Factorul Lorentz

Factorul Lorentz (sau termenul Lorentz ) face posibilă calcularea variației mărimilor fizice, cum ar fi lungimea, timpul și masa relativistă referite la același fenomen în sistemele de referință în mișcare relativă.

A apărut mai întâi în transformările Lorentz și mai târziu în mai multe ecuații ale relativității speciale pe care le-au adoptat aceste transformări. Este prezent și în teoria eterului lui Hendrik Lorentz . ^[1]

Formulă

Datorită omniprezenței sale este reprezentată în general cu simbolul γ . Este definit ca:

\gamma \equiv {\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

{\ displaystyle \ gamma \ equiv {\ frac {c} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}}

{\ displaystyle \ gamma \ equiv {\ frac {c} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}}

unde este:

v este viteza din sistemul de referință în care se măsoară timpul t
c este viteza luminii
$\beta ={\frac {v}{c}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}}$ $\ beta = {\ frac {v} {c}}$
τ este timpul potrivit

Aproximări

Factorul Lorentz poate fi aproximat în seria Taylor :

\gamma (\beta )=1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}+{\frac {3}{8}}\beta ^{4}+{\frac {5}{16}}\beta ^{6}+{\frac {35}{128}}\beta ^{8}+\cdots

{\ displaystyle \ gamma (\ beta) = 1 + {\ frac {1} {2}} \ beta ^ {2} + {\ frac {3} {8}} \ beta ^ {4} + {\ frac { 5} {16}} \ beta ^ {6} + {\ frac {35} {128}} \ beta ^ {8} + \ cdots}

{\ displaystyle \ gamma (\ beta) = 1 + {\ frac {1} {2}} \ beta ^ {2} + {\ frac {3} {8}} \ beta ^ {4} + {\ frac { 5} {16}} \ beta ^ {6} + {\ frac {35} {128}} \ beta ^ {8} + \ cdots}

Aproximarea γ ≈ 1 + ^_1/2 β ² este utilizată ocazional pentru a calcula efectele relativiste la viteze mici. Eroarea este în ordinea 1% pentru v <0,4 c (v <120.000 km / s) și în ordinea 0,1% pentru v <0.22 c (v <66.000 km / s).

Versiunile trunchiate ale acestei serii permit fizicienilor să demonstreze că relativitatea specială se reduce la mecanica newtoniană pentru viteze mici. De exemplu, în relativitatea specială, următoarele ecuații:

{\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}

{\ displaystyle {\ vec {p}} = \ gamma m {\ vec {v}}}

{\ vec p} = \ gamma m {\ vec v}

E=\gamma mc^{2}

{\ displaystyle E = \ gamma mc ^ {2}}

E = \ gamma mc ^ {2}

pentru γ ≈ 1 și respectiv γ ≈ 1 + ^_1/2 β ² , acestea sunt reduse la Newton-ul lor echivalent:

{\vec {p}}=m{\vec {v}}

{\ displaystyle {\ vec {p}} = m {\ vec {v}}}

{\ vec p} = m {\ vec v}

E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}

{\ displaystyle E = mc ^ {2} + {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}

E = mc ^ {2} + {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}

Ecuația factorului Lorentz poate fi inversată astfel:

\beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}

{\ displaystyle \ beta = {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {\ gamma ^ {2}}}}}}

\ beta = {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {\ gamma ^ {2}}}}}

,

care are o formă echivalentă ca:

\beta =1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\frac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\frac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\frac {1}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots

{\ displaystyle \ beta = 1 - {\ frac {1} {2}} \ gamma ^ {- 2} - {\ frac {1} {8}} \ gamma ^ {- 4} - {\ frac {1} {16}} \ gamma ^ {- 6} - {\ frac {1} {128}} \ gamma ^ {- 8} + \ cdots}

{\ displaystyle \ beta = 1 - {\ frac {1} {2}} \ gamma ^ {- 2} - {\ frac {1} {8}} \ gamma ^ {- 4} - {\ frac {1} {16}} \ gamma ^ {- 6} - {\ frac {1} {128}} \ gamma ^ {- 8} + \ cdots}

Primii doi termeni sunt ocazional folosiți pentru a calcula rapid viteze pentru valori mari ale γ. Aproximarea β ≈ 1 - ^_1/2 γ ^-2 rămâne în 1% toleranță pentru γ> 2 și în 0,1% toleranță pentru γ> 3,5.

Tabelul valorilor

Grafic al factorului Lorentz în funcție de viteză

Grafic reciproc versus viteză

Viteză	Factorul Lorentz	Reciproc
$\beta =v/c$ ${\ displaystyle \ beta = v / c}$ $\ beta = v / c$	$\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$	$1/\gamma$ ${\ displaystyle 1 / \ gamma}$ $1 / \ interval$
0,010	1.000	1.000
0,100	1.005	0,995
0,200	1,021	0,980
0,300	1,048	0,954
0,400	1,091	0,917
0,500	1.155	0,866
0,600	1.250	0,800
0,700	1.400	0,714
0,800	1.667	0,600
0,866	2.000	0,500
0,900	2.294	0,436
0,990	7.089	0,141
0,999	22,366	0,045