Seria Lambert

Functia

S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}

{\ displaystyle S (q) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}}}

{\ displaystyle S (q) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}}}

, reprezentat cu Matplotlib , folosind o versiune a metodei de colorare a domeniului ^[1]

În matematică , o serie Lambert , numită după Johann Heinrich Lambert , este o serie în formă

S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.

{\ displaystyle S (q) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}}.}

{\ displaystyle S (q) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}}.}

Poate fi reluat formal prin extinderea numitorului:

S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}

{\ displaystyle S (q) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} q ^ {nk} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} b_ {m} q ^ {m}}

{\ displaystyle S (q) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} q ^ {nk} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} b_ {m} q ^ {m}}

unde coeficienții noii serii sunt date de convoluția Dirichlet a $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ cu funcție constantă $1(n)=1$ ${\ displaystyle 1 (n) = 1}$ ${\ displaystyle 1 (n) = 1}$ :

b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,

{\ displaystyle b_ {m} = (a * 1) (m) = \ sum _ {n \ mid m} a_ {n}. \,}

{\ displaystyle b_ {m} = (a * 1) (m) = \ sum _ {n \ mid m} a_ {n}. \,}

Această serie poate fi inversată prin seria formulei de inversare Möbius și este, de asemenea, un exemplu de transformată Möbius.

Exemple

Deoarece ultima sumă este tipică în teoria numerelor , aproape toate funcțiile multiplicative sunt însumabile exact atunci când sunt utilizate într-o serie Lambert. De exemplu, avem

\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n} \ sigma _ {0} (n) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n} \ sigma _ {0} (n) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}}}

unde este $\sigma _{0}(n)=d(n)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {0} (n) = d (n)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {0} (n) = d (n)}$ este funcția sigma care numără numărul divizorilor pozitivi ai numărului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Pentru funcțiile sigma de ordin superior, obținem

\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n} \ sigma _ {\ alpha} (n) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n ^ {\ alpha} q ^ {n}} {1-q ^ {n}}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n} \ sigma _ {\ alpha} (n) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n ^ {\ alpha} q ^ {n}} {1-q ^ {n}}}}

unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este orice număr complex și

\sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,

{\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha} (n) = ({\ textrm {Id}} _ {\ alpha} * 1) (n) = \ sum _ {d \ mid n} d ^ {\ alpha} \ ,}

{\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha} (n) = ({\ textrm {Id}} _ {\ alpha} * 1) (n) = \ sum _ {d \ mid n} d ^ {\ alpha} \ ,}

este funcția sigma.

Seria Lambert în care termenii $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ sunt funcții trigonometrice , de exemplu, $a_{n}=sin(2nx)$ ${\ displaystyle a_ {n} = sin (2nx)}$ ${\ displaystyle a_ {n} = sin (2nx)}$ , poate fi evaluat prin diferite combinații ale derivaților logaritmici ai funcțiilor theta ale lui Jacobi.

Alte serii fascinante Lambert includ funcția Möbius $\mu (n)$ ${\ displaystyle \ mu (n)}$ $\ mu (n)$ :

\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q.

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (n) \, {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = q.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (n) \, {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = q.}

Funcția Euler $\varphi (n)$ ${\ displaystyle \ varphi (n)}$ $\ varphi (n)$ :

\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ varphi (n) \, {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = {\ frac {q} {(1-q) ^ {2}}}.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ varphi (n) \, {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = {\ frac {q} {(1-q) ^ {2}}}.}

Funcția Liouville $\lambda (n)$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ :

\sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lambda (n) \, {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lambda (n) \, {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2}}}

cu suma din dreapta similară funcției theta a lui Ramanujan .

Formă alternativă

Prin înlocuire $q=e^{-z}$ ${\ displaystyle q = e ^ {- z}}$ ${\ displaystyle q = e ^ {- z}}$ se obține o altă formă comună a seriei,

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {e ^ {zn} -1}} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} b_ {m} e ^ {- mz}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {e ^ {zn} -1}} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} b_ {m} e ^ {- mz}}

unde este

b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}a_{d}\,

{\ displaystyle b_ {m} = (a * 1) (m) = \ sum _ {d \ mid m} a_ {d} \,}

{\ displaystyle b_ {m} = (a * 1) (m) = \ sum _ {d \ mid m} a_ {d} \,}

Ca inainte. Exemple de serii Lambert în această formă cu $z=2\pi$ ${\ displaystyle z = 2 \ pi}$ ${\ displaystyle z = 2 \ pi}$ ele apar în expresiile funcției zeta Riemann în număr impar; pentru detalii, consultați Constantele Zeta .

Utilizare curentă

În literatura de specialitate, seria Lambert se aplică la o mare varietate de sume. De exemplu, din moment ce $q^{/}(1-q^{n})=\mathrm {Li} _{0}(q^{n})$ ${\ displaystyle q ^ {/} (1-q ^ {n}) = \ mathrm {Li} _ {0} (q ^ {n})}$ ${\ displaystyle q ^ {/} (1-q ^ {n}) = \ mathrm {Li} _ {0} (q ^ {n})}$ este o funcție polilogaritmică , ne putem referi la aceste sume

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\xi ^{n}\,\mathrm {Li} _{u}(\alpha q^{n})}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}\,\mathrm {Li} _{s}(\xi q^{n})}{n^{u}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ xi ^ {n} \, \ mathrm {Li} _ {u} (\ alpha q ^ {n})} {n ^ {s}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ alpha ^ {n} \, \ mathrm {Li} _ {s} (\ xi q ^ {n})} {n ^ {u}}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ xi ^ {n} \, \ mathrm {Li} _ {u} (\ alpha q ^ {n})} {n ^ {s}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ alpha ^ {n} \, \ mathrm {Li} _ {s} (\ xi q ^ {n})} {n ^ {u}}}}

ca o serie Lambert, presupunând că parametrii sunt limitați corespunzător. Asa de

12\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-1}(q^{n})\right)^{\!2}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-5}(q^{n})-\sum _{n=1}^{\infty }n^{4}\,\mathrm {Li} _{-3}(q^{n}),

{\ displaystyle 12 \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {2} \, \ mathrm {Li} _ {- 1} (q ^ {n}) \ right) ^ {\ ! 2} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {2} \, \ mathrm {Li} _ {- 5} (q ^ {n}) - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {4} \, \ mathrm {Li} _ {- 3} (q ^ {n}),}

{\ displaystyle 12 \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {2} \, \ mathrm {Li} _ {- 1} (q ^ {n}) \ right) ^ {\ ! 2} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {2} \, \ mathrm {Li} _ {- 5} (q ^ {n}) - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {4} \, \ mathrm {Li} _ {- 3} (q ^ {n}),}

care este valabil pentru orice număr complex $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ nu pe cercul unitar, ar putea fi considerată o identitate a seriei Lambert. Această egalitate rezultă în mod clar din unele identități publicate de matematicianul indian Srinivasa Ramanujan . Pentru o explorare aprofundată a operelor lui Ramanujan, citiți textele lui Bruce Berndt.

Notă

^ https://nbviewer.jupyter.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb

Bibliografie

Berry, Michael V. (2010). " Funcțiile teoriei numerelor " . PRESA UNIVERSITARĂ CAMBRIDGE. pp. 637–641. ISBN 978-0-521-19225-5 .
Lambert, Preston A. (1904). Extinderi ale funcțiilor algebrice în puncte singulare . Proc. Am. Philos. Soc. 43 (176): 164–172. JSTOR 983503 .
Apostol, Tom M. (1976), „ Introducere în teoria numerelor analitice, texte de licență în matematică ”, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929 , Zbl 0335.10001
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], „ Seria Lambert ” , Enciclopedia Matematicii , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. „ Seria Lambert ” . MathWorld .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] ttps://nbviewer.jupyter.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb

[1]