Teoreme Mertens

În teoria numerelor analitice , teoremele lui Mertens sunt trei rezultate demonstrate de Franz Mertens în 1874 legate de densitatea numerelor prime . ^[1]

Declarații

După aceea, $p\leq n$ ${\ displaystyle p \ leq n}$ ${\ displaystyle p \ leq n}$ indică toate numerele prime nu mai mari de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Prima teoremă a lui Mertens :

\sum _{p\leq n}{\frac {\ln p}{p}}-\ln n

{\ displaystyle \ sum _ {p \ leq n} {\ frac {\ ln p} {p}} - \ ln n}

{\ displaystyle \ sum _ {p \ leq n} {\ frac {\ ln p} {p}} - \ ln n}

nu depășește 2 în valoare absolută pentru fiecare $n\geq 2$ ${\ displaystyle n \ geq 2}$ ${\ displaystyle n \ geq 2}$ . ( A083343 )

A doua teoremă a lui Mertens :

\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n-M\right)=0,

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ sum _ {p \ leq n} {\ frac {1} {p}} - \ ln \ ln nM \ right) = 0,}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ sum _ {p \ leq n} {\ frac {1} {p}} - \ ln \ ln n-M \ right) = 0,}

unde este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este constanta Meissel-Mertens ( A077761 ). Mai exact, Mertens ^{[1] a} demonstrat că expresia din limită este mai mică în valoare absolută decât

{\frac {4}{\ln(n+1)}}+{\frac {2}{n\ln n}}

{\ displaystyle {\ frac {4} {\ ln (n + 1)}} + {\ frac {2} {n \ ln n}}}

{\ displaystyle {\ frac {4} {\ ln (n + 1)}} + {\ frac {2} {n \ ln n}}}

pentru fiecare $n\geq 2$ ${\ displaystyle n \ geq 2}$ ${\ displaystyle n \ geq 2}$ .

A treia teoremă a lui Mertens :

\lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ ln n \ prod _ {p \ leq n} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right) = e ^ {- \ gamma },}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ ln n \ prod _ {p \ leq n} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right) = e ^ {- \ gamma },}

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este constanta Euler-Mascheroni ( A001620 ).

Schimbarea semnului

Într-o lucrare din 1983 ^[2] privind rata de creștere a funcției sigma , Guy Robin a demonstrat că, în a doua teoremă a lui Mertens, diferența

\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n-M

{\ displaystyle \ sum _ {p \ leq n} {\ frac {1} {p}} - \ ln \ ln nM}

{\ displaystyle \ sum _ {p \ leq n} {\ frac {1} {p}} - \ ln \ ln n-M}

schimbă semnul infinit de multe ori și că, de asemenea, în cea de-a treia teoremă diferența

\ln n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }

{\ displaystyle \ ln n \ prod _ {p \ leq n} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right) -e ^ {- \ gamma}}

{\ displaystyle \ ln n \ prod _ {p \ leq n} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right) -e ^ {- \ gamma}}

schimbă semnul de nenumărate ori. Rezultatele lui Robin sunt analoage faimoasei teoreme a lui Littlewood că diferența $\pi (x)-li(x)$ ${\ displaystyle \ pi (x) -li (x)}$ ${\ displaystyle \ pi (x) -li (x)}$ schimbă semnul frecvent. Un analog al numărului Skewes nu a fost încă descoperit (o limită superioară a primului număr natural pentru care $\pi (x)>li(x)$ ${\ displaystyle \ pi (x)> li (x)}$ ${\ displaystyle \ pi (x)> li (x)}$ ) în cazul celei de-a doua și a treia teoreme a lui Mertens.

A doua teoremă a lui Mertens și teorema numărului prim

În ceea ce privește formula sa asimptotică a celei de-a doua teoreme, Mertens în articolul său se referă la „două formule curioase ale Legendre”, ^[1] prima este prototipul celei de-a doua teoreme (iar a doua un prototip al celei de-a treia teoreme: vezi primele linii al articolului). El reamintește că este cuprins în cea de-a treia ediție a „Théorie des nombres” a lui Legendre din 1830 (de fapt deja menționată în a doua ediție din 1808) și că o versiune mai elaborată a fost demonstrată de Chebyshev în 1851. ^[3] Rețineți că, deja în 1737, Euler cunoștea comportamentul asimptotic al acestei serii. ^[4]

Mertens descrie diplomatic dovada sa ca fiind mai precisă și mai riguroasă. De fapt, niciuna dintre dovezile de mai sus nu a fost acceptabilă de standardele moderne: calculul lui Euler a implicat infinitul (și logaritmul hiperbolic al infinitului, precum și logaritmul logaritmului infinitului); Raționamentul lui Legendre este euristic; și dovada lui Chebyshev, deși corectă, a făcut uz de conjectura Gauss-Legendre, care va fi dovedită abia în 1896 și cunoscută sub numele de teorema numărului prim .

Dovada lui Mertens nu se bazează pe nici o presupunere (în 1874) și doar pe o simplă analiză matematică. A fost publicată cu 22 de ani înainte de demonstrarea teoremei numărului prim care, în schimb, depinde de o analiză atentă a comportamentului funcției Riemann Zeta ca funcție variabilă complexă. Dovada lui Mertens este deci remarcabilă. De fapt, cu notația modernă de zi mare O , este scris ca

\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)

{\ displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + O (1 / \ log x)}

{\ displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + O (1 / \ log x)}

în timp ce se poate arăta că teorema numărului prim (în forma sa cea mai simplă, fără estimarea erorii), este echivalentă cu ^[5]

\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).

{\ displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + o (1 / \ log x).}

{\ displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + o (1 / \ log x).}

În 1909 Edmund Landau , folosind cea mai bună versiune la dispoziția sa a teoremei numerelor prime, a demonstrat ^[6] că

\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14}})

{\ displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + O (e ^ {- (\ log x) ^ {1/14}}) }

{\ displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + O (e ^ {- (\ log x) ^ {1/14}}) }

În special, termenul de eroare este mai mic decât $1/(\log x)^{k}$ ${\ displaystyle 1 / (\ log x) ^ {k}}$ ${\ displaystyle 1 / (\ log x) ^ {k}}$ pentru fiecare număr întreg $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ fix. O simplă adunare pe părți , folosind forma mai puternică a teoremei numărului prim, îmbunătățește estimarea a

\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}})

{\ displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + O (e ^ {- c (\ log x) ^ {3/5} ( \ log \ log x) ^ {- 1/5}})}

{\ displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + O (e ^ {- c (\ log x) ^ {3/5} ( \ log \ log x) ^ {- 1/5}})}

pentru unii $c>0$ ${\ displaystyle c> 0}$ $c> 0$ .

Notă

^ ^a ^b ^c F. Mertens. J. reine angew. Matematica. 78 (1874), 46–62 Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie
^ G. Robin, Sur l'ordre maximum de la fonction somme des diviseurs , în Séminaire Delange - Pisot - Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Progres în matematică , vol. 38, 1983, pp. 233–244.
^ PL Tchebychev. Sur the function here détermine the totalité des nombres premiers. Mémoires prezentate la Académie Impériale des Sciences de St-Pétersbourg par divers savants, VI 1851, 141–157
^ Leonhard Euler. Variae observationes despre seria infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropicolee 9 (1737), 160–188.
^ Deși această echivalență nu este menționată în mod explicit, ea este, de exemplu, ușor derivată din materialul din capitolul I.3 din: G. Tenenbaum. Introducere în teoria numerelor analitice și probabilistice. Traducere din a doua ediție franceză (1995) de CB Thomas. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 46. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
^ Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909, Repr. Chelsea New York 1953, § 55, p. 197-203.

Bibliografie

AM Yaglom și IM Yaglom Provocarea problemelor matematice cu soluții elementare Vol 2, problemele 171, 173, 174

Elemente conexe

linkuri externe

Weisstein, Eric W. „Mertens Constant” . MathWorld .
Sondow, Jonathan și Weisstein, Eric W. „Teorema Mertens” . MathWorld .
Weisstein, Eric W. „A doua teoremă a lui Mertens” . MathWorld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[Mertens-1] F. Mertens. J. reine angew. Matematica. 78 (1874), 46–62 Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie

[2] G. Robin, Sur l'ordre maximum de la fonction somme des diviseurs , în Séminaire Delange - Pisot - Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Progres în matematică , vol. 38, 1983, pp. 233–244.

[3] PL Tchebychev. Sur the function here détermine the totalité des nombres premiers. Mémoires prezentate la Académie Impériale des Sciences de St-Pétersbourg par divers savants, VI 1851, 141–157

[4] Leonhard Euler. Variae observationes despre seria infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropicolee 9 (1737), 160–188.

[5] Deși această echivalență nu este menționată în mod explicit, ea este, de exemplu, ușor derivată din materialul din capitolul I.3 din: G. Tenenbaum. Introducere în teoria numerelor analitice și probabilistice. Traducere din a doua ediție franceză (1995) de CB Thomas. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 46. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

[6] Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909, Repr. Chelsea New York 1953, § 55, p. 197-203.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]