Electron Fields , in Progress of Theoretical Physics , vol. 2, n. 4, Oxford University Press (OUP), 1º dicembre 1947, pp. 198–208, Bibcode : 1947PThPh...2..198K , DOI : 10.1143/ptp/2.4.198 , ISSN 0033-068X ( WC · ACNP ) .
^ S. Kanesawa e S.-i. Tomonaga, On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. [IV]: Case of Interacting Electromagnetic and Meson Fields , in Progress of Theoretical Physics , vol. 3, n. 1, Oxford University Press (OUP), 1º marzo 1948, pp. 1–13, DOI : 10.1143/ptp/3.1.1 , ISSN 0033-068X ( WC · ACNP ) .
^ S. Kanesawa e S.-i. Tomonaga, On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields V: Case of Interacting Electromagnetic and Meson Fields , in Progress of Theoretical Physics , vol. 3, n. 2, Oxford University Press (OUP), 1º giugno 1948, pp. 101–113, Bibcode : 1948PThPh...3..101K , DOI : 10.1143/ptp/3.2.101 , ISSN 0033-068X ( WC · ACNP ) .
^ Z. Koba e S.-i. Tomonaga, On Radiation Reactions in Collision Processes. I: Application of the "Self-Consistent" Subtraction Method to the Elastic Scattering of an Electron , in Progress of Theoretical Physics , vol. 3, n. 3, Oxford University Press (OUP), 1º settembre 1948, pp. 290–303, Bibcode : 1948PThPh...3..290K , DOI : 10.1143/ptp/3.3.290 , ISSN 0033-068X ( WC · ACNP ) .
^ Sin-Itiro Tomonaga e JR Oppenheimer , On Infinite Field Reactions in Quantum Field Theory , in Physical Review , vol. 74, n. 2, American Physical Society (APS), 15 luglio 1948, pp. 224–225, Bibcode : 1948PhRv...74..224T , DOI : 10.1103/physrev.74.224 , ISSN 0031-899X ( WC · ACNP ) .
^ Dyson, FJ, The radiation theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman , in Phys. Rev. , vol. 75, n. 3, 1949, pp. 486–502, Bibcode : 1949PhRv...75..486D , DOI : 10.1103/PhysRev.75.486 .
^ Michael E. Peskin e Daniel V. Schroeder,An Introduction to Quantum Field Theory , Reading, Addison-Wesley, 1995.
^ PAM Dirac, "The Evolution of the Physicist's Picture of Nature," in Scientific American, May 1963, p. 53.
^ Kragh, Helge ; Dirac: A scientific biography , CUP 1990, p. 184
^ Feynman, Richard P. ; QED, The Strange Theory of Light and Matter , Penguin 1990, p. 128
^ Ryder, Lewis. Quantum Field Theory , pagina 390 (Cambridge University Press 1996)

Bibliografia

JC Collins, "Renormalization", Cambridge University Press, Cambridge, 1984.
G. 't Hooft e M.Veltman, "Diagrammar", CERN Report 73-9, 1973. , su cds.cern.ch .
MJ Veltman, "Diagrammatica", The path to Feynman diagrams, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
LS Brown, "Quantum field theory", Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
ME Peskin, DV Schroeder, "An introduction to quantum field theory", Westview Press, 1995.
C. Itzykson and JB Zuber, "Quantum field theory", Mcgraw-hill, New York, 1980.
S. Weinberg, "The quantum theory of fields", Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su rinormalizzazione

Collegamenti esterni

( EN ) Rinormalizzazione , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 49160 · LCCN ( EN ) sh85112865 · BNF ( FR ) cb12159846b (data)

Portale Fisica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di fisica

[1] Kramers și-a prezentat lucrarea la Conferința Shelter Island din 1947, a repetat-o în 1948 la Conferința Solvay . Acesta din urmă nu a apărut tipărit decât în Proceedings of the Solvay Conference , publicat în 1950 ( Laurie M. Brown (ed.), Renormalization: From Lorentz to Landau (and Beyond) , Springer, 2012, p. 53. ).

[2] H. Bethe , Schimbarea electromagnetică a nivelurilor de energie , în Physical Review , vol. 72, nr. 4, 1947, pp. 339–341, Bibcode : 1947PhRv ... 72..339B , DOI : 10.1103 / PhysRev.72.339 .

[3] Schwinger, J., Despre electrodinamica cuantică și momentul magnetic al electronului , în Physical Review , vol. 73, nr. 4, 1948, pp. 416–417, Bibcode : 1948PhRv ... 73..416S , DOI : 10.1103 / PhysRev.73.416 .

[4] Schwinger, J., I. O formulare covariantă , în Physical Review , Quantum Electrodynamics, vol. 74, nr. 10, 1948, pp. 1439–1461, Bibcode : 1948PhRv ... 74.1439S , DOI : 10.1103 / PhysRev.74.1439 .

[5] Schwinger, J., II. Polarizarea sub vid și autoenergia , în Physical Review , Quantod Electrodynamics, vol. 75, nr. 4, 1949, pp. 651–679, Bibcode : 1949PhRv ... 75..651S , DOI : 10.1103 / PhysRev.75.651 .

[6] Schwinger, J., III. Proprietățile electromagnetice ale corecțiilor radiative electronice la împrăștiere , în Physical Review , Quantod Electrodynamics, vol. 76, nr. 6, 1949, pp. 790–817, Bibcode : 1949PhRv ... 76..790S , DOI : 10.1103 / PhysRev.76.790 .

[7] Richard P. Feynman, Abordarea spațiu-timp a mecanicii cuantice non-relativiste ( PDF ), în Review of Modern Physics , vol. 20, nr. 2, 1948, pp. 367–387, Bibcode : 1948RvMP ... 20..367F , DOI : 10.1103 / RevModPhys.20.367 .

[8] Richard P. Feynman, A cut relativ pentru electrodinamica clasică ( PDF ), în Physical Review , vol. 74, nr. 8, 1948, pp. 939–946, Bibcode : 1948PhRv ... 74..939F , DOI : 10.1103 / PhysRev.74.939 .

[9] Richard P. Feynman, A cut relativ pentru electrodinamica cuantică ( PDF ), în Physical Review , vol. 74, nr. 10, 1948, pp. 1430–1438, Bibcode : 1948PhRv ... 74.1430F , DOI : 10.1103 / PhysRev.74.1430 .

[10] S. Tomonaga, Despre o formulare relativist invariantă a teoriei cuantice a câmpurilor de undă , în curs de desfășurare a fizicii teoretice , vol. 1, nr. 2, Oxford University Press (OUP), 1 august 1946, pp. 27–42, Bibcode : 1946PThPh ... 1 ... 27T , DOI : 10.1143 / ptp.1.27 , ISSN 1347-4081 ( WC ACNP ) .

[11] Z. Koba, T. Tati și S.-i. Tomonaga, On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. II: Case of Interacting Electromagnetic and Electron Fields , in Progress of Theoretical Physics , vol. 2, n. 3, Oxford University Press (OUP), 1º ottobre 1947, pp. 101–116, Bibcode : 1947PThPh...2..101K , DOI : 10.1143/ptp/2.3.101 , ISSN 0033-068X ( WC · ACNP ) .

[12] Z. Koba, T. Tati e S.-i. Tomonaga, On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. III: Case of Interacting Electromagnetic and Electron Fields , in Progress of Theoretical Physics , vol. 2, n. 4, Oxford University Press (OUP), 1º dicembre 1947, pp. 198–208, Bibcode : 1947PThPh...2..198K , DOI : 10.1143/ptp/2.4.198 , ISSN 0033-068X ( WC · ACNP ) .

[13] S. Kanesawa e S.-i. Tomonaga, On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields. [IV]: Case of Interacting Electromagnetic and Meson Fields , in Progress of Theoretical Physics , vol. 3, n. 1, Oxford University Press (OUP), 1º marzo 1948, pp. 1–13, DOI : 10.1143/ptp/3.1.1 , ISSN 0033-068X ( WC · ACNP ) .

[14] S. Kanesawa e S.-i. Tomonaga, On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields V: Case of Interacting Electromagnetic and Meson Fields , in Progress of Theoretical Physics , vol. 3, n. 2, Oxford University Press (OUP), 1º giugno 1948, pp. 101–113, Bibcode : 1948PThPh...3..101K , DOI : 10.1143/ptp/3.2.101 , ISSN 0033-068X ( WC · ACNP ) .

[15] Z. Koba e S.-i. Tomonaga, On Radiation Reactions in Collision Processes. I: Application of the "Self-Consistent" Subtraction Method to the Elastic Scattering of an Electron , in Progress of Theoretical Physics , vol. 3, n. 3, Oxford University Press (OUP), 1º settembre 1948, pp. 290–303, Bibcode : 1948PThPh...3..290K , DOI : 10.1143/ptp/3.3.290 , ISSN 0033-068X ( WC · ACNP ) .

[16] Sin-Itiro Tomonaga e JR Oppenheimer , On Infinite Field Reactions in Quantum Field Theory , in Physical Review , vol. 74, n. 2, American Physical Society (APS), 15 luglio 1948, pp. 224–225, Bibcode : 1948PhRv...74..224T , DOI : 10.1103/physrev.74.224 , ISSN 0031-899X ( WC · ACNP ) .

[17] Dyson, FJ, The radiation theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman , in Phys. Rev. , vol. 75, n. 3, 1949, pp. 486–502, Bibcode : 1949PhRv...75..486D , DOI : 10.1103/PhysRev.75.486 .

[18] Michael E. Peskin e Daniel V. Schroeder,An Introduction to Quantum Field Theory , Reading, Addison-Wesley, 1995.

[19] PAM Dirac, "The Evolution of the Physicist's Picture of Nature," in Scientific American, May 1963, p. 53.

[20] Kragh, Helge ; Dirac: A scientific biography , CUP 1990, p. 184

[21] Feynman, Richard P. ; QED, The Strange Theory of Light and Matter , Penguin 1990, p. 128

[22] Ryder, Lewis. Quantum Field Theory , pagina 390 (Cambridge University Press 1996)

[1]

[2]

[3]

[4]

[ 5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]