Constanta Euler-Mascheroni

Constanta Euler-Mascheroni
Simbol	γ
Valoare	0,57721566490153286060 ... (secvența A001620 a OEIS )
Originea numelui	Euler și Lorenzo Mascheroni
Fracție continuă	[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, ...] (secvența A002852 a OEIS)
Camp	numere reale (presupuse iraționale )
Constantele corelate	Constantele Stieltjes , constanta Meissel-Mertens

Constanta Euler - Mascheroni este o constantă matematică , utilizată în principal în teoria numerelor și analiza matematică . Este definită ca limita diferenței dintre seria armonică trunchiată și logaritmul natural :

\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}dx\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(H_{n}-\ln n\right),

{\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} - \ int _ {1} ^ { n} {\ frac {1} {x}} dx \ right) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k }} - \ ln n \ right) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (H_ {n} - \ ln n \ right),}

{\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} - \ int _ {1} ^ { n} {\ frac {1} {x}} dx \ right) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k }} - \ ln n \ right) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (H_ {n} - \ ln n \ right),}

unde este $H_{n}$ ${\ displaystyle H_ {n}}$ $H_ {n}$ este încă un număr armonic . Evaluarea sa aproximativă este:

\gamma \approx

{\ displaystyle \ gamma \ approx}

{\ displaystyle \ gamma \ approx}

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495 ... ^[1]

Nu se știe dacă $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ indiferent dacă este sau nu un număr rațional . Totuși, dacă presupui asta $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ fi rațional, analiza în fracții continuate arată că numitorul său are mai mult de 10 ²⁴²⁰⁸⁰ cifre. ^[2]

Constantele Stieltjes sunt o generalizare a acestei constante.

Reprezentare integrală

Constanta poate fi definită în mai multe moduri prin integrale:

\gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx

{\ displaystyle \ gamma = \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left ({1 \ over \ lfloor x \ rfloor} - {1 \ over x} \ right) \, dx}

{\ displaystyle \ gamma = \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left ({1 \ over \ lfloor x \ rfloor} - {1 \ over x} \ right) \, dx}

unde parantezele

\lfloor \cdot \rfloor

{\ displaystyle \ lfloor \ cdot \ rfloor}

{\ displaystyle \ lfloor \ cdot \ rfloor}

indicați funcția parte întreagă ( etaj )

=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln x\,dx

{\ displaystyle = - \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} \ ln x \, dx}

{\ displaystyle = - \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} \ ln x \, dx}

=-\int _{0}^{1}{\ln \ln \left({\frac {1}{x}}\right)}\,dx

{\ displaystyle = - \ int _ {0} ^ {1} {\ ln \ ln \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} \, dx}

{\ displaystyle = - \ int _ {0} ^ {1} {\ ln \ ln \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} \, dx}

=\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)}\,dx

{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ left ({\ frac {1} {e ^ {x} -1}} - {\ frac {1} {xe ^ {x}}} \ right)} \, dx}

{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ left ({\ frac {1} {e ^ {x} -1}} - {\ frac {1} {xe ^ {x}}} \ right)} \, dx}

=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)}\,dx

{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {1} {\ left ({\ frac {1} {\ ln x}} + {\ frac {1} {1-x}} \ right)} \, dx }

{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {1} {\ left ({\ frac {1} {\ ln x}} + {\ frac {1} {1-x}} \ right)} \, dx }

=\int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1+x}}-e^{-x}\right)}\,dx

{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {\ infty} {{\ frac {1} {x}} \ left ({\ frac {1} {1 + x}} - e ^ {- x} \ right )} \, dx}

{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {\ infty} {{\ frac {1} {x}} \ left ({\ frac {1} {1 + x}} - e ^ {- x} \ right )} \, dx}

=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy

{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x-1} {(1-x \, y) \ ln (x \, y)} } \, dx \, dy}

{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x-1} {(1-x \, y) \ ln (x \, y)} } \, dx \, dy}

Alte integrale conectate cu $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ Sunt:

\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx=-{\frac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {e ^ {- x ^ {2}} \ ln x} \, dx = - {\ frac {1} {4}} (\ gamma +2 \ ln 2) {\ sqrt {\ pi}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {e ^ {- x ^ {2}} \ ln x} \, dx = - {\ frac {1} {4}} (\ gamma +2 \ ln 2) {\ sqrt {\ pi}}}

\int _{0}^{\infty }{e^{-x}(\ln x)^{2}}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {e ^ {- x} (\ ln x) ^ {2}} \, dx = \ gamma ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ { 2}} {6}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {e ^ {- x} (\ ln x) ^ {2}} \, dx = \ gamma ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ { 2}} {6}}}

Dezvoltare în serie

Constanta Euler-Mascheroni poate fi exprimată prin mai multe serii:

\gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right].

{\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {1} {k}} - \ ln \ left (1 + {\ frac {1} {k}} \ corect corect].}

{\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {1} {k}} - \ ln \ left (1 + {\ frac {1} {k}} \ corect corect].}

=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\zeta (m)}{m}}

{\ displaystyle = \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m} \ zeta (m)} {m}}}

{\ displaystyle = \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m} \ zeta (m)} {m}}}

=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}\zeta (m+1)}{2^{m}(m+1)}}

{\ displaystyle = \ ln \ left ({\ frac {4} {\ pi}} \ right) + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m-1 } \ zeta (m + 1)} {2 ^ {m} (m + 1)}}}

{\ displaystyle = \ ln \ left ({\ frac {4} {\ pi}} \ right) + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m-1 } \ zeta (m + 1)} {2 ^ {m} (m + 1)}}}

Este remarcabilă seria găsită de Vacca în 1910 :

\gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lfloor \log _{2}n\rfloor }{n}}(-1)^{n}

{\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lfloor \ log _ {2} n \ rfloor} {n}} (- 1) ^ {n}}

{\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lfloor \ log _ {2} n \ rfloor} {n}} (- 1) ^ {n}}

unde, din nou, parantezele

\lfloor \cdot \rfloor

{\ displaystyle \ lfloor \ cdot \ rfloor}

{\ displaystyle \ lfloor \ cdot \ rfloor}

indicați funcția părții întregi ( etaj ).

Se generalizează în

\gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log _{b}n}{n}}{\begin{cases}b-1&{\mbox{ se }}b\mid n\\-1&{\mbox{ se }}b\nmid n\end{cases}}

{\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ log _ {b} n} {n}} {\ begin {cases} b-1 & {\ mbox {se }} b \ mid n \\ - 1 & {\ mbox {se}} b \ nmid n \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ log _ {b} n} {n}} {\ begin {cases} b-1 & {\ mbox {se }} b \ mid n \\ - 1 & {\ mbox {se}} b \ nmid n \ end {cases}}}

pentru fiecare număr întreg $b\geq 2$ ${\ displaystyle b \ geq 2}$ ${\ displaystyle b \ geq 2}$ .

Legătură cu funcții speciale

Constanta Euler-Mascheroni este legată de multe funcții speciale, cum ar fi funcția zeta Riemann , funcția gamma și funcția digamma .

\gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)

{\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {s \ to 1 ^ {+}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n ^ {s}}} - {\ frac {1} {s ^ {n}}} \ right) = \ lim _ {s \ to 1} \ left (\ zeta (s) - {\ frac {1} {s-1}} \ right )}}

{\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {s \ to 1 ^ {+}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n ^ {s}}} - {\ frac {1} {s ^ {n}}} \ right) = \ lim _ {s \ to 1} \ left (\ zeta (s) - {\ frac {1} {s-1}} \ right )}}

=-\psi (1)=\lim _{x\to \infty }\left(x-\Gamma \left({\frac {1}{x}}\right)\right)

{\ displaystyle = - \ psi (1) = \ lim _ {x \ to \ infty} \ left (x- \ Gamma \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \ right)}

{\ displaystyle = - \ psi (1) = \ lim _ {x \ to \ infty} \ left (x- \ Gamma \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \ right)}

Prezență în teoria numerelor

Constanta Euler-Mascheroni apare adesea în teoria numerelor , de exemplu legată de numere prime

\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\ln n-\sum _{p\leq n}{\frac {\ln p}{p-1}}\right)

{\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ ln n- \ sum _ {p \ leq n} {\ frac {\ ln p} {p-1}} \ right)}

{\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ ln n- \ sum _ {p \ leq n} {\ frac {\ ln p} {p-1}} \ right)}

\gamma =-\lim _{n\to \infty }\left[\ln \ln n+\sum _{p\leq n}\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\right],

{\ displaystyle \ gamma = - \ lim _ {n \ to \ infty} \ left [\ ln \ ln n + \ sum _ {p \ leq n} \ ln \ left (1 - {\ frac {1} {p }} \ right) \ right],}

{\ displaystyle \ gamma = - \ lim _ {n \ to \ infty} \ left [\ ln \ ln n + \ sum _ {p \ leq n} \ ln \ left (1 - {\ frac {1} {p }} \ right) \ right],}

cunoscută sub numele de a treia teoremă a lui Mertens . În problema divizorilor lui Dirichlet

\sum _{k=1}^{n}d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}).

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} d (n) = n \ ln n + (2 \ gamma -1) n + O ({\ sqrt {n}}).}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} d (n) = n \ ln n + (2 \ gamma -1) n + O ({\ sqrt {n}}).}

În plus,

\gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}

{\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {1} (n) + N_ {0} (n)} {2n (2n + 1)}}}

{\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {1} (n) + N_ {0} (n)} {2n (2n + 1)}}}

unde este $N_{1}(n)$ ${\ displaystyle N_ {1} (n)}$ ${\ displaystyle N_ {1} (n)}$ Și $N_{0}(n)$ ${\ displaystyle N_ {0} (n)}$ ${\ displaystyle N_ {0} (n)}$ sunt numărul de 1 și, respectiv, 0 în expansiunea binară a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ (Sondow 2005).

Notă

^ Recordul pentru calcularea γ este 108.000.000 zecimale (Patrick Demichel și Xavier Gourdon, 1999). V. Histoire des maths
^ havil , p. 97.

Bibliografie

Havil, J., Range: Exploring Euler’s Constant , Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere din constanta Euler-Mascheroni

linkuri externe

( EN ) Constanta lui Euler - Mascheroni în MathWorld , la mathworld.wolfram.com .

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 36653 · GND (DE) 4227778-4

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Recordul pentru calcularea γ este 108.000.000 zecimale (Patrick Demichel și Xavier Gourdon, 1999). V. Histoire des maths

[2] vil , p. 97.

[1]

[2]