Funcția Sigma

Primele 250 de valori ale funcției σ

Funcția $\sigma \left(n\right)$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (n \ right)}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (n \ right)}$ este o funcție aritmetică , definită ca suma tuturor divizorilor pozitivi ai unui număr natural $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ :

\sigma \left(n\right)=\sum _{d|n}d.

{\ displaystyle \ sigma \ left (n \ right) = \ sum _ {d | n} d.}

{\ displaystyle \ sigma \ left (n \ right) = \ sum _ {d | n} d.}

Funcția sigma generalizată este definită în schimb ca suma lui $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ -puterile divizorilor de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ :

\sigma _{\alpha }\left(n\right)=\sum _{d|n}d^{\alpha }.

{\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha} \ left (n \ right) = \ sum _ {d | n} d ^ {\ alpha}.}

{\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha} \ left (n \ right) = \ sum _ {d | n} d ^ {\ alpha}.}

Valorile funcției

Pentru $n\geq 2$ ${\ displaystyle n \ geq 2}$ $n \ geq 2$ , valoarea a $\sigma (n)$ ${\ displaystyle \ sigma (n)}$ ${\ displaystyle \ sigma (n)}$ este întotdeauna mai mare sau egal cu numărul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ la fel mai mult $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , pentru că fiecare număr și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ sunt divizori ai numărului în sine: avem $\sigma (n)\geq n+1$ ${\ displaystyle \ sigma (n) \ geq n + 1}$ ${\ displaystyle \ sigma (n) \ geq n + 1}$ , cu egalitate dacă și numai dacă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un număr prim . Dacă în schimb $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este compus, deține cea mai puternică inegalitate $\sigma (n)\geq n+{\sqrt {n}}+1$ ${\ displaystyle \ sigma (n) \ geq n + {\ sqrt {n}} + 1}$ ${\ displaystyle \ sigma (n) \ geq n + {\ sqrt {n}} + 1}$ .

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
σ (n)	1	3	4	7	6	12	8	15	13	18
n	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
σ (n)	12	28	14	24	24	31	18	39	20	42

Proprietate

Funcția sigma este o funcție multiplicativă , dar nu una complet multiplicativă; din aceasta este posibil să se obțină o formulă compactă pentru calcularea acestei funcții. Este $n=p_{1}^{q_{1}}p_{2}^{q_{2}}\cdots p_{k}^{q_{k}}$ ${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {q_ {1}} p_ {2} ^ {q_ {2}} \ cdots p_ {k} ^ {q_ {k}}}$ ${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {q_ {1}} p_ {2} ^ {q_ {2}} \ cdots p_ {k} ^ {q_ {k}}}$ .

\sigma (p_{i}^{q_{i}})=1+p_{i}+p_{i}^{2}+p_{i}^{3}+\cdots +p_{i}^{q_{i}}={\frac {p_{i}^{q_{i}+1}-1}{p_{i}-1}},

{\ displaystyle \ sigma (p_ {i} ^ {q_ {i}}) = 1 + p_ {i} + p_ {i} ^ {2} + p_ {i} ^ {3} + \ cdots + p_ {i } ^ {q_ {i}} = {\ frac {p_ {i} ^ {q_ {i} +1} -1} {p_ {i} -1}},}

{\ displaystyle \ sigma (p_ {i} ^ {q_ {i}}) = 1 + p_ {i} + p_ {i} ^ {2} + p_ {i} ^ {3} + \ cdots + p_ {i } ^ {q_ {i}} = {\ frac {p_ {i} ^ {q_ {i} +1} -1} {p_ {i} -1}},}

fiind o serie geometrică și, prin urmare

\sigma (n)={\frac {p_{1}^{q_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}{\frac {p_{2}^{q_{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\cdots {\frac {p_{k}^{q_{k}+1}-1}{p_{k}-1}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {p_{i}^{q_{i}+1}-1}{p_{i}-1}}.

{\ displaystyle \ sigma (n) = {\ frac {p_ {1} ^ {q_ {1} +1} -1} {p_ {1} -1}} {\ frac {p_ {2} ^ {q_ { 2} +1} -1} {p_ {2} -1}} \ cdots {\ frac {p_ {k} ^ {q_ {k} +1} -1} {p_ {k} -1}} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {p_ {i} ^ {q_ {i} +1} -1} {p_ {i} -1}}.}

{\ displaystyle \ sigma (n) = {\ frac {p_ {1} ^ {q_ {1} +1} -1} {p_ {1} -1}} {\ frac {p_ {2} ^ {q_ { 2} +1} -1} {p_ {2} -1}} \ cdots {\ frac {p_ {k} ^ {q_ {k} +1} -1} {p_ {k} -1}} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {p_ {i} ^ {q_ {i} +1} -1} {p_ {i} -1}}.}

Satisfac identitatea

\sigma _{\alpha }\left(n\right)=\prod _{p^{m}|n}{\frac {p^{\alpha \left(m+1\right)}-1}{p^{\alpha }-1}}.

{\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha} \ left (n \ right) = \ prod _ {p ^ {m} | n} {\ frac {p ^ {\ alpha \ left (m + 1 \ right)} - 1} {p ^ {\ alpha} -1}}.}

{\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha} \ left (n \ right) = \ prod _ {p ^ {m} | n} {\ frac {p ^ {\ alpha \ left (m + 1 \ right)} - 1} {p ^ {\ alpha} -1}}.}

Alte două identități notabile care se referă la funcția sigma sunt

-\sum _{n=1}^{\infty }\ln \left(1-x^{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{-1}\left(n\right)x^{n},

{\ displaystyle - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ ln \ left (1-x ^ {n} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sigma _ { -1} \ left (n \ right) x ^ {n},}

{\ displaystyle - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ ln \ left (1-x ^ {n} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sigma _ { -1} \ left (n \ right) x ^ {n},}

Și

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{\alpha }\left(n\right)}{n^{s}}}=\zeta \left(s\right)\zeta \left(s-\alpha \right),

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {\ alpha} \ left (n \ right)} {n ^ {s}}} = \ zeta \ left (s \ right) \ zeta \ left (s- \ alpha \ right),}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {\ alpha} \ left (n \ right)} {n ^ {s}}} = \ zeta \ left (s \ right) \ zeta \ left (s- \ alpha \ right),}

unde este $\zeta \left(s\right)$ ${\ displaystyle \ zeta \ left (s \ right)}$ ${\ displaystyle \ zeta \ left (s \ right)}$ este funcția zeta Riemann .

Functia $\sigma _{0}(n)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {0} (n)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {0} (n)}$ este cunoscută și sub numele de funcția tau .

Cazuri speciale

Funcția sigma generalizată cu $\alpha =0$ ${\ displaystyle \ alpha = 0}$ $\ alfa = 0$ , $\sigma _{0}(n)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {0} (n)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {0} (n)}$ returnează numărul total de divizori ai $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Fie n descompozibil în factori primi cum ar fi $n=p_{1}^{q_{1}}p_{2}^{q_{2}}\cdots p_{k}^{q_{k}}$ ${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {q_ {1}} p_ {2} ^ {q_ {2}} \ cdots p_ {k} ^ {q_ {k}}}$ ${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {q_ {1}} p_ {2} ^ {q_ {2}} \ cdots p_ {k} ^ {q_ {k}}}$ , asa de

\sigma _{0}(n)=\prod _{i=1}^{k}(q_{i}+1).

{\ displaystyle \ sigma _ {0} (n) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} (q_ {i} +1).}

{\ displaystyle \ sigma _ {0} (n) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} (q_ {i} +1).}

De exemplu, numărul divizorilor numărului $24=2^{3}\cdot 3$ ${\ displaystyle 24 = 2 ^ {3} \ cdot 3}$ ${\ displaystyle 24 = 2 ^ {3} \ cdot 3}$ poate fi calculat ca

\sigma _{0}(24)=\prod _{i=1}^{2}(q_{i}+1)=(3+1)\cdot (1+1)=8.

{\ displaystyle \ sigma _ {0} (24) = \ prod _ {i = 1} ^ {2} (q_ {i} +1) = (3 + 1) \ cdot (1 + 1) = 8.}

{\ displaystyle \ sigma _ {0} (24) = \ prod _ {i = 1} ^ {2} (q_ {i} +1) = (3 + 1) \ cdot (1 + 1) = 8.}

De fapt, numărul 24 are 8 divizori (1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 și 24).

Cod

În C :

 int sigma ( int N ) { // funcția ia un întreg natural N și returnează suma divizorilor săi
	int i , res = 0 ;
	dacă ( N < 1 ) returnează 0 ; // dacă N nu este pozitiv, returnează zero
	pentru ( i = 1 ; i <= N ; i ++ )
		if ( ! ( N % i ) ) // echivalent cu (N% i) == 0
			res + = i ;
	returnează res ;
}

Elemente conexe

Funcția tau pozitivă

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Teoria numerelor
Cele mai utilizate numere	Natural · Întreg · Par și impar
Principii generale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență
Secvențe de numere întregi	Factorial · Fibonacci · Număr de catalană · Număr Perrin · Număr de Euler · Secvență Mian-Chowla · Succesiunea lui Thue-Morse
Caracteristicile numerelor prime	Primul număr · lema lui Euclid · Teorema infinitate de numere prime · ciurul Eratostene · teste primality · Teorema fundamentală a aritmeticii · Total acoperire mine · Bézout Identitate · MCD · mcm · algoritmul lui Euclid · Teorema de Prime Numbers
Funcții aritmetice	Funcție multiplicativă · funcție aditivă · convoluție Dirichlet · funcția Euler Euler · funcția Möbius · funcția tau pe pozitiv · funcția sigmoidă · funcția Liouville · funcția Mertens
Aritmetica modulară	Teorema a restului chinez · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · Criterii de divizibilitate · teorema lui Fermat pe sume de două pătrate · Wilson Teorema · reciprocitatea pătratică
Conjecturi	Conjectura lui Goldbach · Conjectura Polignac · Guess abc · conjectura primelor gemene · Conjectura lui Legendre · Noua conjectură Mersenne · Conjectura Collatz · Ipoteza Riemann
Alte	Problema lui Waring
Principalii teoreticieni	Fibonacci · Fermat · Gauss · Euler · Legendre · Riemann · Dirichlet
Disciplinele conexe	Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor · Criptografie · Teoria computațională a numerelor