Funcția E a lui Euler

Primele mii de valori ale

\varphi

{\ displaystyle \ varphi}

\ varphi

În matematică , funcția Euler φ sau pur și simplu funcția lui Euler sau tozient , este o funcție definită, pentru orice număr întreg pozitiv $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , ca număr de numere întregi între $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ care sunt relativ prime cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . De exemplu, $\varphi (8)=4$ ${\ displaystyle \ varphi (8) = 4}$ $\ varphi (8) = 4$ întrucât numerele coprimă de 8 sunt patru : 1, 3, 5, 7. Își datorează numele matematicianului elvețian Euler , care l-a descris pentru prima dată.

Functia $\varphi (n)$ ${\ displaystyle \ varphi (n)}$ $\ varphi (n)$ este o funcție foarte importantă în teoria numerelor , în principal pentru că este cardinalitatea grupului multiplicativ de numere întregi ale modulului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , mai exact este ordinea grupului multiplicativ al inelului $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ (vezi aritmetica modulară ). Acest fapt, combinat cu teorema lui Lagrange , demonstrează teorema lui Euler : dacă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este un număr coprimă cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , asa de:

a^{\varphi (n)}\equiv 1\mod n

{\ displaystyle a ^ {\ varphi (n)} \ equiv 1 \ mod n}

{\ displaystyle a ^ {\ varphi (n)} \ equiv 1 \ mod n}

Multiplicare

Funcția lui Euler φ este multiplicativă : pentru fiecare pereche de numere întregi a și b astfel încât GCD ( a , b ) = 1, avem:

\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)

{\ displaystyle \ varphi (ab) = \ varphi (a) \ varphi (b)}

\ varphi (ab) = \ varphi (a) \ varphi (b)

Acest fapt poate fi dovedit în mai multe moduri: de exemplu, se poate observa că un număr este cu ab prime între ele dacă și numai dacă este sub acoperire , cu atât a și b. De fapt, având în vedere o coprimă x cu ab , aceasta nu are factori în comun cu ab și, prin urmare, nu are factori în comun cu a sau b ; invers, dacă x este coprimă cu a și cu b , și există un p prim care împarte atât ab cât și x , p ar trebui să împartă, prin lema lui Euclid , cel puțin una între a și b și, prin urmare, x nu poate fi coprimă cu ambele.

Odată dovedit acest lucru, observăm că fiecare pereche ( y , z ), cu $y\in \mathbb {Z} _{a}$ ${\ displaystyle y \ in \ mathbb {Z} _ {a}}$ $y \ in {\ mathbb {Z}} _ {a}$ Și $z\in \mathbb {Z} _{b}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {Z} _ {b}}$ $z \ in {\ mathbb {Z}} _ {b}$ se potrivește cu un singur element $w\in \mathbb {Z} _{ab}$ ${\ displaystyle w \ in \ mathbb {Z} _ {ab}}$ $w \ in {\ mathbb {Z}} _ {{ab}}$ (sau, pentru a fi mai formal, că există un izomorfism între inele $\mathbb {Z} _{a}\times \mathbb {Z} _{b}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {a} \ times \ mathbb {Z} _ {b}}$ ${\ mathbb {Z}} _ {a} \ times {\ mathbb {Z}} _ {b}$ Și $\mathbb {Z} _{ab}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {ab}}$ ${\ mathbb {Z}} _ {{ab}}$ ). Prin urmare, numărul elementelor coprimă cu ab este egal cu cel al perechilor ( y , z ) unde y este coprimă cu a și z cu b .

Prin definiție, primele sunt $\varphi (a)$ ${\ displaystyle \ varphi (a)}$ $\ varphi (a)$ iar secundele $\varphi (b)$ ${\ displaystyle \ varphi (b)}$ $\ varphi (b)$ , și, prin urmare, în cele din urmă există $\varphi (a)\varphi (b)$ ${\ displaystyle \ varphi (a) \ varphi (b)}$ $\ varphi (a) \ varphi (b)$ acoperă-mă elemente cu ab care este prin definiție valoarea $\varphi (ab)$ ${\ displaystyle \ varphi (ab)}$ $\ varphi (ab)$

Calculul funcției

O expresie pentru funcție este după cum urmează:

\varphi (n)=n\cdot \left[\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\right]=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)

{\ displaystyle \ varphi (n) = n \ cdot \ left [\ left (1 - {\ frac {1} {p_ {1}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {p_ { 2}}} \ right) \ cdots \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {r}}} \ right) \ right] = n \ prod _ {p \ mid n} \ left (1- { \ frac {1} {p}} \ right)}

\ varphi (n) = n \ cdot \ left [\ left (1 - {\ frac {1} {p_ {1}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {2}} } \ right) \ cdots \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {r}}} \ right) \ right] = n \ prod _ {{p \ mid n}} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ dreapta)

unde i $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p _ {{i}}$ toate sunt primele care alcătuiesc factorizarea n .

Demonstrație

Mai întâi arătăm că, dacă p este un număr prim , atunci $\varphi (p^{k})=(p-1)p^{k-1}$ ${\ displaystyle \ varphi (p ^ {k}) = (p-1) p ^ {k-1}}$ $\ varphi (p ^ {k}) = (p-1) p ^ {{k-1}}$ pentru fiecare $k>0$ ${\ displaystyle k> 0}$ $k> 0$ .

Pentru a face acest lucru, găsim toate numerele m mai mici sau egale cu $p^{k}$ ${\ displaystyle p ^ {k}}$ $p ^ {k}$ pentru care $MCD(p^{k},m)\neq \ 1$ ${\ displaystyle MCD (p ^ {k}, m) \ neq \ 1}$ $GCD (p ^ {k}, m) \ neq \ 1$ . Acest lucru este echivalent cu a spune că m trebuie să aibă factori în comun cu $p^{k}$ ${\ displaystyle p ^ {k}}$ $p ^ {k}$ . Dar p este prim, deci dacă m are factori în comun cu p , aceștia trebuie să fie multipli ai unei puteri de p . Deci toate valorile posibile ale lui m sunt $p,2p,3p,\ldots ,p^{k-1}\cdot p$ ${\ displaystyle p, 2p, 3p, \ ldots, p ^ {k-1} \ cdot p}$ $p, 2p, 3p, \ ldots, p ^ {{k-1}} \ cdot p$ . Aceste numere sunt $p^{k-1}$ ${\ displaystyle p ^ {k-1}}$ $p ^ {{k-1}}$ , și sunt toate numerele care nu mă acoperă $p^{k}$ ${\ displaystyle p ^ {k}}$ $p ^ {k}$ . Toate numerele mai mici sau egale cu $p^{k}$ ${\ displaystyle p ^ {k}}$ $p ^ {k}$ Sunt $p^{k}$ ${\ displaystyle p ^ {k}}$ $p ^ {k}$ , apoi numerele prime cu $p^{k}$ ${\ displaystyle p ^ {k}}$ $p ^ {k}$ mai puțin decât $p^{k}$ ${\ displaystyle p ^ {k}}$ $p ^ {k}$ sunt restul $p^{k}-p^{k-1}$ ${\ displaystyle p ^ {k} -p ^ {k-1}}$ $p ^ {k} -p ^ {{k-1}}$ .

Prin urmare $\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$ ${\ displaystyle \ varphi (p ^ {k}) = p ^ {k} -p ^ {k-1} = (p-1) p ^ {k-1}}$ $\ varphi (p ^ {k}) = p ^ {k} -p ^ {{k-1}} = (p-1) p ^ {{k-1}}$

Folosind teorema fundamentală a aritmeticii putem factoriza orice număr $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ într-un produs de numere prime crescute la o anumită putere:

n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\ldots p_{r}^{k_{r}}

{\ displaystyle n = p_ {1} ^ {k_ {1}} p_ {2} ^ {k_ {2}} \ ldots p_ {r} ^ {k_ {r}}}

n = p _ {{1}} ^ {{k _ {{1}}}} p _ {{2}} ^ {{k _ {{2}}}} \ ldots p _ {{r}} ^ {{k _ {{r}}}}

unde i $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p _ {{i}}$ sunt prime distincte și fiecare $k_{i}>0$ ${\ displaystyle k_ {i}> 0}$ ${\ displaystyle k_ {i}> 0}$

Prin urmare $\varphi (n)=\varphi (p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\ldots p_{r}^{k_{r}})$ ${\ displaystyle \ varphi (n) = \ varphi (p_ {1} ^ {k_ {1}} p_ {2} ^ {k_ {2}} \ ldots p_ {r} ^ {k_ {r}})}$ $\ varphi (n) = \ varphi (p _ {{1}} ^ {{k _ {{1}}}} p _ {{2}} ^ {{k _ {{2}}}} \ ldots p _ {{r}} ^ {{k _ {{r}}}})$

Acum, de atunci $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este multiplicativ putem extinde funcția:

\varphi (n)=\varphi (p_{1}^{k_{1}})\varphi (p_{2}^{k_{2}})\ldots \varphi (p_{r}^{k_{r}})=p_{1}^{k_{1}-1}(p_{1}-1)\cdot p_{2}^{k_{2}-1}(p_{2}-1)\cdots p_{r}^{k_{r}-1}(p_{r}-1)

{\ displaystyle \ varphi (n) = \ varphi (p_ {1} ^ {k_ {1}}) \ varphi (p_ {2} ^ {k_ {2}}) \ ldots \ varphi (p_ {r} ^ { k_ {r}}) = p_ {1} ^ {k_ {1} -1} (p_ {1} -1) \ cdot p_ {2} ^ {k_ {2} -1} (p_ {2} -1 ) \ cdots p_ {r} ^ {k_ {r} -1} (p_ {r} -1)}

\ varphi (n) = \ varphi (p _ {{1}} ^ {{k _ {{1}}}}) \ varphi (p _ {{2}} ^ {{k _ {{2}}} }) \ ldots \ varphi (p _ {{r}} ^ {{k _ {{r}}}}) = p_ {1} ^ {{k_ {1} -1}} (p_ {1} -1 ) \ cdot p_ {2} ^ {{k_ {2} -1}} (p_ {2} -1) \ cdots p_ {r} ^ {{k_ {r} -1}} (p_ {r} -1 )

(Funcția este multiplicativă între două numere dacă și numai dacă sunt prime unele de altele. În cazul nostru, numerele $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p _ {{i}}$ sunt toți primii și, prin urmare, primii dintre ei)

Formula poate fi rescrisă într-o formă mai compactă:

\varphi (n)=n\cdot \left[\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\right]=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)

{\ displaystyle \ varphi (n) = n \ cdot \ left [\ left (1 - {\ frac {1} {p_ {1}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {p_ { 2}}} \ right) \ cdots \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {r}}} \ right) \ right] = n \ prod _ {p \ mid n} \ left (1- { \ frac {1} {p}} \ right)}

\ varphi (n) = n \ cdot \ left [\ left (1 - {\ frac {1} {p_ {1}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {2}} } \ right) \ cdots \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {r}}} \ right) \ right] = n \ prod _ {{p \ mid n}} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ dreapta)

Tendință asimptotică

Scrierea de mai sus ne permite, de asemenea, să dovedim că valorile funcției φ pot fi în mod arbitrar mici în raport cu n (adică raportul $\varphi (n)/n$ ${\ displaystyle \ varphi (n) / n}$ $\ varphi (n) / n$ este mai puțin decât oricare $\epsilon$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ pentru o anumită valoare de n ): extinderea produsului la toate primele, obținem

{\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}{\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\cdots =\left[{\frac {p_{1}}{p_{1}-1}}\cdot {\frac {p_{2}}{p_{2}-1}}\cdots \right]^{-1}

{\ displaystyle {\ frac {p_ {1} -1} {p_ {1}}} {\ frac {p_ {2} -1} {p_ {2}}} \ cdots = \ left [{\ frac {p_ {1}} {p_ {1} -1}} \ cdot {\ frac {p_ {2}} {p_ {2} -1}} \ cdots \ right] ^ {- 1}}

{\ frac {p_ {1} -1} {p_ {1}}} {\ frac {p_ {2} -1} {p_ {2}}} \ cdots = \ left [{\ frac {p_ {1} } {p_ {1} -1}} \ cdot {\ frac {p_ {2}} {p_ {2} -1}} \ cdots \ right] ^ {{- 1}}

Cea dintre paranteze este scrierea produsului Euler al funcției zeta Riemann pentru s = 1, adică suma

{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots

{\ displaystyle {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots}

{\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots

sau seria armonică , care diverg . Deci inversul său este infinitesimal, iar secvența

{\frac {\varphi (n)}{n}}

{\ displaystyle {\ frac {\ varphi (n)} {n}}}

{\ frac {\ varphi (n)} {n}}

devine în mod arbitrar aproape de 0.

Alte proprietăți

Numărul φ ( n ) este, de asemenea, egal cu numărul de generatoare din grupa ciclică C _n . Din fiecare element al lui C _n putem genera un subgrup ciclic C _d unde d împarte n (notația este d | n ), obținând:

\sum _{d\mid n}\varphi (d)=n

{\ displaystyle \ sum _ {d \ mid n} \ varphi (d) = n}

\ sum _ {{d \ mid n}} \ varphi (d) = n

unde suma este extinsă la toți divizorii d de n .

Acum putem folosi funcția de inversare Möbius pentru a inversa această sumă și a obține o altă formulă pentru φ ( n ):

$\varphi (n)=\sum _{d\mid n}d\cdot \mu \left({n \over d}\right)$ ${\ displaystyle \ varphi (n) = \ sum _ {d \ mid n} d \ cdot \ mu \ left ({n \ over d} \ right)}$ $\ varphi (n) = \ sum _ {{d \ mid n}} d \ cdot \ mu \ left ({n \ over d} \ right)$

unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este funcția obișnuită Möbius definită pe numere întregi pozitive.

Avem, de asemenea, că, dacă n este un număr prim:

\varphi (n)=n-1

{\ displaystyle \ varphi (n) = n-1}

\ varphi (n) = n-1

Deoarece, evident, fiecare număr mai mic decât n este coprime pentru el, fiind n prim.

Există o secvență de valori de n astfel încât

\varphi (n)=\varphi (n+1)

{\ displaystyle \ varphi (n) = \ varphi (n + 1)}

\ varphi (n) = \ varphi (n + 1)

primele sunt 1 , 3 , 15 , 104 , 164 , 194 , 255 , 495 , 584 , 975 , ... (secvența A001274 din OEIS ).

Există un singur număr $n<10^{10}$ ${\ displaystyle n <10 ^ {10}}$ $n <10 ^ {{10}}$ astfel încât

\varphi (n)=\varphi (n+1)=\varphi (n+2)

{\ displaystyle \ varphi (n) = \ varphi (n + 1) = \ varphi (n + 2)}

\ varphi (n) = \ varphi (n + 1) = \ varphi (n + 2)

și este 5186 , pentru care se are de fapt

\varphi (5186)=\varphi (5186+1)=\varphi (5186+2)=2^{5}\cdot 3^{4}

{\ displaystyle \ varphi (5186) = \ varphi (5186 + 1) = \ varphi (5186 + 2) = 2 ^ {5} \ cdot 3 ^ {4}}

\ varphi (5186) = \ varphi (5186 + 1) = \ varphi (5186 + 2) = 2 ^ {5} \ cdot 3 ^ {4}

Există o progresie aritmetică a rațiunii 30 compusă din șase numere, care generează toate aceeași valoare a lui φ :

\varphi (583200)=\varphi (583230)=\varphi (583260)=\,

{\ displaystyle \ varphi (583200) = \ varphi (583230) = \ varphi (583260) = \,}

\ varphi (583200) = \ varphi (583230) = \ varphi (583260) = \,

\varphi (583290)=\varphi (583320)=\varphi (583350)=\,

{\ displaystyle \ varphi (583290) = \ varphi (583320) = \ varphi (583350) = \,}

\ varphi (583290) = \ varphi (583320) = \ varphi (583350) = \,

=155520=2^{7}\cdot 3^{5}\cdot 5

{\ displaystyle = 155520 = 2 ^ {7} \ cdot 3 ^ {5} \ cdot 5}

= 155520 = 2 ^ {7} \ cdot 3 ^ {5} \ cdot 5

$a\mid b$ ${\ displaystyle a \ mid b}$ $a \ mid b$ implica $\varphi (a)\mid \varphi (b)$ ${\ displaystyle \ varphi (a) \ mid \ varphi (b)}$ $\ varphi (a) \ mid \ varphi (b)$
$\varphi (n)$ ${\ displaystyle \ varphi (n)}$ $\ varphi (n)$ este chiar pentru $n\geq 3$ ${\ displaystyle n \ geq 3}$ $n \ geq 3$ . Mai mult, dacă n are r factori primi diferiți, atunci $2^{r}\mid \varphi (n)$ ${\ displaystyle 2 ^ {r} \ mid \ varphi (n)}$ $2 ^ {r} \ mid \ varphi (n)$

Funcție generatoare

Cele două funcții generatoare prezentate aici sunt ambele consecințe ale faptului că

\sum _{d|n}\varphi (d)=n.

{\ displaystyle \ sum _ {d | n} \ varphi (d) = n.}

\ sum _ {{d | n}} \ varphi (d) = n.

O serie Dirichlet care generează φ ( n ) este

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)}}}

\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {\ varphi (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)}}

unde este $\zeta$ ${\ displaystyle \ zeta}$ $\ zeta$ este funcția zeta Riemann . Aceasta rezultă din următoarele:

\zeta (s)\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}=\left(\sum _{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)

{\ displaystyle \ zeta (s) \ sum _ {f = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (f)} {f ^ {s}}} = \ left (\ sum _ {g = 1 } ^ {\ infty} {\ frac {1} {g ^ {s}}} \ right) \ left (\ sum _ {f = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (f)} { f ^ {s}}} \ dreapta)}

\ zeta (s) \ sum _ {{f = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (f)} {f ^ {s}}} = \ left (\ sum _ {{g = 1 }} ^ {\ infty} {\ frac {1} {g ^ {s}}} \ right) \ left (\ sum _ {{f = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (f )} {f ^ {s}}} \ dreapta)

\left(\sum _{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)=\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}1\cdot \varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {g = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {g ^ {s}}} \ right) \ left (\ sum _ {f = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (f)} {f ^ {s}}} \ right) = \ sum _ {h = 1} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {fg = h} 1 \ cdot \ varphi (g) \ right) {\ frac {1} {h ^ {s}}}}

\ left (\ sum _ {{g = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {g ^ {s}}} \ right) \ left (\ sum _ {{f = 1}} ^ { \ infty} {\ frac {\ varphi (f)} {f ^ {s}}} \ right) = \ sum _ {{h = 1}} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {{fg = h}} 1 \ cdot \ varphi (g) \ right) {\ frac {1} {h ^ {s}}}

\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}\varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}

{\ displaystyle \ sum _ {h = 1} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {fg = h} \ varphi (g) \ right) {\ frac {1} {h ^ {s}}} = \ sum _ {h = 1} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {d | h} \ varphi (d) \ right) {\ frac {1} {h ^ {s}}}}

\ sum _ {{h = 1}} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {{fg = h}} \ varphi (g) \ right) {\ frac {1} {h ^ {s}}} = \ sum _ {{h = 1}} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {{d | h}} \ varphi (d) \ right) {\ frac {1} {h ^ {s}} }

\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}=

{\ displaystyle \ sum _ {h = 1} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {d | h} \ varphi (d) \ right) {\ frac {1} {h ^ {s}}} = }

\ sum _ {{h = 1}} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {{d | h}} \ varphi (d) \ right) {\ frac {1} {h ^ {s}}} =

\sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}

{\ displaystyle \ sum _ {h = 1} ^ {\ infty} {\ frac {h} {h ^ {s}}}}

\ sum _ {{h = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {h} {h ^ {s}}}

\sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}=\zeta (s-1).

{\ displaystyle \ sum _ {h = 1} ^ {\ infty} {\ frac {h} {h ^ {s}}} = \ zeta (s-1).}

\ sum _ {{h = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {h} {h ^ {s}}} = \ zeta (s-1).

Funcția generatoare a unei serii Lambert este

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = {\ frac {q} {( 1-q) ^ {2}}}}

\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {\ varphi (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = {\ frac {q} { (1-q) ^ {2}}}

care converge pentru | q | <1. Aceasta rezultă din

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\sum _{r=1}^{\infty }q^{rn}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ varphi (n) \ sum _ {r = 1} ^ {\ infty} q ^ {rn}}

\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {\ varphi (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} \ varphi (n) \ sum _ {{r = 1}} ^ {{\ infty}} q ^ {{rn}}

care este

\sum _{k=1}^{\infty }q^{k}\sum _{n|k}\varphi (n)=\sum _{k=1}^{\infty }kq^{k}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} q ^ {k} \ sum _ {n | k} \ varphi (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} kq ^ {k} = {\ frac {q} {(1-q) ^ {2}}}.}

\ sum _ {{k = 1}} ^ {{\ infty}} q ^ {k} \ sum _ {{n | k}} \ varphi (n) = \ sum _ {{k = 1}} ^ { {\ infty}} kq ^ {k} = {\ frac {q} {(1-q) ^ {2}}}.

Inegalități

Unele inegalități privind funcția $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ Sunt:

\varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}

{\ displaystyle \ varphi (n)> {\ frac {n} {e ^ {\ gamma} \; \ log \ log n + {\ frac {3} {\ log \ log n}}}}}

\ varphi (n)> {\ frac {n} {e ^ {\ gamma} \; \ log \ log n + {\ frac {3} {\ log \ log n}}}}

pentru n > 2, unde γ este constanta Euler-Mascheroni , ^[1]

\varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}

{\ displaystyle \ varphi (n) \ geq {\ sqrt {\ frac {n} {2}}}}

\ varphi (n) \ geq {\ sqrt {{\ frac {n} {2}}}}

pentru n > 0,

Și

\varphi (n)\geq {\sqrt {n}}{\text{ per }}n>6.

{\ displaystyle \ varphi (n) \ geq {\ sqrt {n}} {\ text {per}} n> 6.}

{\ displaystyle \ varphi (n) \ geq {\ sqrt {n}} {\ text {per}} n> 6.}

Dacă n este compus, avem

\varphi (n)\leq n-{\sqrt {n}}

{\ displaystyle \ varphi (n) \ leq n - {\ sqrt {n}}}

\ varphi (n) \ leq n - {\ sqrt {n}}

Pentru fiecare număr par 2 n , unde 2 n nu este de forma 2 ^k , avem

\varphi (2n)\leq n-1

{\ displaystyle \ varphi (2n) \ leq n-1}

\ varphi (2n) \ leq n-1

Dacă, pe de altă parte, 2 n este egal și de forma 2 ^k , avem

\varphi (2n)=n

{\ displaystyle \ varphi (2n) = n}

\ varphi (2n) = n

Pentru valori arbitrar mari de n , rezultatul este

\liminf {\frac {\varphi (n)}{n}}=0

{\ displaystyle \ liminf {\ frac {\ varphi (n)} {n}} = 0}

{\ displaystyle \ liminf {\ frac {\ varphi (n)} {n}} = 0}

Și

\limsup {\frac {\varphi (n)}{n}}=1.

{\ displaystyle \ limsup {\ frac {\ varphi (n)} {n}} = 1.}

{\ displaystyle \ limsup {\ frac {\ varphi (n)} {n}} = 1.}

Câteva inegalități care combină funcția $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ cu funcție $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ Sunt:

{\frac {6n^{2}}{\pi ^{2}}}<\varphi (n)\sigma (n)<n^{2}{\mbox{ per }}n>1.

{\ displaystyle {\ frac {6n ^ {2}} {\ pi ^ {2}}} <\ varphi (n) \ sigma (n) <n ^ {2} {\ mbox {per}} n> 1. }

{\ frac {6n ^ {2}} {\ pi ^ {2}}} <\ varphi (n) \ sigma (n) <n ^ {2} {\ mbox {per}} n> 1.

Unele valori ale funcției

$\varphi (n)$ ${\ displaystyle \ varphi (n)}$ $\ varphi (n)$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0+		1	1	2	2	4	2	6	4	6
Peste 10 ani	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18
Peste 20 de ani	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28
30+	8	30	16	20	16	24	12	36	18	24
Peste 40 de ani	16	40	12	42	20	24	22	46	16	42
Peste 50 de ani	20	32	24	52	18	40	24	36	28	58
Peste 60 de ani	16	60	30	36	32	48	20	66	32	44
Peste 70 de ani	24	70	24	72	36	40	36	60	24	78
Peste 80 de ani	32	54	40	82	24	64	42	56	40	88
Peste 90 de ani	24	72	44	60	46	72	32	96	42	60

Notă

^ E. Bach și J. Shallit , [http://books.google.com/books?id=iJx1lP9ZcIkC&pg=PA234 Theorem 8.8.7] , în Algorithmic Number Theory , vol. 1, Cambridge, MA, MIT Press , 1996, p. 512 , ISBN 0-262-02405-5 .

Bibliografie

Tom M. Apostol (1976): Introducere în teoria numerelor analitice, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 , (Capitolul 2)
H. Davenport, Aritmetica superioară, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 88-08-09154-6 - Capitolul II.4

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre funcția ul a lui Euler

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, funcția Totient , în MathWorld , Wolfram Research.
( RO ) Euler Totient Function , pe functions.wolfram.com .
Kirby Urner, Computing totient function in Python and scheme , (2003)
Calculator JavaScript totient , la www25.brinkster.com . Adus la 14 ianuarie 2011 (arhivat din original la 15 iunie 2011) .
Miyata, Daisuke și Yamashita, Michinori, Funcția logaritmică derivată a funcției Euler
Bordellès, Olivier, Numerele primează la q în $[1,n]$ ${\ displaystyle [1, n]}$ $[1, n]$
Plytage, Loomis, Polhill Rezumând funcția Euler Phi
Fabrizio Romano, Implementare Python ^{[ link rupt ]}

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] E. Bach și J. Shallit , [http://books.google.com/books?id=iJx1lP9ZcIkC&pg=PA234 Theorem 8.8.7] , în Algorithmic Number Theory , vol. 1, Cambridge, MA, MIT Press , 1996, p. 512 , ISBN 0-262-02405-5 .

[1]