Bremsstrahlung

Bremsstrahlung produs de un electron foarte energic deviat de câmpul electric al unui nucleu atomic

Bremsstrahlung ( radiația de frânare în italiană) este o radiație electromagnetică care se produce datorită accelerației sau decelerării unei particule încărcate , ^{[1] de} obicei un electron , deviat de o altă particulă încărcată, de obicei nucleul atomic ; de fapt, presupunând că există particule încărcate într-o porțiune de materie și că un electron trece aproape de viteză mare, traiectoria acestuia din urmă va fi deviată din cauza câmpului electric din jurul nucleului atomic. ^[2]

Particulă în mișcare, atunci când este deviată, pierde energie cinetică și, pentru a satisface principiul conservării energiei, emite o radiație sub forma unui foton ; bremsstrahlung se caracterizează printr-o distribuție continuă a radiației care devine mai intensă (și se deplasează către frecvențe mai mari) cu creșterea energiei electronii de bombardare (particule frânate). Frecvența maximă a radiației este legată de energia cinetică a electronilor prin relație

E=h\nu _{max}

{\ displaystyle E = h \ nu _ {max}}

{\ displaystyle E = h \ nu _ {max}}

și, în consecință, se cunoaște și valoarea minimă pentru lungimea de undă a radiației emise:

\lambda _{min}={\frac {c}{\nu _{max}}}={\frac {hc}{E}}

{\ displaystyle \ lambda _ {min} = {\ frac {c} {\ nu _ {max}}} = {\ frac {hc} {E}}}

{\ displaystyle \ lambda _ {min} = {\ frac {c} {\ nu _ {max}}} = {\ frac {hc} {E}}}

Mai general, radiația bremsstrahlung sau de frânare se referă la orice radiație produsă de decelerarea unei particule încărcate, care include radiația sincrotronă , radiația ciclotronică și emisia de electroni și pozitroni în timpul decăderii beta ; cu toate acestea, termenul este adesea folosit în cel mai strict sens al radiației de frânare a electronilor de la orice sursă externă.

Descriere

Conform ecuațiilor lui Maxwell , sarcinile accelerate emit radiații electromagnetice : în special, atunci când un electron se ciocnește cu un material, acesta este împrăștiat de câmpul Coulomb al unui nucleu atomic , deci se poate crede că este „frânat”. Dacă energia electronilor care bombardează este suficient de mare, radiația emisă se află în regiunea de raze X a spectrului electromagnetic.

Pierderea de energie pentru bremsstrahlung este semnificativă - adică domină asupra proceselor de ionizare și excitație ale nucleului - pentru electroni foarte energici (în ordinea a sute de MeV în aer și apă și zeci de MeV în materiale grele precum plumbul sau fier). Pierderea medie de energie pe unitate de deplasare poate fi calculată aproximativ și se dovedește

-\left\langle {\frac {dE}{dx}}\right\rangle \approx {\frac {4N_{a}Z^{2}\alpha ^{3}(\hbar c)^{2}}{m_{e}^{2}c^{4}}}E\ln {\frac {183}{Z^{1/3}}}

{\ displaystyle - \ left \ langle {\ frac {dE} {dx}} \ right \ rangle \ approx {\ frac {4N_ {a} Z ^ {2} \ alpha ^ {3} (\ hbar c) ^ { 2}} {m_ {e} ^ {2} c ^ {4}}} E \ ln {\ frac {183} {Z ^ {1/3}}}}

{\ displaystyle - \ left \ langle {\ frac {dE} {dx}} \ right \ rangle \ approx {\ frac {4N_ {a} Z ^ {2} \ alpha ^ {3} (\ hbar c) ^ { 2}} {m_ {e} ^ {2} c ^ {4}}} E \ ln {\ frac {183} {Z ^ {1/3}}}}

unde este $N_{a}$ ${\ displaystyle N_ {a}}$ $N / A$ este numărul de atomi pe unitate de volum, Z este numărul atomic al materialului, $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este constanta structurii fine e $m_{e}$ ${\ displaystyle m_ {e}}$ $eu insumi}$ este masa electronului. Prin urmare, se poate observa că pentru particulele cu masă mai mare pierderea de energie este mai mică. Termenul logaritmic se datorează ecranării parțiale a sarcinii nucleare de către electroni atomici. Tratamentul formal prin mecanica cuantică a fost efectuat de Hans Bethe și Walther Heitler în 1934 .

Liniile unice sunt, de asemenea, suprapuse acestui spectru continuu, deoarece electronii care bombardează pot scoate electroni din straturile atomice cele mai interioare ale țintei, iar umplerea rapidă a acestor goluri de către electroni din straturile superioare produce raze X caracteristice pentru fiecare atom (numită „fluorescență”) „”). Alternativ, se poate întâmpla ca energia relativă la diferența de energie dintre cele două orbite să cauzeze, după descompunerea electronică la niveluri mai mici de energie, expulzarea în continuare a electronilor cei mai exteriori. Acest fenomen constituie efectul Auger .

Acest efect se găsește și în unele obiecte din cerul adânc , unde emisia este în general asociată cu gaz fierbinte rarefiat în grupuri de galaxii .

Particule în vid

O particulă încărcată accelerată, în vid, radiază energie, așa cum este descris de formula lui Larmor (și generalizările sale relativiste):

P={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}

{\ displaystyle P = {\ frac {q ^ {2} a ^ {2}} {6 \ pi \ epsilon _ {0} c ^ {3}}}}

{\ displaystyle P = {\ frac {q ^ {2} a ^ {2}} {6 \ pi \ epsilon _ {0} c ^ {3}}}}

unde este $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este puterea, $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ sarcina particulei, $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ accelerarea ei e $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ viteza luminii în vid.

Deși termenul bremsstrahlung este de obicei rezervat particulelor încărcate accelerate în prezența materiei și nu în vid, legile sunt similare.

Puterea totală radiată poate fi derivată din formula relativistă

P={\frac {q^{2}\gamma ^{4}}{6\pi \epsilon _{0}c}}\left({\dot {\beta }}^{2}+{\frac {\left({\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}}\right)^{2}}{1-\beta ^{2}}}\right)

{\ displaystyle P = {\ frac {q ^ {2} \ gamma ^ {4}} {6 \ pi \ epsilon _ {0} c}} \ left ({\ dot {\ beta}} ^ {2} + {\ frac {\ left ({\ vec {\ beta}} \ cdot {\ dot {\ vec {\ beta}}} \ right) ^ {2}} {1- \ beta ^ {2}}} \ right )}}

{\ displaystyle P = {\ frac {q ^ {2} \ gamma ^ {4}} {6 \ pi \ epsilon _ {0} c}} \ left ({\ dot {\ beta}} ^ {2} + {\ frac {\ left ({\ vec {\ beta}} \ cdot {\ dot {\ vec {\ beta}}} \ right) ^ {2}} {1- \ beta ^ {2}}} \ right )}}

unde este ${\vec {\beta }}={\vec {v}}/c$ ${\ displaystyle {\ vec {\ beta}} = {\ vec {v}} / c}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ beta}} = {\ vec {v}} / c}$ , in care ${\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ $\ vec {v}$ este viteza particulei, $\gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}$ ${\ displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}$ este factorul Lorentz și ${\dot {\vec {\beta }}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ vec {\ beta}}}}$ $\ dot {\ vec {\ beta}}$ este derivata în timp a ${\vec {\beta }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ beta}}}$ $\ vec {\ beta}$ . Utilizarea identității ^[3] :

{{\biggl (}{\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}}{\biggr )}}^{2}={\vec {\beta }}^{2}\cdot {\dot {\vec {\beta }}}^{2}-{{\biggl (}{\vec {\beta }}\times {\dot {\vec {\beta }}}{\biggr )}}^{2}

{\ displaystyle {{\ biggl (} {\ vec {\ beta}} \ cdot {\ dot {\ vec {\ beta}}} {\ biggr)}} ^ {2} = {\ vec {\ beta}} ^ {2} \ cdot {\ dot {\ vec {\ beta}}} ^ {2} - {{\ biggl (} {\ vec {\ beta}} \ times {\ dot {\ vec {\ beta}} } {\ biggr)}} ^ {2}}

{\ displaystyle {{\ biggl (} {\ vec {\ beta}} \ cdot {\ dot {\ vec {\ beta}}} {\ biggr)}} ^ {2} = {\ vec {\ beta}} ^ {2} \ cdot {\ dot {\ vec {\ beta}}} ^ {2} - {{\ biggl (} {\ vec {\ beta}} \ times {\ dot {\ vec {\ beta}} } {\ biggr)}} ^ {2}}

poți scrie expresia lui $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în forma echivalentă:

P={\frac {q^{2}\gamma ^{6}}{6\pi \epsilon _{0}c}}\left({\dot {\beta }}^{2}-{{\biggl (}{\vec {\beta }}\times {\dot {\vec {\beta }}}{\biggr )}}^{2}\right)

{\ displaystyle P = {\ frac {q ^ {2} \ gamma ^ {6}} {6 \ pi \ epsilon _ {0} c}} \ left ({\ dot {\ beta}} ^ {2} - {{\ biggl (} {\ vec {\ beta}} \ times {\ dot {\ vec {\ beta}}} {\ biggr)}} ^ {2} \ right)}

{\ displaystyle P = {\ frac {q ^ {2} \ gamma ^ {6}} {6 \ pi \ epsilon _ {0} c}} \ left ({\ dot {\ beta}} ^ {2} - {{\ biggl (} {\ vec {\ beta}} \ times {\ dot {\ vec {\ beta}}} {\ biggr)}} ^ {2} \ right)}

În cazul particular în care vectorul vitezei este paralel cu accelerația particulei, ecuația de mai sus poate fi simplificată în continuare ca

P={\frac {q^{2}a^{2}\gamma ^{6}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}

{\ displaystyle P = {\ frac {q ^ {2} a ^ {2} \ gamma ^ {6}} {6 \ pi \ epsilon _ {0} c ^ {3}}}}

{\ displaystyle P = {\ frac {q ^ {2} a ^ {2} \ gamma ^ {6}} {6 \ pi \ epsilon _ {0} c ^ {3}}}}

în care este plasat $a={\dot {v}}={\dot {\beta }}c$ ${\ displaystyle a = {\ dot {v}} = {\ dot {\ beta}} c}$ ${\ displaystyle a = {\ dot {v}} = {\ dot {\ beta}} c}$ .

Dacă, pe de altă parte, avem că accelerația este perpendiculară pe viteză, adică ${\biggl (}{\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}}{\biggr )}=0$ ${\ displaystyle {\ biggl (} {\ vec {\ beta}} \ cdot {\ dot {\ vec {\ beta}}} {\ biggr)} = 0}$ ${\ displaystyle {\ biggl (} {\ vec {\ beta}} \ cdot {\ dot {\ vec {\ beta}}} {\ biggr)} = 0}$ , puterea totală radiată este redusă la

P={\frac {q^{2}a^{2}\gamma ^{4}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}

{\ displaystyle P = {\ frac {q ^ {2} a ^ {2} \ gamma ^ {4}} {6 \ pi \ epsilon _ {0} c ^ {3}}}}

{\ displaystyle P = {\ frac {q ^ {2} a ^ {2} \ gamma ^ {4}} {6 \ pi \ epsilon _ {0} c ^ {3}}}}

De asemenea, din raport $E=\gamma mc^{2}$ ${\ displaystyle E = \ gamma mc ^ {2}}$ $E = \ gamma mc ^ {2}$ , este clar că puterea totală radiată, în termeni de tendință în raport cu masa, merge la fel $m^{-4}$ ${\ displaystyle m ^ {- 4}}$ ${\ displaystyle m ^ {- 4}}$ sau $m^{-6}$ ${\ displaystyle m ^ {- 6}}$ ${\ displaystyle m ^ {- 6}}$ , și acesta este motivul pentru care electronii pierd energie din cauza bremsstrahlung mult mai repede decât alte particule mai grele (cum ar fi muoni , protoni , particule alfa ): pentru a da un exemplu, un electron pierde energie din cauza bremsstrahlung la o rată de $(m_{p}/m_{e})^{4}\sim 10^{13}$ ${\ displaystyle (m_ {p} / m_ {e}) ^ {4} \ sim 10 ^ {13}}$ ${\ displaystyle (m_ {p} / m_ {e}) ^ {4} \ sim 10 ^ {13}}$ de ori mai mare decât un proton.

Puterea totală radiată poate fi exprimată și în funcție de unghiul solid $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ ; mai precis, dacă este indicat cu $d\Omega$ ${\ displaystyle d \ Omega}$ ${\ displaystyle d \ Omega}$ unghiul solid infinitesimal și cu ${\hat {n}}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}}}$ ${\ hat {n}}$ versorul direcționat de particulă către observator, atunci există următoarea relație:

{\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}c}}{\frac {\left|{\hat {n}}\times \left(\left({\hat {n}}-{\vec {\beta }}\right)\times {\dot {\vec {\beta }}}\right)\right|^{2}}{\left(1-{\hat {n}}\cdot {\vec {\beta }}\right)^{5}}}

{\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ Omega}} = {\ frac {q ^ {2}} {16 \ pi ^ {2} \ epsilon _ {0} c}} {\ frac {\ left | {\ hat {n}} \ times \ left (\ left ({\ hat {n}} - {\ vec {\ beta}} \ right) \ times {\ dot {\ vec {\ beta}}} \ right ) \ right | ^ {2}} {\ left (1 - {\ hat {n}} \ cdot {\ vec {\ beta}} \ right) ^ {5}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ Omega}} = {\ frac {q ^ {2}} {16 \ pi ^ {2} \ epsilon _ {0} c}} {\ frac {\ left | {\ hat {n}} \ times \ left (\ left ({\ hat {n}} - {\ vec {\ beta}} \ right) \ times {\ dot {\ vec {\ beta}}} \ right ) \ right | ^ {2}} {\ left (1 - {\ hat {n}} \ cdot {\ vec {\ beta}} \ right) ^ {5}}}}

În cazul în care viteza este paralelă cu accelerația (de exemplu într-o mișcare rectilinie) poate fi simplificată ca

{\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}a^{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{\left(1-\beta \cos \theta \right)^{5}}}

{\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ Omega}} = {\ frac {q ^ {2} a ^ {2}} {16 \ pi ^ {2} \ epsilon _ {0} c ^ {3} }} {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta} {\ left (1- \ beta \ cos \ theta \ right) ^ {5}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ Omega}} = {\ frac {q ^ {2} a ^ {2}} {16 \ pi ^ {2} \ epsilon _ {0} c ^ {3} }} {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta} {\ left (1- \ beta \ cos \ theta \ right) ^ {5}}}}

unde este $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este unghiul format între vectorul de accelerație ${\vec {a}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ ${\ vec {a}}$ și direcția de observare.

Bremsstrahlung termică

Într-o plasmă , electronii liberi se ciocnesc continuu cu ionii, producând radiații bremsstrahlung; o discuție detaliată despre aceasta se datorează lui Bekefi.

Dacă avem în vedere o plasmă uniformă cu electroni termici distribuiți în funcție de distribuția Maxwell-Boltzmann la temperatură $T_{e}$ ${\ displaystyle T_ {e}}$ ${\ displaystyle T_ {e}}$ , conform modelului lui Bekefi, densitatea spectrală a puterii radiate per bremsstrahlung (adică puterea pe interval de frecvență unghiulară, integrată pe un unghi solid total de $4\pi {\text{ sr}}$ ${\ displaystyle 4 \ pi {\ text {sr}}}$ ${\ displaystyle 4 \ pi {\ text {sr}}}$ , și în ambele polarizări) pot fi obținute de la:

{\frac {dP}{d\omega }}={\frac {8{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}\left[{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right]^{3}{\frac {1}{(m_{e}c^{2})^{3/2}}}\left[1-{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega ^{2}}}\right]^{1/2}{\frac {Z_{i}^{2}n_{i}n_{e}}{(k_{B}T_{e})^{1/2}}}E_{1}(y)

{\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ omega}} = {\ frac {8 {\ sqrt {2}}} {3 {\ sqrt {\ pi}}}} \ left [{\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ right] ^ {3} {\ frac {1} {(m_ {e} c ^ {2}) ^ {3/2}}} \ left [1 - {\ frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} \ right] ^ {1/2} {\ frac {Z_ {i} ^ {2} n_ {i} n_ {e}} {(k_ {B} T_ {e}) ^ {1/2}}} E_ {1} (y)}

{\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ omega}} = {\ frac {8 {\ sqrt {2}}} {3 {\ sqrt {\ pi}}}} \ left [{\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ right] ^ {3} {\ frac {1} {(m_ {e} c ^ {2}) ^ {3/2}}} \ left [1 - {\ frac {\ omega _ {p} ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} \ right] ^ {1/2} {\ frac {Z_ {i} ^ {2} n_ {i} n_ {e}} {(k_ {B} T_ {e}) ^ {1/2}}} E_ {1} (y)}

unde este $\omega _{p}=(n_{e}e^{2}/\epsilon _{0}m_{e})^{1/2}$ ${\ displaystyle \ omega _ {p} = (n_ {e} e ^ {2} / \ epsilon _ {0} m_ {e}) ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {p} = (n_ {e} e ^ {2} / \ epsilon _ {0} m_ {e}) ^ {1/2}}$ este frecvența plasmei electronice, $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este frecvența fotonului și, în cele din urmă $n_{e}$ ${\ displaystyle n_ {e}}$ $nici$ și $n_{i}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$ $n_i$ sunt densitatea numărului de electroni și, respectiv, de ioni.

Al doilea termen între paranteze este indicele de refracție al unei unde de lumină într-o plasmă și arată modul în care emisia este suprimată semnificativ în cazul în care $\omega <\omega _{p}$ ${\ displaystyle \ omega <\ omega _ {p}}$ ${\ displaystyle \ omega <\ omega _ {p}}$ : în acest caz, se spune că unda de lumină este evanescentă , iar condiția de tăiere pentru o undă de lumină într-o plasmă este precisă $\omega <\omega _{p}$ ${\ displaystyle \ omega <\ omega _ {p}}$ ${\ displaystyle \ omega <\ omega _ {p}}$ .

Rezultă că trebuie să ne restrângem la întâmplare $\omega >\omega _{p}$ ${\ displaystyle \ omega> \ omega _ {p}}$ ${\ displaystyle \ omega> \ omega _ {p}}$ ; funcția specială $E_{1}$ ${\ displaystyle E_ {1}}$ $E_ {1}$ este o exponențială integrală și cantitatea adimensională $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este dat de

y={\frac {1}{2}}{\frac {\omega ^{2}m_{e}}{k_{m}^{2}k_{B}T_{e}}}

{\ displaystyle y = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ omega ^ {2} m_ {e}} {k_ {m} ^ {2} k_ {B} T_ {e}}}}

{\ displaystyle y = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ omega ^ {2} m_ {e}} {k_ {m} ^ {2} k_ {B} T_ {e}}}}

unde este $k_{m}$ ${\ displaystyle k_ {m}}$ ${\ displaystyle k_ {m}}$ este un număr de undă maxim (sau forfecare), rezultat din coliziuni binare și poate varia în funcție de specia ionică; aproximativ unul are

k_{m}={\frac {1}{\lambda _{B}}}

{\ displaystyle k_ {m} = {\ frac {1} {\ lambda _ {B}}}}

{\ displaystyle k_ {m} = {\ frac {1} {\ lambda _ {B}}}}

cand $k_{B}T_{e}>Z_{i}^{2}E_{h}$ ${\ displaystyle k_ {B} T_ {e}> Z_ {i} ^ {2} E_ {h}}$ ${\ displaystyle k_ {B} T_ {e}> Z_ {i} ^ {2} E_ {h}}$ (tipic în plasmele nu prea reci), unde $E_{h}\sim 27.2\ eV$ ${\ displaystyle E_ {h} \ sim 27.2 \ eV}$ ${\ displaystyle E_ {h} \ sim 27.2 \ eV}$ este energia Hartree (unitate de energie atomică), e $\lambda _{B}=\hbar /(m_{e}k_{B}T_{e})^{1/2}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {B} = \ hbar / (m_ {e} k_ {B} T_ {e}) ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {B} = \ hbar / (m_ {e} k_ {B} T_ {e}) ^ {1/2}}$ este lungimea de undă termică De Broglie .

Altfel, avem asta $k_{m}\propto 1/l_{c}$ ${\ displaystyle k_ {m} \ propto 1 / l_ {c}}$ ${\ displaystyle k_ {m} \ propto 1 / l_ {c}}$ , unde este $l_{c}$ ${\ displaystyle l_ {c}}$ ${\ displaystyle l_ {c}}$ este distanța clasică de apropiere.

Cu toate acestea, pentru situații obișnuite, $k_{m}=1/\lambda _{B}$ ${\ displaystyle k_ {m} = 1 / \ lambda _ {B}}$ ${\ displaystyle k_ {m} = 1 / \ lambda _ {B}}$ și obținem:

y={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T_{e}}}\right]^{2}

{\ displaystyle y = {\ frac {1} {2}} \ left [{\ frac {\ hbar \ omega} {k_ {B} T_ {e}}} \ right] ^ {2}}

{\ displaystyle y = {\ frac {1} {2}} \ left [{\ frac {\ hbar \ omega} {k_ {B} T_ {e}}} \ right] ^ {2}}

Ecuația lui ${\frac {dP}{d\omega }}$ ${\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ omega}}}$ este totuși o formulă aproximativă, deoarece neglijează emisiile care apar pentru $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ puțin mai mare decât $\omega _{p}$ ${\ displaystyle \ omega _ {p}}$ $\ omega _ {p}$ .

În măsura în care $y\ll 1$ ${\ displaystyle y \ ll 1}$ ${\ displaystyle y \ ll 1}$ , putem aproxima funcția exponențială integrală ca

E_{1}(y)\sim -\ln \left(ye^{\gamma }\right)+O(y)

{\ displaystyle E_ {1} (y) \ sim - \ ln \ left (ye ^ {\ gamma} \ right) + O (y)}

{\ displaystyle E_ {1} (y) \ sim - \ ln \ left (ye ^ {\ gamma} \ right) + O (y)}

in care $\gamma \sim 0.577$ ${\ displaystyle \ gamma \ sim 0.577}$ ${\ displaystyle \ gamma \ sim 0.577}$ este constanta Euler-Mascheroni , recurentă în analiză și în teoria numerelor, definită ca limita diferenței dintre seria armonică și logaritmul natural:

\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(-\ln(n)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}-{\frac {1}{x}}\right)dx

{\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (- \ ln (n) + \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} \ right ) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {\ lfloor x \ rfloor}} - {\ frac {1} {x}} \ right) dx}

{\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (- \ ln (n) + \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} \ right ) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {\ lfloor x \ rfloor}} - {\ frac {1} {x}} \ right) dx}

unde este $\lfloor x\rfloor$ ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$ $\ lfloor x \ rfloor$ este funcția părții întregi .

Pentru $y>e^{-\gamma }$ ${\ displaystyle y> e ^ {- \ gamma}}$ ${\ displaystyle y> e ^ {- \ gamma}}$ termenul logaritmic este negativ, ceea ce face ca aproximarea să fie inadecvată; Bekefi a dat expresii corecte pentru termenul logaritmic care corespund calculelor detaliate asupra coliziunii binare.

Puterea totală radiată, integrată pe toate frecvențele, este:

P=\int _{\omega _{p}}^{\infty }{\frac {dP}{d\omega }}d\omega ={\frac {16}{3}}\left[{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right]^{3}{\frac {1}{m_{e}^{2}c^{3}}}Z_{i}^{2}n_{i}n_{e}k_{m}G(y_{p})

{\ displaystyle P = \ int _ {\ omega _ {p}} ^ {\ infty} {\ frac {dP} {d \ omega}} d \ omega = {\ frac {16} {3}} \ left [ {\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ right] ^ {3} {\ frac {1} {m_ {e} ^ {2} c ^ {3}} } Z_ {i} ^ {2} n_ {i} n_ {e} k_ {m} G (y_ {p})}

{\ displaystyle P = \ int _ {\ omega _ {p}} ^ {\ infty} {\ frac {dP} {d \ omega}} d \ omega = {\ frac {16} {3}} \ left [ {\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ right] ^ {3} {\ frac {1} {m_ {e} ^ {2} c ^ {3}} } Z_ {i} ^ {2} n_ {i} n_ {e} k_ {m} G (y_ {p})}

cu

G(y_{p})={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{y_{p}}^{\infty }y^{-1/2}\left[1-{\frac {y_{p}}{y}}\right]^{1/2}E_{1}(y)dy

{\ displaystyle G (y_ {p}) = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ pi}}}} \ int _ {y_ {p}} ^ {\ infty} y ^ {- 1/2 } \ left [1 - {\ frac {y_ {p}} {y}} \ right] ^ {1/2} E_ {1} (y) dy}

{\ displaystyle G (y_ {p}) = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ pi}}}} \ int _ {y_ {p}} ^ {\ infty} y ^ {- 1/2 } \ left [1 - {\ frac {y_ {p}} {y}} \ right] ^ {1/2} E_ {1} (y) dy}

fiind $y_{p}=y(\omega =\omega _{p})$ ${\ displaystyle y_ {p} = y (\ omega = \ omega _ {p})}$ ${\ displaystyle y_ {p} = y (\ omega = \ omega _ {p})}$ ; avem deci $G(y_{p}=0)=1$ ${\ displaystyle G (y_ {p} = 0) = 1}$ ${\ displaystyle G (y_ {p} = 0) = 1}$ , și scade cu $y_{p}$ ${\ displaystyle y_ {p}}$ $y_ {p}$ , rămânând întotdeauna pozitiv. Pentru $k_{m}=1/\lambda _{B}$ ${\ displaystyle k_ {m} = 1 / \ lambda _ {B}}$ ${\ displaystyle k_ {m} = 1 / \ lambda _ {B}}$ primesti:

P={\frac {16}{3}}{\frac {\left({\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)^{3}}{(m_{e}c^{2})^{3/2}\hbar }}Z_{i}^{2}n_{i}n_{e}(k_{B}T_{e})^{1/2}G(y_{p})

{\ displaystyle P = {\ frac {16} {3}} {\ frac {\ left ({\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ right) ^ {3 }} {(m_ {e} c ^ {2}) ^ {3/2} \ hbar}} Z_ {i} ^ {2} n_ {i} n_ {e} (k_ {B} T_ {e}) ^ {1/2} G (y_ {p})}

{\ displaystyle P = {\ frac {16} {3}} {\ frac {\ left ({\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ right) ^ {3 }} {(m_ {e} c ^ {2}) ^ {3/2} \ hbar}} Z_ {i} ^ {2} n_ {i} n_ {e} (k_ {B} T_ {e}) ^ {1/2} G (y_ {p})}

Pentru temperaturi extrem de ridicate, există corecții relativiste pentru ecuația anterioară, adică termeni suplimentari de ordinul lui $k_{B}T_{e}/m_{e}c^{2}$ ${\ displaystyle k_ {B} T_ {e} / m_ {e} c ^ {2}}$ ${\ displaystyle k_ {B} T_ {e} / m_ {e} c ^ {2}}$ .

Corecții relativiste pentru emisia unui foton a

30\ keV

{\ displaystyle 30 \ keV}

{\ displaystyle 30 \ keV}

prin impactul unui electron asupra unui proton.

Surse de bremsstrahlung

Tub cu raze X

Într-un tub cu raze X , electronii sunt accelerați de un câmp electric și „trag” pe o bucată de metal numită „țintă”. Razele X sunt emise ca radiații cauzate de decelerarea electronilor din metal. ^[4]

Spectrul de ieșire este un spectru continuu de raze X, cu vârfuri suplimentare situate la anumite valori de energie.

Spectrul de raze X emis de un tub de raze X cu țintă de rodiu, la cca

60{\text{ kV}}

{\ displaystyle 60 {\ text {kV}}}

{\ displaystyle 60 {\ text {kV}}}

.

Continuitatea spectrului se datorează bremsstrahlung, în timp ce vârfurile sunt raze X caracteristice asociate cu atomii țintă; în acest context, bremsstrahlung se mai numește și raze X continue .

Forma spectrului celei de-a doua figuri este descrisă în grosime de legea lui Kramer: este de obicei dată ca o distribuție a intensității $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ (numărul de fotoni) împotriva lungimii de undă a radiației emise $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ :

I(\lambda )d\lambda =K\left({\frac {\lambda }{\lambda _{min}}}-1\right){\frac {1}{\lambda ^{2}}}d\lambda

{\ displaystyle I (\ lambda) d \ lambda = K \ left ({\ frac {\ lambda} {\ lambda _ {min}}} - 1 \ right) {\ frac {1} {\ lambda ^ {2} }} d \ lambda}

{\ displaystyle I (\ lambda) d \ lambda = K \ left ({\ frac {\ lambda} {\ lambda _ {min}}} - 1 \ right) {\ frac {1} {\ lambda ^ {2} }} d \ lambda}

unde este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este o constantă proporțională cu numărul atomic al elementului țintă și $\lambda _{min}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {min}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {min}}$ este lungimea de undă minimă dată de legea Duane-Hunt ^[5] : frecvența maximă a radiației emise, în urma aplicării unei diferențe de potențial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , este dat de

\nu _{max}={\frac {eV}{h}}

{\ displaystyle \ nu _ {max} = {\ frac {eV} {h}}}

{\ displaystyle \ nu _ {max} = {\ frac {eV} {h}}}

la care corespunde lungimea de undă minimă:

\lambda _{min}={\frac {hc}{eV}}\sim {\frac {1239.8\ pm}{V{\text{ in kV}}}}

{\ displaystyle \ lambda _ {min} = {\ frac {hc} {eV}} \ sim {\ frac {1239.8 \ pm} {V {\ text {în kV}}}}}

{\ displaystyle \ lambda _ {min} = {\ frac {hc} {eV}} \ sim {\ frac {1239.8 \ pm} {V {\ text {în kV}}}}}

Procesul de emisie de raze X de la electronii în mișcare este, de asemenea, cunoscut sub numele de efect fotoelectric invers .

Decăderea beta

Particulele beta au uneori o radiație de spectru continuu slabă datorită bremsstrahlung; totuși, în acest caz este o radiație secundară, în sensul că este produsă ca urmare a încetinirii (sau opririi) radiației primare.

Acest lucru este similar cu razele X produse prin bombardarea țintelor metalice cu electroni în generatoarele de raze X, cu excepția faptului că aici radiația este produsă de electroni de mare viteză din radiația beta.

„Bremsstrahlungul intern” apare din crearea unui electron și pierderea acestuia de energie, datorită câmpului electric puternic din regiunea de descompunere, atunci când acesta părăsește nucleul.

În emisia de electroni și pozitroni prin dezintegrarea beta, energia fotonului provine din perechea electron-nucleon, spectrul bremsstrahlung scăzând pe măsură ce energia particulei beta crește.

În captarea electronilor, energia este în detrimentul neutrino-ului , iar spectrul este maximizat la aproximativ o treime din energia normală a neutrino-ului, reducând energia electromagnetică la energia normală a neutrino-ului.

În această situație, bremsstrahlung este emis chiar dacă nu sunt emise particule încărcate; această radiație poate fi la frecvențe similare radiației gamma , chiar dacă nu are o linie spectrală netă de dezintegrare gamma.

Bremsstrahlungul „intern” este în contrast cu bremsstrahlungul „extern”, cauzat de impactul electronilor asupra nucleului, care provin din exterior, adică emis de un alt nucleu.

În unele cazuri, de exemplu pentru fosfor, radiația bremsstrahlung produsă prin protejarea radiației beta cu materiale dense, cum ar fi plumbul, este în sine periculoasă: în aceste situații, ecranarea trebuie realizată cu materiale cu densitate redusă, cum ar fi plexiglas, plastic, lemn sau apă; deoarece numărul atomic este mai mic, rezultă că intensitatea bremsstrahlung este considerabil redusă, chiar dacă este necesară o grosime mai mare de ecranare pentru a opri electronii (radiații beta).

Descriere conform mecanicii cuantice

Descrierea completă este opera lui Bethe și Heitler, care, presupunând unde plane pentru electronii care se dispersează la nucleul unui atom, au obținut o secțiune transversală care se referă la geometria completă a acestui proces, în funcție de frecvența emise foton; secțiunea în cauză evidențiază simetria mecanicii cuantice pentru producția de perechi , iar diferențialul său de ordinul patru este ^[6] :

{\begin{aligned}d^{4}\sigma ={\frac {Z^{2}\alpha ^{3}\hbar ^{2}}{4\pi ^{2}}}{\frac {|{\vec {p}}_{f}|}{|{\vec {p}}_{i}|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}d\Omega _{f}d\Phi }{q^{4}}}\left[{\frac {|{\vec {p}}_{f}|^{2}\sin ^{2}\theta _{f}}{(E_{f}-c|{\vec {p}}_{f}|\cos \theta _{f})^{2}}}(4E_{i}^{2}-c^{2}q^{2})+{\frac {|{\vec {p}}_{i}|^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}{(E_{i}-c|{\vec {p}}_{i}|\cos \theta _{i})^{2}}}(4E_{f}^{2}-c^{2}q^{2})+\right.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} d ^ {4} \ sigma = {\ frac {Z ^ {2} \ alpha ^ {3} \ hbar ^ {2}} {4 \ pi ^ {2}}} { \ frac {| {\ vec {p}} _ {f} |} {| {\ vec {p}} _ {i} |}} {\ frac {d \ omega} {\ omega}} {\ frac { d \ Omega _ {i} d \ Omega _ {f} d \ Phi} {q ^ {4}}} \ left [{\ frac {| {\ vec {p}} _ {f} | ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {f}} {(E_ {f} -c | {\ vec {p}} _ {f} | \ cos \ theta _ {f}) ^ {2}}} ( 4E_ {i} ^ {2} -c ^ {2} q ^ {2}) + {\ frac {| {\ vec {p}} _ {i} | ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {i}} {(E_ {i} -c | {\ vec {p}} _ {i} | \ cos \ theta _ {i}) ^ {2}}} (4E_ {f} ^ {2} -c ^ {2} q ^ {2}) + \ right. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} d ^ {4} \ sigma = {\ frac {Z ^ {2} \ alpha ^ {3} \ hbar ^ {2}} {4 \ pi ^ {2}}} { \ frac {| {\ vec {p}} _ {f} |} {| {\ vec {p}} _ {i} |}} {\ frac {d \ omega} {\ omega}} {\ frac { d \ Omega _ {i} d \ Omega _ {f} d \ Phi} {q ^ {4}}} \ left [{\ frac {| {\ vec {p}} _ {f} | ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {f}} {(E_ {f} -c | {\ vec {p}} _ {f} | \ cos \ theta _ {f}) ^ {2}}} ( 4E_ {i} ^ {2} -c ^ {2} q ^ {2}) + {\ frac {| {\ vec {p}} _ {i} | ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {i}} {(E_ {i} -c | {\ vec {p}} _ {i} | \ cos \ theta _ {i}) ^ {2}}} (4E_ {f} ^ {2} -c ^ {2} q ^ {2}) + \ right. \ end {align}}}

\left.+2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {|{\vec {p}}_{i}|^{2}\sin ^{2}\theta _{i}+|{\vec {p}}_{f}|^{2}\sin ^{2}\theta _{f}}{(E_{f}-c|{\vec {p}}_{f}|\cos \theta _{f})(E_{i}-c|{\vec {p}}_{i}|\cos \theta _{i})}}-2{\frac {|{\vec {p}}_{i}||{\vec {p}}_{f}|\sin \theta _{i}\sin \theta _{f}\cos \Phi }{(E_{f}-c|{\vec {p}}_{f}|\cos \theta _{f})(E_{i}-c|{\vec {p}}_{i}|\cos \theta _{i})}}(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}q^{2})\right]

{\ displaystyle \ left. + 2 \ hbar ^ {2} \ omega ^ {2} {\ frac {| {\ vec {p}} _ {i} | ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {i} + | {\ vec {p}} _ {f} | ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {f}} {(E_ {f} -c | {\ vec {p}} _ {f} | \ cos \ theta _ {f}) (E_ {i} -c | {\ vec {p}} _ {i} | \ cos \ theta _ {i})}} - 2 {\ frac {| {\ vec {p}} _ {i} || {\ vec {p}} _ {f} | \ sin \ theta _ {i} \ sin \ theta _ {f} \ cos \ Phi} {( E_ {f} -c | {\ vec {p}} _ {f} | \ cos \ theta _ {f}) (E_ {i} -c | {\ vec {p}} _ {i} | \ cos \ theta _ {i})}} (2E_ {i} ^ {2} + 2E_ {f} ^ {2} -c ^ {2} q ^ {2}) \ right]}

{\ displaystyle \ left. + 2 \ hbar ^ {2} \ omega ^ {2} {\ frac {| {\ vec {p}} _ {i} | ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {i} + | {\ vec {p}} _ {f} | ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta _ {f}} {(E_ {f} -c | {\ vec {p}} _ {f} | \ cos \ theta _ {f}) (E_ {i} -c | {\ vec {p}} _ {i} | \ cos \ theta _ {i})}} - 2 {\ frac {| {\ vec {p}} _ {i} || {\ vec {p}} _ {f} | \ sin \ theta _ {i} \ sin \ theta _ {f} \ cos \ Phi} {( E_ {f} -c | {\ vec {p}} _ {f} | \ cos \ theta _ {f}) (E_ {i} -c | {\ vec {p}} _ {i} | \ cos \ theta _ {i})}} (2E_ {i} ^ {2} + 2E_ {f} ^ {2} -c ^ {2} q ^ {2}) \ right]}

in care:

Z

{\ displaystyle Z}

Z

este numărul atomic

\alpha \sim 1/137

{\ displaystyle \ alpha \ sim 1/137}

{\ displaystyle \ alpha \ sim 1/137}

este constanta structurii fine

\hbar

{\ displaystyle \ hbar}

\ hbar

este constanta Planck redusă

c

{\ displaystyle c}

c

este viteza luminii în vid

{\vec {p}}

{\ displaystyle {\ vec {p}}}

{\ displaystyle {\ vec {p}}}

este impulsul electronului

\theta _{i}=\sphericalangle ({\vec {p}}_{i},{\vec {k}})

{\ displaystyle \ theta _ {i} = \ sphericalangle ({\ vec {p}} _ {i}, {\ vec {k}})}

{\ displaystyle \ theta _ {i} = \ sphericalangle ({\ vec {p}} _ {i}, {\ vec {k}})}

Și

\theta _{f}=\sphericalangle ({\vec {p}}_{f},{\vec {k}})

{\ displaystyle \ theta _ {f} = \ sphericalangle ({\ vec {p}} _ {f}, {\ vec {k}})}

{\ displaystyle \ theta _ {f} = \ sphericalangle ({\ vec {p}} _ {f}, {\ vec {k}})}

sunt direcțiile fotonilor emiși și ai electronilor împrăștiați și în care

{\vec {k}}

{\ displaystyle {\ vec {k}}}

{\ displaystyle {\ vec {k}}}

este momentul fotonului

\Phi

{\ displaystyle \ Phi}

\ Phi

este unghiul format între planuri

({\vec {p}}_{i},{\vec {k}})

{\ displaystyle ({\ vec {p}} _ {i}, {\ vec {k}})}

{\ displaystyle ({\ vec {p}} _ {i}, {\ vec {k}})}

Și

({\vec {p}}_{f},{\vec {k}})

{\ displaystyle ({\ vec {p}} _ {f}, {\ vec {k}})}

{\ displaystyle ({\ vec {p}} _ {f}, {\ vec {k}})}

Diferențialele sunt date de

d\Omega _{i}=\sin \theta _{i}d\theta _{i}

{\ displaystyle d \ Omega _ {i} = \ sin \ theta _ {i} d \ theta _ {i}}

{\ displaystyle d \ Omega _ {i} = \ sin \ theta _ {i} d \ theta _ {i}}

d\Omega _{f}=\sin \theta _{f}d\theta _{f}

{\ displaystyle d \ Omega _ {f} = \ sin \ theta _ {f} d \ theta _ {f}}

{\ displaystyle d \ Omega _ {f} = \ sin \ theta _ {f} d \ theta _ {f}}

Energie kinetică $E_{k,i/f}$ ${\ displaystyle E_ {k, i / f}}$ ${\ displaystyle E_ {k, i / f}}$ electronului în starea inițială și finală este legat de energia sa totală $E_{i,f}$ ${\ displaystyle E_ {i, f}}$ ${\ displaystyle E_ {i, f}}$ sau impulsul său ${\vec {p}}_{i,f}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} _ {i, f}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} _ {i, f}}$ conform raportului

E_{i,f}=E_{k,i/f}+m_{e}c^{2}={\sqrt {m_{e}^{2}c^{4}+|{\vec {p}}_{i,f}|^{2}c^{2}}}

{\ displaystyle E_ {i, f} = E_ {k, i / f} + m_ {e} c ^ {2} = {\ sqrt {m_ {e} ^ {2} c ^ {4} + | {\ vec {p}} _ {i, f} | ^ {2} c ^ {2}}}}

{\ displaystyle E_ {i, f} = E_ {k, i / f} + m_ {e} c ^ {2} = {\ sqrt {m_ {e} ^ {2} c ^ {4} + | {\ vec {p}} _ {i, f} | ^ {2} c ^ {2}}}}

Din conservarea energiei se obține

E_{f}=E_{i}-\hbar \omega

{\ displaystyle E_ {f} = E_ {i} - \ hbar \ omega}

{\ displaystyle E_ {f} = E_ {i} - \ hbar \ omega}

unde este $\hbar \omega$ ${\ displaystyle \ hbar \ omega}$ $\ hbar \ omega$ este energia fotonului.

Ultima cantitate de descris este $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ : valoarea absolută a fotonului virtual dintre nucleu și electron este:

-q^{2}=-|{\vec {p}}_{i}|^{2}-|{\vec {p}}_{f}|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2|{\vec {p}}_{i}|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \theta _{i}-2|{\vec {p}}_{f}|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \theta _{f}+2|{\vec {p}}_{i}||{\vec {p}}_{f}|(\cos \theta _{f}\cos \theta _{i}+\sin \theta _{f}\sin \theta _{i}\cos \Phi )

{\ displaystyle -q ^ {2} = - | {\ vec {p}} _ {i} | ^ {2} - | {\ vec {p}} _ {f} | ^ {2} - \ left ( {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega \ right) ^ {2} +2 | {\ vec {p}} _ {i} | {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega \ cos \ theta _ {i} -2 | {\ vec {p}} _ {f} | {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega \ cos \ theta _ {f} +2 | {\ vec {p }} _ {i} || {\ vec {p}} _ {f} | (\ cos \ theta _ {f} \ cos \ theta _ {i} + \ sin \ theta _ {f} \ sin \ theta _ {i} \ cos \ Phi)}

{\ displaystyle -q ^ {2} = - | {\ vec {p}} _ {i} | ^ {2} - | {\ vec {p}} _ {f} | ^ {2} - \ left ( {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega \ right) ^ {2} +2 | {\ vec {p}} _ {i} | {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega \ cos \ theta _ {i} -2 | {\ vec {p}} _ {f} | {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega \ cos \ theta _ {f} +2 | {\ vec {p }} _ {i} || {\ vec {p}} _ {f} | (\ cos \ theta _ {f} \ cos \ theta _ {i} + \ sin \ theta _ {f} \ sin \ theta _ {i} \ cos \ Phi)}

Intervalul de validitate este dat de aproximarea Born :

v\gg {\frac {Zc}{137}}

{\ displaystyle v \ gg {\ frac {Zc} {137}}}

{\ displaystyle v \ gg {\ frac {Zc} {137}}}

unde relația trebuie satisfăcută pentru viteza electronului în stările inițiale și finale.

Pentru aplicații practice (de exemplu, metodele Monte Carlo) poate fi interesant să evidențiem relația dintre frecvență $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ a fotonului emis și a unghiului dintre acest foton și electronul incident. Kohn și Ebert au integrat $d^{4}\sigma$ ${\ displaystyle d ^ {4} \ sigma}$ ${\ displaystyle d ^ {4} \ sigma}$ de Bethe și Heitler în comparație cu $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ Și $\theta _{f}$ ${\ displaystyle \ theta _ {f}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {f}}$ , primind

{\frac {d^{2}\sigma (E_{i},\omega ,\theta _{i})}{d\omega d\Omega _{i}}}=\sum _{j=1}^{6}I_{j}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ sigma (E_ {i}, \ omega, \ theta _ {i})} {d \ omega d \ Omega _ {i}}} = \ sum _ {j = 1} ^ {6} I_ {j}}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ sigma (E_ {i}, \ omega, \ theta _ {i})} {d \ omega d \ Omega _ {i}}} = \ sum _ {j = 1} ^ {6} I_ {j}}

unde $I_{j}$ ${\ displaystyle I_ {j}}$ $I_ {j}$ ele pot fi exprimate în funcție de constante

A={\frac {Z^{2}\alpha ^{3}}{4\pi ^{2}}}{\frac {|{\vec {p}}_{f}|}{|{\vec {p}}_{i}|}}{\frac {\hbar ^{2}}{\omega }}

{\ displaystyle A = {\ frac {Z ^ {2} \ alpha ^ {3}} {4 \ pi ^ {2}}} {\ frac {| {\ vec {p}} _ {f} |} { | {\ vec {p}} _ {i} |}} {\ frac {\ hbar ^ {2}} {\ omega}}}

{\ displaystyle A = {\ frac {Z ^ {2} \ alpha ^ {3}} {4 \ pi ^ {2}}} {\ frac {| {\ vec {p}} _ {f} |} { | {\ vec {p}} _ {i} |}} {\ frac {\ hbar ^ {2}} {\ omega}}}

\Delta _{1}=-|{\vec {p}}_{i}|^{2}-|{\vec {p}}_{f}|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2|{\vec {p}}_{i}|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \theta _{i}

{\ displaystyle \ Delta _ {1} = - | {\ vec {p}} _ {i} | ^ {2} - | {\ vec {p}} _ {f} | ^ {2} - \ left ( {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega \ right) ^ {2} +2 | {\ vec {p}} _ {i} | {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega \ cos \ theta _ {i}}

{\ displaystyle \ Delta _ {1} = - | {\ vec {p}} _ {i} | ^ {2} - | {\ vec {p}} _ {f} | ^ {2} - \ left ( {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega \ right) ^ {2} +2 | {\ vec {p}} _ {i} | {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega \ cos \ theta _ {i}}

\Delta _{2}=-2|{\vec {p}}_{f}|{\frac {\hbar }{c}}\omega +2|{\vec {p}}_{i}||{\vec {p}}_{f}|\cos \theta _{i}

{\ displaystyle \ Delta _ {2} = - 2 | {\ vec {p}} _ {f} | {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega +2 | {\ vec {p}} _ { i} || {\ vec {p}} _ {f} | \ cos \ theta _ {i}}

{\ displaystyle \ Delta _ {2} = - 2 | {\ vec {p}} _ {f} | {\ frac {\ hbar} {c}} \ omega +2 | {\ vec {p}} _ { i} || {\ vec {p}} _ {f} | \ cos \ theta _ {i}}

nel modo seguente:

I_{1}={\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}(\Delta _{1}+\Delta _{2})+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}(\Delta _{1}-\Delta _{2})+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\cdot

I_{1}={\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}(\Delta _{1}+\Delta _{2})+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}(\Delta _{1}-\Delta _{2})+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\cdot

I_{1}={\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}(\Delta _{1}+\Delta _{2})+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}(\Delta _{1}-\Delta _{2})+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\cdot

\cdot \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}{(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i})}}\right]

\cdot \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}{(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i})}}\right]

\cdot \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}{(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i})}}\right]

I_{2}=-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right)

I_{2}=-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right)

I_{2}=-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right)

I_{3}={\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}}\cdot \ln[([E_{f}+p_{f}c]\cdot

I_{3}={\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}}\cdot \ln[([E_{f}+p_{f}c]\cdot

I_{3}={\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}}\cdot \ln[([E_{f}+p_{f}c]\cdot

\left.\cdot \left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}(E_{f}-p_{f}c)+(\Delta _{1}+\Delta _{2})\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}\right)\right]\right)\cdot

\left.\cdot \left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}(E_{f}-p_{f}c)+(\Delta _{1}+\Delta _{2})\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}\right)\right]\right)\cdot

\left.\cdot \left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}(E_{f}-p_{f}c)+(\Delta _{1}+\Delta _{2})\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}\right)\right]\right)\cdot

\cdot \left[(E_{f}-p_{f}c)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}[-E_{f}-p_{f}c]\right.\right.+

\cdot \left[(E_{f}-p_{f}c)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}[-E_{f}-p_{f}c]\right.\right.+

\cdot \left[(E_{f}-p_{f}c)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}[-E_{f}-p_{f}c]\right.\right.+

+\left.\left.\left.(\Delta _{1}-\Delta _{2})\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}\right)\right)\right]^{-1}\right]\cdot

+\left.\left.\left.(\Delta _{1}-\Delta _{2})\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}\right)\right)\right]^{-1}\right]\cdot

+\left.\left.\left.(\Delta _{1}-\Delta _{2})\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}\right)\right)\right]^{-1}\right]\cdot

\cdot \left[-{\frac {(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i})(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2})+p_{f}c\left(2[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}+\right.

\cdot \left[-{\frac {(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i})(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2})+p_{f}c\left(2[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}+\right.

\cdot \left[-{\frac {(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i})(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2})+p_{f}c\left(2[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}+\right.

-{\frac {c(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\right)(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c)}{\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\right)^{2}}}+

-{\frac {c(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\right)(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c)}{\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\right)^{2}}}+

-{\frac {c(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\right)(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c)}{\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\right)^{2}}}+

+\left.{\frac {8m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}(E_{i}^{2}+E_{f}^{2})-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}p_{f}c\sin ^{2}\theta _{i}(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\right)}}\right]

+\left.{\frac {8m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}(E_{i}^{2}+E_{f}^{2})-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}p_{f}c\sin ^{2}\theta _{i}(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\right)}}\right]

+\left.{\frac {8m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}(E_{i}^{2}+E_{f}^{2})-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}p_{f}c\sin ^{2}\theta _{i}(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\right)}}\right]

I_{4}=-{\frac {4\pi Ap_{f}c(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}}{\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\right)^{2}}}

I_{4}=-{\frac {4\pi Ap_{f}c(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}}{\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\right)^{2}}}

I_{4}=-{\frac {4\pi Ap_{f}c(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}}{\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\right)^{2}}}

I_{5}={\frac {4\pi A}{(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i})\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\right)}}\cdot

I_{5}={\frac {4\pi A}{(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i})\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\right)}}\cdot

I_{5}={\frac {4\pi A}{(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i})\left([\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\right)}}\cdot

\cdot \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i}}}\cdot \right.{\frac {E_{f}(2\Delta _{2}^{2}[\Delta _{2}^{2}1-\Delta _{1}^{2}]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}])+p_{f}c(2\Delta _{1}\Delta _{2}[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i})}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}+

\cdot \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i}}}\cdot \right.{\frac {E_{f}(2\Delta _{2}^{2}[\Delta _{2}^{2}1-\Delta _{1}^{2}]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}])+p_{f}c(2\Delta _{1}\Delta _{2}[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i})}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}+

\cdot \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i}}}\cdot \right.{\frac {E_{f}(2\Delta _{2}^{2}[\Delta _{2}^{2}1-\Delta _{1}^{2}]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}])+p_{f}c(2\Delta _{1}\Delta _{2}[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i})}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}+

+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}E_{f})}{E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i}}}+

+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}E_{f})}{E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i}}}+

+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}E_{f})}{E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i}}}+

+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}][\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\left[(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2})(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2})+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}(E_{i}^{2}+E_{f}^{2})(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f})}{E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i}}}\right]

+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}][\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\left[(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2})(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2})+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}(E_{i}^{2}+E_{f}^{2})(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f})}{E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i}}}\right]

+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}][\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}\left[(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2})(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2})+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}}}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}(E_{i}^{2}+E_{f}^{2})(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f})}{E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i}}}\right]

I_{6}={\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}A}{(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})^{2}(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i})}}

I_{6}={\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}A}{(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})^{2}(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i})}}

I_{6}={\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\theta _{i}A}{(E_{i}-cp_{i}\cos \theta _{i})^{2}(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\theta _{i})}}

Note

^ ( EN ) Thermopedia, "Bremsstrahlung" Archiviato il 13 febbraio 2018 in Internet Archive .
^ La Fisica di Feynman, vol. 1 , Cap. 34-5
^ Jackson, Classical Electrodynamics , Cap. 14.2-3
^ C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Elettromagnetismo e Ottica , Cap. IX.8
^ William Duane and Franklin L. Hunt, On X-Ray Wave-Lengths , in Physical Review , vol. 6, 1915, pp. 166–172, Bibcode : 1915PhRv....6..166. , DOI : 10.1103/PhysRev.6.166 .
^ G. Baur and A. Leuschner., Bethe-Heitler cross-section for very high photon energies and large muon scattering angles , in European Physics Journal , vol. 8, pp. 631-635, DOI : 10.1007/s100529900028 .

Bibliografia

Sylvie Braibant, Giorgio Giacomelli e Maurizio Spurio, Particelle e interazioni fondamentali , Springer , 2012, ISBN 978-88-47-02753-4 .

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Bremsstrahlung

Collegamenti esterni

( EN ) IUPAC Gold Book, "Bremsstrahlung" , su goldbook.iupac.org .

Controllo di autorità	LCCN ( EN ) sh85016730 · GND ( DE ) 4142023-8 · BNF ( FR ) cb122681514 (data) · NDL ( EN , JA ) 00570284

Portale Elettromagnetismo

Portale Quantistica

[thermo-1] ( EN ) Thermopedia, "Bremsstrahlung" Archiviato il 13 febbraio 2018 in Internet Archive .

[2] La Fisica di Feynman, vol. 1 , Cap. 34-5

[3] Jackson, Classical Electrodynamics , Cap. 14.2-3

[4] C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Elettromagnetismo e Ottica , Cap. IX.8

[5] William Duane and Franklin L. Hunt, On X-Ray Wave-Lengths , in Physical Review , vol. 6, 1915, pp. 166–172, Bibcode : 1915PhRv....6..166. , DOI : 10.1103/PhysRev.6.166 .

[6] G. Baur and A. Leuschner., Bethe-Heitler cross-section for very high photon energies and large muon scattering angles , in European Physics Journal , vol. 8, pp. 631-635, DOI : 10.1007/s100529900028 .

[1] de

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]